2007-2015昆明数学中考压轴题(含答案)

中考压轴题1(2007昆明)如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120，得到线段OB(1)求点B的坐标；(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由AB1O-1xy1(注意：本题中的结果均保留根号)解：（1）过点B作BDx轴于点D，由已知可得： OB=OA=2，BOD=60 在RtOBD中，ODB=90，OBD=30 OD=1，DB=点B的坐标是（1，） 2分（2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由已知可得： 解得：a=，b=，c=0 所求抛物线解析式为y=x2+x 4分 （备注：a、b的值各得1分） （3）存在 5分 由y=x2+x配方后得：y=（x+1）2- 抛物线的对称轴为x=-1 6分 （也可用顶点坐标公式求出） 点C在对称轴x=-1上，BOC的周长=OB+BC+CO， OB=2，要使BOC的周长最小，必须BC+CO最小， 点O与点A关于直线x=-1对称，有OC=CA BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA 当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时BOC的周长最小 设直线AB的解析式为y=kx+b，则有： 解得：k=，b= 直线AB的解析式为y=x+ 7分 当x=-1时，y= 所求点C的坐标为（-1，） 8分（4）设P（x，y），（-2x0，y0），则y=x2+x 过点P作PQx轴于点Q，PGx轴于点G，过点A作AFPQ于点F，过点B作BEPQ于点E，则PQ=-x，PG=-y，由题意可得： SPAB=S梯形AFEB-SAFP-SBEP 9分 =（AF+BE）FE-AFFP-PEBE =（-y+-y）（1+2）-（-y）（x+2）-（1-x）（-y） =-y+x+ 将代入，化简得：SPAB =-x2-x+ 10分 =-（x+）2+ 当x=-时，PAB的面积有最大值，最大面积为 11分 此时，y=+（-）=- 点P的坐标为（-，-） 12分2（2008昆明）如图，在直角坐标系中，以点为圆心，以6为半径的圆分别交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，过点的直线交轴的负半轴于点（1）求两点的坐标；（2）求证：直线是的切线；（3）若抛物线经过两点，求此抛物线的解析式；yxOMBDCAEF（4）连接，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线交于点，与交于点，如果点是抛物线上的动点，是否存在这样的点，使得，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由（注意：本题中的结果均保留根号）解：（1）连接CM，由题意得：OM=3，OB=3，OE=9，MC=6OA=OM+MA=3+6=9A（9，0）1分C（0，）2分（2）证法一：在RtDCO中，在DCM中，3分DCM直角三角形。4分MCDC，而MC是M的半径CD是M的切线。5分证法二：在RtCOM中，3分在RtDOC中，4分，而MC中的M半径。5分证法三：在CMO和DMC中3分又4分，而MC中的M半径。，而MC中的M半径。5分（3）由抛物线经过点M（3，0）和点A（9，0），可得： 解得：6分抛物线的解析式为： 7分（4）存在。8分方法一：设直线CD的解析式为，点C和点D（9，0）在此直线上，可得： 解得：直线CD的解析式为：设直线AC的解析式为，点A（9，0）和点C在此直线上，可得：解得：直线AC的解析式为：抛物线的对称轴为又点E是对称轴和直线CD的交点当x=6时，点E的坐标为（6，）双点F是对称轴和直线AC交点当x=6时，点F的坐标为（6，）过点C作CGEF于点G，则CG=6 若点P在轴的上方，设点P坐标为（x，y）解得：y=4当y=4时，即，解得10分若点P在x轴上，则点P与点M或与点A重合，此时构不成三角形。若点P在x轴下方，设点P的坐标为（x，y）解得：y=4当y=4时，即，解得12分这样的点共有4个，方法二：存在8分设抛物线的对称轴交x轴于点H在（2）中已证：抛物线的对称轴平行于y轴OD=OA=9CO垂直平分AD在RtAFH中，CEF是等边三角形过点C作CGEF于点G，则CG=6可得：3（2009昆明）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OABC，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(4，3)，点C在y轴的正半轴上动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)(1)求线段AB的长；当t为何值时，MNOC？(2)设CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？OMANBCyx(3)连接AC，那么是否存在这样的t，使MN与AC互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由解：（1）过点作于点，1分则四边形是矩形，OANCyxMDB在中，2分当时，3分，4分即（秒）5分（2）过点作轴于点，交的延长线于点，OMANFCyxEDB，即，6分，7分即（）8分由，得当时，有最小值，且9分4（2010昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点.（1）求此抛物线的解析式；（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作M的切线l ，且l与x轴的夹角为30，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号） 解：（1）设抛物线的解析式为： 由题意得： 1分解得： 2分抛物线的解析式为： 3分（2）存在 4分l 抛物线的顶点坐标是，作抛物线和M（如图），设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与M相切于点C连接MC，过C作CD x 轴于D MC = OM = 2, CBM = 30, CMBCBCM = 90 ，BMC = 60 ，BM = 2CM = 4 , B (-2, 0) 在RtCDM中，DCM = CDM - CMD = 30DM = 1, CD = = C (1, )设切线 l 的解析式为:，点B、C在 l 上，可得： 解得： 切线BC的解析式为：点P为抛物线与切线的交点由 解得： 点P的坐标为：， 8分 抛物线的对称轴是直线此抛物线、M都与直线成轴对称图形于是作切线 l 关于直线的对称直线 l(如图)得到B、C关于直线的对称点B1、C1l满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线的对称点： ，即为所求的点.