预测控制-5ppt课件

预测控制PredictiveControl 宋执环控制科学与工程学系 控制科学与工程学科博士研究生学位课程 第5讲 广义预测控制 GPC 25 04 2020 3 内容要点 预备知识时间序列建模极小方差控制 MVC自校正控制广义预测控制 GPC 基本思想GPC基本算法GPC基本算法GPC内模结构分析有色噪声GPC算法算法推导GPC等效状态空间分析多变量GPC算法典型对象的GPC算法 预备知识 1 时间序列建模 25 04 2020 5 时间序列 对某一 组 变量x t 进行观测测量 在一系列递增的时间点t1 t2 tn采样得到的离散 有序的数据集合 x t1 x t2 x tn 称为时间序列 特例 白噪声 是一个纯随机过程 记作 k 表征 k 与 k 1 k 1 不相关 25 04 2020 6 自回归模型 自回归模型 AutoRegressive AR 其中 k 是白噪声 y k 是n阶自回归变量 稳定性条件 A z 1 是稳定多项式 即特征根全在单位园内 称y k 是平稳自回归随机过程变量 k 被控对象 y k 25 04 2020 7 滑动平均模型 滑动平均模型 MovingAverage MA 其中 k 是白噪声 y k 是m阶滑动平均变量 若c0 1 则C z 1 是首一多项式 k 被控对象 y k 25 04 2020 8 自回归滑动平均模型 自回归滑动平均模型 AutoRegressiveMovingAverage ARMA k 是白噪声 y k 是n阶自回归m阶滑动平均变量 稳定性 y k 是平稳随机过程 条件 A z 1 是稳定多项式 25 04 2020 9 自回归积分滑动平均模型 自回归积分滑动平均模型 AutoRegressiveIntegratedMovingAverage ARIMA 稳定性 y k 是平稳随机过程 条件 A z 1 是稳定多项式 1 表示积分作用 25 04 2020 10 受控自回归滑动平均模型 受控自回归滑动平均模型 ControlledAutoRegressiveMovingAverage CARMA 稳定性条件 A z 1 是稳定多项式 25 04 2020 11 受控自回归积分滑动平均模型 受控自回归积分滑动平均模型 ControlledAutoRegressiveIntegratedMovingAverage CARIMA 稳定性条件 A z 1 是稳定多项式 预备知识 2 极小方差控制 MVC 25 04 2020 13 极小方差控制 极小方差控制 MinimumVarianceControl MVC MVC的控制目标是输出方差极小 k 是白噪声 25 04 2020 14 极小方差控制 考虑受控自回归 CAR 模型 考虑噪声时 25 04 2020 15 极小方差控制 此时是一个CARMA模型 k 是平稳高斯过程 正态分布 k 是白噪声 或独立正态分布 即 k 与u k y k 不相关 25 04 2020 16 极小方差控制 代入得到 为方便起见 假定A z 1 B z 1 C z 1 都是n阶多项式 即na nb nc n控制目标 25 04 2020 17 极小方差控制 由于存在纯滞后 需作如下预估 上式第二项中包含白噪声序列 k 在当前k时刻及其以前 以后的取值 k 1 k k 1 k 其中k时刻及其以前的 k k 1 是已知信息 需要将它们分离表达出来 25 04 2020 18 极小方差控制 运用以下恒等多项式 那么 25 04 2020 19 极小方差控制 进一步得到 CARMA模型可以得到 未知噪声 已知噪声 25 04 2020 20 极小方差控制 进一步整理得到 上述推导过程用到恒等多项式 25 04 2020 21 极小方差控制 由此得到系统的输出方差 k 是独立的 且与u k y k 不相关 25 04 2020 22 极小方差控制 由此得到系统的输出方差 由于 k 是0 1正态分布 而且 25 04 2020 23 极小方差控制 