概率论第二章习题ppt课件

第二章习题 1 一袋中装有5只球 编号为1 2 3 4 5 在袋中同时取3只 以X表示取出的3只球中的最大号码 写出随机变量X的分布律 解基本事件是从5只球中同时取3只 有种取法 X只能取值3 4 5 X 3时 一只球编号为3 另外两只球编号为1 2 只有一种取法 X 4时 一只球编号为4 另外两只球只能从编号为1 2 3的三只球中取 有种取法 X 5时 一只球编号为5 另外两只球只能从编号为1 2 3 4的四只球中取 有种取法 X的分布律为 也可列表表示 3 设在15只同类型的零件中有2只是次品 在其中取3次 每次任取1只 作不放回抽样 以X表示取出次品的只数 1 求X的分布律 2 画出分布律的图形 解法一 X可能取值为0 1 2 P X 0 P A1A2A3 P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 P X 1 P X 2 设事件Ai表示 第i次取到正品 i 1 2 3 也可由 P X 2 1 P X 0 P X 1 法二 用等可能概型 基本事件是从15只零件中取3只 有种取法 X 0时 取出的3只都是正品 有种取法 X 1时 取出的3只中有2只正品 1只次品 有种取法 X 2时 取出的3只中有1只正品 2只次品 有种取法 故P X 0 22 35 P X 1 12 35 P X 2 1 35 X的分布律为 其图形为 4 进行重复独立试验 设每次试验成功的概率为p 失败的概率为q 1 p 0 p 1 1 将试验进行到出现一次成功为止 以X表示所需的试验次数 求X的分布律 此时称X服从以p为参数的几何分布 将试验进行到出现一次成功为止 所需的试验次数X 1 2 k X k时 前k 1次试验均未成功 第k次试验才成功 由于各次试验相互独立 故 1 p k 1p X的分布律为P X k p 1 p k 1 k 1 2 3 一篮球运动员的投篮命中率为45 以X表示他首次投中时累计已投篮的次数 写出X的分布律 并计算X取偶数的概率 解这是 1 中p 0 45的情况 故X的分布律为 P X k 0 45 0 55 k 1 k 1 2 但这成功的r次试验 除最后一次必成功外 另外成功的r 1次可以是总的k 1次中的任意r 1次 共有 种可能 每一种可能的概率均为 qk rpr 1 p k rpr 故Y的分布律为 2 将试验进行到出现r次成功为止 以Y表示所需的试验次数 求Y的分布律 此时称Y服从以r p为参数的巴斯卡分布 解将试验进行到出现r次成功为止 所需的试验次数Y r r 1 Y k时 共进行了k次试验 其中成功r次 未成功k r次 k r 若后r次试验成功 则前k r次试验未成功 其概率为 qk rpr X取偶数可视为所有 X 2n n 1 2 事件的总和 其概率为 7 设事件A在一次试验中发生的概率为0 3 当A发生不少于3次时 指示灯发出信号 1 进行了5次重复独立试验 求指示灯发出信号的概率 2 进行了7次重复独立试验 求指示灯发出信号的概率 解设X表示n次重复独立试验中事件A发生的次数 由于事件A在一次试验中发生的概率p 0 3 故X b n 0 3 X的分布律为 1 n 5所求概率为 P X 3 P X 3 P X 4 P X 5 0 163 2 n 7所求概率为 P X 3 P X 3 P X 4 P X 5 P X 6 P X 7 1 P X 3 1 P X 0 P X 1 P X 2 0 353 14 2 求第 1 题中的随机变量的分布函数 解由第 1 题的结果 X的分布律为 F x P X x x 3 F x 0 3 x 4 F x P X 3 1 10 4 x 5 F x P X 3 P X 4 4 10 2 5 x 5 F x P X 3 P X 4 P X 5 1 总之 X的分布函数为 15 在区间 0 a 上任意投掷一个质点 以X表示这个质点的坐标 设这个质点落在 0 a 中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成比例 试求X的分布函数 解由于质点只能落在 0 a 中 故 Xa 是不可能事件 P Xa 0 