线性方程组的数值解法-安振华-2012011837

清华大学数学实验报告实验5：线性方程组的数值解法化学工程系 分2 安振华 2012011837【实验目的】1、掌握线性方程组的常用数值解法，包括高斯消去法、LU分解法以及校正法。 2、体验数值计算的时间复杂度和计算规模的关系。3、加深对数值计算误差的理解。4、学习使用迭代法等算法，求解非线性方程。5、学习如何使用MATLAB解非线性方程组和方程组。【实验内容】【实验五：习题9】种群的繁殖与稳定收获：种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应保持不变，种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数量均指其中的雌性。种群年龄记作k=1,2,n，当年年龄k的种群数量记作xk，繁殖率记作bk（每个雌性个体在1年繁殖的数量），自然存活率记作sk（sk=1-dk，dk为1年的死亡率），收获量记作hk，则来年年龄k的种群数量应为： 要求各个年龄的种群数量每年维持不变就是要使（1）若bk，sk已知，给定收获量hk，建立求各年龄的稳定种群数量xk的模型（用矩阵向量表示）（2）设n=5，b1=b2=b5=0，b3=5，b4=3，s1=s4=0.4，s2=s3=0.6，如果要求h1h5为500,400,200,100,100,求x1x5（3）要使h1h5均为500，如何达到？【分析】为方便起见以下种群数量均指其中的雌性。我们并且有以下的假设：(1)雌性个体的繁殖率和存活率在特定的时间内是不变的。(2)人工饲养的种群在质量和数量上是不受外界环境和资源的限制的。(3)模型中不考虑人为的或是自然的灾害所造成的种群数量、繁殖率和存活率的变动。(4)样本的量足够大使得每年新出生的个体数均为整数。(5)模型中的种群按年龄进行分组。【解答】(1)基于以上假设，要使各年龄种群数量每年维持不变即依题意得对上述方程组变换后得到 AX=H其中， X=x1,x2,x3,xnT H=0,h1,h2,hn-1T其解为X=A-1H此式即为种群数量xk 的模型。(2)MATLAB程序:clc;clear all;%按题给定的值赋予参数相应的值s=0.4,0.6,0.6,0.4;b=0,0,5,3,0;h=500,400,200,100,100;n=5;%生成矩阵AA1=sparse(1,1:n,b,n,n);A2=-eye(n);A3=sparse(2:n,1:n-1,s,n,n);A=A1+A2+A3;%生成矩阵HH=0,h(1:4);%求解Xx=AH; X=round(x) %对结果取整运行结果：k12345hk500400200100100XK 848128921335601141 结果分析：图像显示结果与前面分析大致相同，即圆桶在此过程做加速结果分析：其中x5=141h5=100，说明方程的解满足条件，计算正确。(3) 在上述程序中，将矩阵h的值全赋为500，其他不做任何变化，MATLAB程序:clc;clear all;%按题给定的值赋予参数相应的值s=0.4,0.6,0.6,0.4;b=0,0,5,3,0;h=500,500,500,500,500;n=5;%生成矩阵AA1=sparse(1,1:n,b,n,n);A2=-eye(n);A3=sparse(2:n,1:n-1,s,n,n);A=A1+A2+A3;%生成矩阵HH=0,h(1:4);%求解Xx=AH; X=round(x) %对结果取整运行结果：X1X2X3X4X51098138921835601-259结果分析：结果中X5 为负值，这显然是不可能的，这说明按题目中设定的前提条件是不可能使得h1,，h5 均为500 的。 对于一个特定的生物物种，通过人工条件改变其繁殖率是相当困难的，但是可以通过改善养殖条件等方法增大物种的成活率。很显然， x1x2x3x4500if sum(X)1.0769.(2) 方程有二个收敛极限时：根据，解出1.0769q0.9065.(3) 方程有四个收敛极限时：根据，解出0.9065q0.8968.(4) 方程有八个收敛极限时：根据，解出0.8968q0.8685.则。可见当n较小时，其值与Feigenbaum常数差距很大。这与之前得到的结论一致！【结论】当n值越大，比值越接近于Feigenbaum常数。 【实验总结】 对本章的学习让我掌握了非线性方程及方程组的解法。在学习微积分的时候，我发现我们总是比较喜欢解决线性的问题，因为线性较好的函数会有一些我们容易把握的性质。但是一旦涉及非线性问题时，在理论上就已经成为一个复杂的问题。在本章之后我觉得数值解法基本都是通过迭代的方式进行。像牛顿法就是在向我们展示如何科学地选择一个高效迭代函数。 而混沌现象的计算又让我对之前对“混沌”这个词的感性认识上升了一个层面。当迭代式中的某些参数变化时，可能让一个收敛序列变成几个收敛子列，最终甚至完全看不出其变化规律。而实际的数值计算又难免有数值舍入误差，这些误差被混沌的现象放大之后，就会出现“失之毫厘，谬以千里”的错误。因此一旦会出现混沌现象时，对初值的代入再精确也没有了意义。这一点可以指导实际生活中的许多事情