所以输出方差的极小值 极小方差控制律 输出反馈 25 04 2020 24 极小方差控制总结 考虑CARMA模型 其极小方差控制律为 其中多项式F z 1 G z 1 由如下恒等多项式给出 25 04 2020 25 极小方差控制总结 极小方差控制律的求解过程可以分解为2个问题 预测问题 预估 k 控制问题 求解最优控制律u k 闭环系统的极点就是多项式C z 1 的零点 控制误差为 极小方差为 二者可以分离进行 预备知识 3 自校正控制 25 04 2020 27 自校正控制 自校正控制 Self tuningControl 在常规控制器的基础上 引入自校正机制 抑制不确定性对闭环系统性能的影响 保持期望的控制性能 不确定性 建模误差 扰动 过程特性变化 工况发生变化 参数不确定性 结构不确定性 可测扰动 不可测扰动 25 04 2020 28 自校正控制 自校正控制结构在线闭环辨识控制器参数在线整定闭环控制 25 04 2020 29 自校正控制 自校正控制参数估计形式显式自校正 又称间接自校正 先估计模型参数 再修正控制器参数 隐式自校正 又称直接自校正 直接估计控制器参数 自校正控制参数估计方法最小二乘类 LS RLS 极大似然法其它方法 辅助变量法 M估计 子空间 广义预测控制概述 25 04 2020 31 广义预测控制 GPC 提出的背景工业过程的复杂化对控制性能要求的不断提高DMC与MAC等基本预测控制算法在选择反馈校正系数时遇到了难以兼顾抗干扰性与鲁棒性的困难基本思路在控制过程中 通过在线辨识使得预测模型跟踪系统特性变化 同步体现被控对象变化 根据辨识模型及时调整控制器参数 从而抑制扰动的影响 使算法既有较好的控制性能又有较强的鲁棒性 25 04 2020 32 广义预测控制 GPC GPC源自模型预测控制 自校正控制 极小方差控制 系统辨识等思想 吸取DMC MAC中多步预测优化策略 在滚动优化时与一般的预测控制相似 与DMC MAC相比 在预测模型形式和反馈校正策略方面则有很大差别 预测控制自校正控制极小方差控制系统辨识 25 04 2020 33 广义预测控制 GPC GPC源自模型预测控制 自校正控制 极小方差控制 系统辨识等思想 吸取DMC MAC中多步预测优化策略 在滚动优化时与一般的预测控制相似 与DMC MAC相比 在预测模型形式和反馈校正策略方面则有很大差别 25 04 2020 34 广义预测控制 GPC 广义预测控制由三部分组成预测模型 受控自回归积分滑动平均模型 CARIMA滚动优化 性能指标 参考轨迹 在线优化反馈校正 通过在线估计预测模型参数 并修正控制律 间接实现反馈校正 25 04 2020 35 广义预测控制 GPC 几篇重要文献Clark等 Automatica 1987 Vol 23 No 2 p137 160 第一次提出GPC思想 算法和性质 Clark等 IEEEControlSystemsMagazine 1988 Vol 8 No 2 p49 55 阐述GPC算法的工业应用 Clark等 Automatica 1989 Vol 25 No 6 p859 875 给出多变量GPC算法 GPC基本算法 白噪声情况 C z 1 1 25 04 2020 37 预测模型 广义预测控制的预测模型 CARIMA 自回归项 受控项 滑动平均项 积分项 25 04 2020 38 预测模型 考虑白噪声情形 C z 1 1 25 04 2020 39 预测模型 引入Diophantin方程 恒等多项式 j 1次多项式 nA次多项式 25 04 2020 40 多步预测预测 利用Diophantin方程 通过化简得到 25 04 2020 41 多步输出预测 得到多步输出预测的表达式 25 04 2020 42 多步输出预测 25 04 2020 43 多步输出预测 M P 25 04 2020 44 多步输出预测 写成矩阵形式 待求的控制序列 已知信息 其中 25 04 2020 45 多步输出预测 当M