1 若x 0 X x 是不可能事件 F x P X x 0 2 若0 x a 事件A表示 质点落在 0 a 中小区间 0 x 内 则P A P 0 X x 与该小区间的长度x成比例 令P 0 X x kx 0 x a 则1 P a ka 故k 1 a 从而P 0 X x x a 0 x a 因此F x P X x P X 0 P 0 X x x a 3 若x 2 F x P X x P X 0 P 0 X a P a X x 1 F x 的图形如右 17 设随机变量X的分布函数为 1 求P X 2 P 0 X 3 P 2 X 5 2 2 求概率密度fX x 解 1 P X 2 FX 2 ln2 P 0 X 3 FX 3 FX 0 1 P 2 X 5 2 e 2 72 FX 5 2 FX 2 ln 5 2 ln2 ln 5 4 2 fX x FX x x 1处 左导数 右导数 x e处 18 设随机变量X的概率密度为 求X的分布函数F x 并画出 2 中的f x 及F x 的图形 解 1 X 1时 F x 0 1 x 2时 x 2时 总之 F x 和f x 的图形如下 19 2 研究了英格兰在1875年 1951年期间 在矿山发生导致10人或10人以上死亡的事故的频繁程度 得知相继两次事故之间的时间T 以日计 服从指数分布 其概率密度为 求分布函数FT t 并求概率P 50 T 100 解 t 0 t 0 总之 也可由指数分布 241直接得此结果 P 50 T 100 FT 100 FT 50 20 某种型号的器件的寿命X 以小时计 具有以下的概率密度 现有一大批此种器件 设各器件损坏与否相互独立 任取5只 问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率 解设1只器件的寿命大于1500小时的概率为p 而Y是取出的5只中寿命大于1500小时的器件数 则Y b 5 p 由于 Y的分布律为 所求概率为P Y 2 1 P Y 2 1 P Y 0 P Y 1 X 1000 F x 0 1 P X 1500 1 F 1500 23 设X N 3 22 1 求P 22 P X 3 2 确定c 使得P X c P X c 3 设d满足P X d 0 9 问d至多为多少 解 1 P 2 X 5 0 8413 1 0 6915 0 5328 P 4 X 10 2 0 9998 1 0 9996 P X 2 P X 2 X 2 1 P 2 X 2 P X 2 P X 2 1 P X 2 P X 2 0 6915 1 0 9938 0 6977 P X 3 1 P X 3 1 0 5 0 5 1 P X 2 26 3 要使d满足P X d 0 9 即 1 P X d 解得d 3 2 56 0 44 2 由于正态分布的分布曲线即概率密度曲线以直线x 为对称轴 因此 P X P X 本题中 3 故只需取c 3 就可以使P X c P X c 一工厂生产的某种元件的寿命X 以小时计 服从参数为 160 的正态分布 若要求P 120 X 200 0 80 允许 最大为多少 解P 120 X 200 解得 必须 最大值 27 设随机变量X的分布律为 求Y X2的分布律 解Y的取值如右 P Y 0 P X 0 1 5 P Y 1 P X 1 P X 1 7 30 P Y 4 P X 2 1 5 列表得 P Y 9 P X 3 11 30 28 1 设随机变量X在 0 1 上服从均匀分布 求Y eX的概率密度 解X的概率密度 1 法一 FY y P Y y P eX y P X lny FX lny fY y FY y 法二 y g x ex g x ex 0 x h y lny h y 1 y 由00 28 2 设随机变量X在 0 1 上服从均匀分布 求Y 2lnX的概率密度 法一 FY y P Y y P 2lnX y fY y FY y 故 法二 y g x 2lnx g x 2 x0时 由 得到y 0 此时 31 设随机变量X的概率密度为 求Y sinX的概率密度 解由于y sinx在 0 上不是单调区间 故不能套用p64定理的结果 由于Y sinX只能在区间 0