这样的点P共有4个：， 12分5（2011昆明）如图，在RtABC中，C=90，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿BCA方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动（1）求AC、BC的长；（2）设点P的运动时间为x（秒），PBQ的面积为y（cm2），当PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当点Q在CA上运动，使PQAB时，以点B、P、Q为定点的三角形与ABC是否相似，请说明理由；（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由解：（1）设AC=4x，BC=3x，在RtABC中，AC2+BC2=AB2，即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，AC=8cm，BC=6cm；（2）当点Q在边BC上运动时，过点Q作QHAB于H，AP=x，BP=10x，BQ=2x，QHBACB，QH=x，y=BPQH=（10x）x=x2+8x（0x3），当点Q在边CA上运动时，过点Q作QHAB于H，AP=x，BP=10x，AQ=142x，AQHABC，即：，解得：QH=（14x），y=PBQH=（10x）（14x）=x2x+42（3x7）；y与x的函数关系式为：y=；（3）AP=x，AQ=14x，PQAB，APQACB，即：，解得：x=，PQ=，PB=10x=，当点Q在CA上运动，使PQAB时，以点B、P、Q为定点的三角形与ABC不相似；（4）存在理由：AQ=142x=1410=4，AP=x=5，AC=8，AB=10，PQ是ABC的中位线，PQAB，PQAC，PQ是AC的垂直平分线，PC=AP=5，当点M与P重合时，BCM的周长最小，BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16BCM的周长最小值为166（2012昆明）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的图象过点，并与直线相交于、两点. 求抛物线的解析式（关系式）； 过点作交轴于点，求点的坐标； 除点外，在坐标轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.； 、或、或、或、或 解： 如图，因为一次函数交轴于点，所以， 即.又，一次函数交轴于点，所以，即. 由、是抛物线的图象上的点， 所以，抛物线的解析式是： 如图，、 在中， 点的坐标：设除点外，在坐标轴上还存在点，使得是直角三角形， 即或 .在中，若，那么是以为直径的圆与坐标轴的交点，这时会在轴的正半轴上和轴的正半轴上. .若交点在轴的正半轴上（如图），设，则有， ，此时 .若交点在轴的正半轴上（如图），设，此时过作垂直轴于点，则有，于是： ， ， 此时，或 .在中，若，即过作，这时会在轴的正半轴上和轴的负半轴上. . 在轴的正半轴上，如图，设，同样过作垂直轴于点，则在中，有 ， 此时， . 在轴的负半轴上，如图，设，过作垂直轴于点，则在中，有，即： 此时， 综上所述，除点外，在坐标轴上还存在点，使得是直角三角形，满足条件的点的坐标是：、或、或、或，或共五个点.7（2013昆明）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，=4，=3，若抛物线的顶点在边BC上，且抛物线经过、两点，直线AC交抛物线于点D。（1） 求抛物线的解析式；（2） 求点D的坐标；（3） 若点M在抛物线上，点N在轴上，是否存在以、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。OxyABCD解：（1）由题意知：A(4，0)，C(0，3)，BC=4。BC的中点坐标为（2，3）由对称性可知：抛物线的顶点坐标为（2，3）设抛物线的解析式为y=a（xh）2+k，由抛物线的顶点坐标为（2，3），则h=2，k=3将O（0，0）代入得：0=a（02）2+3，解得：a=抛物线的解析式为y=x2+3x(2)解：设直线AC的解析式为y=kx+b，将A(4,0),C(0，3)代入解析式可得：解得： 直线AC的解析式为由 解得或抛物线与直线AC的交点的坐标为（1，）和（4，0）点D的坐标为（1，）（3）存在。若点M在x轴的上方如图（1），过点D作DMx轴交抛物线于点MOxyABCDMN1N2图1DM=2，要使以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，须有AN=2，N1(2，0)，N2(6，0)若点M在x轴的下方图2OxyABCDM4N4N3M3如图（2）所示，要使以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，须有|Dy|=|My|=，且MNADMy=点M在抛物线y=x2+3x上x2+3x=解得：x1=2+7，x2=27，此时M3(2+7，)，M4(27，).当M3(2+7，)，M3N3AD设直线M3N3 的解析式为y=x+b,把M3(2+7，)代入解得：b=直线M3N3 的解析式为y=x+令y=0,解得:x=71，N3(71，0).当M4(27，), M4N4AD 同理可得直线M4N4的解析式为y=x+ 令y=0，解得：x=-71，N4(-71,0) 综上所述,满足条件的点N有四个：N1(2，0)，N2(6，0)，N3(71，0)，N4(-71，0)8（2014昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C。（1） 求抛物线的解析式；（2） 点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动。其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动。当PBQ存在时，求运动多少秒使PBQ的面积最大，最多面积是多少？（3） 当PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使，求K点坐标。9（2015昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x=（1）求抛物线的解析式；（2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MGx轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角（090），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）x=，b=，a=，把A（4，0），a=代入y=ax2+x+c，可得（）42+4+c=0，解得c=2，则抛物线解析式为y=x2+x+2（2）如图1，连接CM，过C点作CEMH于点E，y=x2+x+2，当x=0时，y=2，C点的坐标是（0，2），设直线AC解析式为y=kx+b（k0），把A（4，0）、C（