P时 当M P时 25 04 2020 46 多步输出预测 多步输出预测 25 04 2020 47 多步输出预测 多步输出预测令F k 0 U k 1 0 0 T 强迫响应控制激励 自由响应初始条件 g0 g1 gP 1等效于单位系数脉冲 25 04 2020 48 Diophantin方程求解 Diophantin方程求解 第j步预测 第j 1步预测 25 04 2020 49 Diophantin方程求解 Fj 1 z 1 与Fj z 1 之间的递推关系 25 04 2020 50 Diophantin方程求解 将等式两边的多项式展开 同次幂项的系数相等 25 04 2020 51 Diophantin方程求解 得到递推关系 25 04 2020 52 Diophantin方程求解 Diophantin方程递推公式 初始值 25 04 2020 53 Diophantin方程求解 多项式Gj z 1 的递推关系 25 04 2020 54 计算实例 给定如下CARIMA模型 其中 25 04 2020 55 计算实例 当j 1时 即 25 04 2020 56 计算实例 当j 2时 25 04 2020 57 计算实例 当j 3时 继续逐次计算j 3 4 P 25 04 2020 58 性能指标与参考轨迹 二次型性能指标参考轨迹 25 04 2020 59 滚动优化 GPC控制律 25 04 2020 60 自适应机制 广义预测控制反馈校正算法在线估计预测模型参数 z 1 在线修正控制律 dT间接实现一种广义的反馈校正抑制不确定性影响参数不确定性 系数ai bi结构不确定性 阶次nA nB 25 04 2020 61 参数辨识算法 由CARIMA模型 展开简化得到 25 04 2020 62 参数辨识算法 最小二乘格式 25 04 2020 63 参数辨识算法 递推最小二乘算法 是遗忘因子 0 1 一般取 0 95 0 98 V k 是正定矩阵 是足够大的正数 25 04 2020 64 GPC基本算法小结 初选控制参数 Q R P M ysp z 1 采集输入 输出样本 u k y k 用RLS算法估计参数递推求解Diophantine方程 得到计算F k 在线计算控制器参数dT得到控制增量 u k 和控制输入u k u k 1 u k k 1 k 进入下一周期预测计算和滚动优化 25 04 2020 65 GPC结构图 k j ysp 参考轨迹w k j 优化算法minJ k 对象 多步输出预测 y k u k 在线估计A z 1 B z 1 25 04 2020 66 广义预测控制 GPC 广义预测控制GPC与DMC相比 DMC相当于用一个不变的预测模型并附加一个误差预测模型共同保证对未来输出作出较准确的预测 而GPC则只用一个模型 通过对其在线修正给出较准确的预测 GPC性能分析 1 内模结构分析 25 04 2020 68 等效内模结构分析 考虑CARIMA模型 多步输出预测 记则有优化性能指标 25 04 2020 69 等效内模结构分析 参考轨迹 其中 25 04 2020 70 等效内模结构分析 得到GPC控制律 被控对象传递函数 25 04 2020 71 u k 等效结构图变换 F k ysp G z 1 F z 1 y k H z 1 dT M L 25 04 2020 72 u k 等效结构图变换 ysp G z 1 dT F z 1 L y k dTH z 1 dTM 25 04 2020 73 u k u k 等效结构图变换 ysp dT F z 1 L y k dTM G z 1 25 04 2020 74 u k 等效内模控制结构图 ysp y k G z 1 GC z 1 z 1 GF z 1 25 04 2020 75 等效内模结构分析 等效IMC中各环节的传递函数 25 04 2020 76 等效内模控制结构 记控制器可表示为 25 04 2020 77 等效内模控制结构 闭环传递函数 25 04 2020 