第一讲-解析几何中的定值定点问题

第一讲解析几何中的定值定点问题一、定值问题题型一斜率为定值例题若AB是过双曲线C:中心的任意一条弦，M是双曲线上不同于A、B的任意一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则AM、BM的斜率之积=_.练习：1.设点P是椭圆C:上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M、N两点，直线PM、PN的斜率都存在，则它们的斜率乘积=_.2.设AB是椭圆C:上的任一弦，M是AB的中点，设OM与AB的斜率都存在，则它们的斜率乘积=_.3.设点Q是椭圆C:上除长轴两端点外的任意一点，则在x轴上存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率乘积为定值，该定值是_.题型二长度之比是定值例题已知圆，x轴上一点B(1,0)，在x轴上存在唯一不同于点B的一点A，使得对圆O上任意一点P，是常数，则该常数是_.练习:1.抛物线的焦点为F，点P为抛物线上的动点，若A(-1,0)，求的最小值.2.设F1、F2分别是椭圆C:的左、右焦点，M是C上一点，且MF2与X轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b的值.3.已知椭圆C:，斜率为的动直线L与椭圆C交于A、B两点，与x轴、y轴交于P、Q两点.尝试探究是否为定值？若是定值，试求出定值；若不是定值，请说明理由.题型三乘积为定值问题例题设M、P是圆上任意两点，点M关于x轴的对称点是N，若直线MP，NP分别交x轴与点(m,0)和(n,0)，则mn=_.练习：已知椭圆C：，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C与另一点A(A点在x轴下方)，且线段AB的中点E在直线y=x上.若点P为椭圆C上不同于A、B的动点，且直线AP、BP分别交直线y=x与点M、N，证明：为定值.二、定点问题题型一圆过定点例题已知抛物线，设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，证明：圆C恒过定点.练习：1.已知抛物线，设动直线L与抛物线相切与点P，与直线y=1相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过y 轴上的某定点。2.已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1、F2，若M、N是直线x=5上的两个动点，且F1MF2N，证明：以MN为直径的圆C过定点.3.已知椭圆C：,过椭圆上一点P做椭圆的切线交直线与点A.试判断以线段AP为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.4.在平面直角坐标系XOY中，已知抛物线C：，设直线与曲线C有唯一的公共点P，且与直线相交于点Q.尝试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由.5.已知椭圆C:，设直线是椭圆的一条切线，两点M和N在切线上，证明：当变化时，以MN为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标.6.设双曲线E：与x轴交于B、D两点，在E上任取一点，直线QB、QD分别交y轴于M、N两点。求证：以MN为直径的圆恒过两定点.题型二直线过定点例题在平面直角坐标系XOY中，从抛物线C：上的点P(1,2)引斜率分别为K1、K2的两条直线L1、L2，直线L1、L2与C的不同于P点的另一个交点分别是A、B，如果K1*K2=4，尝试探究：直线AB是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.练习：1.已知抛物线E的方程为，若点P为抛物线E的准线上的任意一点，过点P做抛物线E的切线PA和PB，切点分别是A、B，求证：直线AB恒过某一定点.2.已知椭圆C:的右焦点F(1，0)，过点F做两条互相垂直的弦AB、CD，设弦AB、CD的中点分别为M、N.求证：直线MN必过定点，并求出定点坐标。3.设点A、B为抛物线上除原点以外的两个动点，且AB连线不与y轴平行.已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程。经典试题:1. 已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线过定点2.已知椭圆C:的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆相切. (1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线与椭圆C交于P、Q两点，且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标。3. 如图，已知双曲线C：y2=1（a0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA（O为坐标原点）（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P（x0，y0）（y00）的直线：y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值4.已知椭圆C：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆C的方