78 等效内模控制结构 当模型匹配时闭环系统零点被控对象零点闭环系统极点控制器极点相当于反馈通道断路 不起作用 25 04 2020 79 几点结论 GPC本质上是一种零极点对消的控制策略 用控制器的零点来对消被控对象的极点 从而实现闭环系统极点配置 GPC不能改变被控对象的零点 被控对象的零点仍然是变化系统的零点 因而GPC不改变被控对象的非最小相位特性 对偶稳定性 Gc z 1 稳定 G z 1 稳定闭环稳定理想控制器 不成立 25 04 2020 80 几点结论 稳态误差 无稳态误差 25 04 2020 81 关于GPC的结论 1 GPC闭环系统的动态性能取决于控制器的特征多项式AC z 1 的根 而AC z 1 根的分布又取决于被控对象的开环特征多项式A z 1 和控制器参数dT 因此 要使得闭环系统有满意的动态性能 在设计控制器参数dT时 必须时AC z 1 稳定 特征根根分布在单位园内 且收敛快 25 04 2020 82 闭环系统鲁棒性 当模型匹配时此时闭环系统的特征多项式不再是AC z 1 而是GF z 1 相当于IMC的反馈通道的滤波器 可改善闭环系统鲁棒性 以上仅是通过等效IMC结构进行GPC的性能分析 实际上GPC通过在线参数估计来提高预测精度 从而改善鲁棒性 关于GPC的结论 2 25 04 2020 83 鲁棒性分析 多步输出预测 实际系统输出 存在预测误差 25 04 2020 84 鲁棒性分析 存在建模误差 参数型建模误差 多项式的系数ai bi与 i 有误差结构型建模误差 或 或 25 04 2020 85 鲁棒性分析 例 当时 通过在线估计可使 i与ai尽可能接近 从而使 z 1 与A z 1 尽可能接近 二者之间仅存在参数误差 当时 对于阶次高于的系数ai 无法通过参数估计得到相应的 i 从而使使 z 1 与A z 1 之间仅存在结构误差 25 04 2020 86 鲁棒性分析结论 GPC对参数型不确定性有较强的鲁棒性 GPC对结构型不确定性的鲁棒性较差 若仅考虑闭环系统鲁棒性 GPC的预测模型的阶次应该适当选择高一些 但这对控制器设计来说使不经济的 GPC适合于模型阶次的上限已知的被控对象 25 04 2020 87 稳定性分析结论 对如下系统 若 A z 1 与B z 1 不可约 P M R 0 正定 则必存在一个取值有限的P 使GPC闭环系统稳定 25 04 2020 88 稳定性分析结论 对如下系统 若 A z 1 与B z 1 可约 但公因子稳定 P M R 0 正定 则必存在一个取值有限的P 使GPC闭环系统稳定 A z 1 与B z 1 可约 由于GPC对结构型不确定性的鲁棒性差 所以通常是模型的阶次高于被控对象的阶次 关键是开环特征方程的阶次 从而使得 A z 1 与B z 1 可约 25 04 2020 89 稳定性分析结论 对如下系统 能稳定 且能检测 P M 但P M是有限值R 0 正定 则必存在一个取值有限的P 使GPC闭环系统渐近稳定 仿真算例 25 04 2020 91 仿真算例 1 被控对象模型为其中极点用GPC算法进行仿真 25 04 2020 92 仿真算例 1 25 04 2020 93 仿真算例 2 考虑一阶加纯滞后对象 其对象模型为 25 04 2020 94 仿真算例 2 离散化后的脉冲传递函数为 采样周期T0 5秒 25 04 2020 95 仿真算例 2 图1单位阶跃相应 25 04 2020 96 仿真算例 2 图2每次模型改变时给定时也相应地进行切换 GPC算法 有色噪声情况 C z 1 1 25 04 2020 98 预测模型 广义预测控制的预测模型 CARIMA 自回归项 受控项 滑动平均项 积分项 25 04 2020 99 预测模型 考虑有色噪声情形 C z 1 1 有色噪声 25 04 2020 100 预测模型 引入Diophantin方程 恒等多项式 j 1次多项式 nA次多项式 25 04 2020 101 多步预测预测 利用Diophantin方程 通过化简得到 25 04 2020 102 多步预测预测 引入新的Diophantin方程 25 04 2020 103 多步预测预测 整理化简得到 25 04 2020 104 多步预测预测 记 25 04 2020 105 多步输出预测 整理得到记则有 25 04 2020 106 多步预测预测 25 04 2020 107 多步输出预测 25 04 2020 108 多步输出预测 写成矩阵形式 待求的控制序列 已知信息 其中 25 04 2020 109 多步预测预测 25 04 2020 110 多步输出预测 当M P时 当M P时 25 04 2020 111 性能指标与参考轨迹 二次型性能指标参考轨迹 25 04 2020 112 GPC控制律 广义预测控制滚动优化 25 04 2020 113 GPC控制律 定义多项式则有 25 04 2020 114 GPC控制律 令则有 25 04 2020 115 GPC控制结构 u k GP z 1 u k 1 25 04 2020 116 GPC控制结构 W k P D z 1 u k GP z 1 z 1 C z 1 z 1 z 1 1 C z 1 y k u k 1 y k 25 04 2020 117 控制器参数计算 控制器参数dT与多项式Ej z 1 Fj z 1 Gj z 1 和Hj z 1 的系数直接相关 多项式Ej z 1 Fj z 1 Gj z 1 和Hj z 1 的求解方法与C z 1 1时相同 仍然可以得到系数递推算法 请参见相关文献 25 04 2020 118 自适应机制 广义预测控制反馈校正算法在线估计预测模型参数 z 1 z 1 在线修正控制律 dT间接实现一种广义的反馈校正抑制不确定性影响参数不确定性 系数ai bi ci结构不确定性 阶次nA nB nC 25 04 2020 119 参数辨识算法 由CARIMA模型 展开简化得到 25 04 2020 120 参数辨识算法 最小二乘格式 25 04 2020 121 参数辨识算法 递推最小二乘算法 是遗忘因子 0 1 一般取 0 95 0 98 V k 是正定矩阵 是足够大的正数 25 04 2020 122 GPC算法小结 初选控制参数 Q R P M ysp z 1 采集输入 输出样本 u k y k 用RLS算法估计参数递推求解计算矩阵G在线计算控制器参数dT或D z 1 z 1 z 1 得到控制增量 u k 和控制输入u k u k 1 u k k 1 k 进入下一周期预测计算和滚动优化 25 04 2020 123 C z 1 的影响 由于C z 1 1参数估计的数目增加 使在线辨识的工作量增加 Diophantine方程的求解较为复杂 GPC稳定性分析 25 04 2020 125 稳定性分析 从前述的结构图可以推导出闭环传递函数 闭环特征方程 25 04 2020 126 稳定性分析 经过化简 可以得到 最后 闭环特征方程等效为 25 04 2020 127 稳定性分析 系统闭环稳定 当且仅当 C z 1 S z 1 稳定C z 1 的零点闭环极点实际应用中 由于C z 1 的参数是通过在线估计得到的 所以难以严格保证C z 1 是稳定多项式 为解决这一问题 常通过引入滤波器来替代C z 1 带滤波器的GPC算法 25 04 2020 129 带滤波器的GPC算法 考虑分布式噪声 当噪声的方差相同时 此时分布式噪声可以等效为集中噪声 25 04 2020 130 带滤波器的GPC算法 引入噪声滤波器T z 1 替代C z 1 T z 1 的设计原则 使T z 1 是稳定多项式 即T z 1 的根再单位园内 此时有 25 04 2020 131 算法小结 初选控制参数 Q R P M ysp T0 z 1 采集输入 输出样本 u k y k 用RLS算法估计参数设计滤波器T z 1 来替代C z 1 递推求解在线计算控制器参数dT或D z 1 z 1 z 1 得到控制增量 u k 和控制输入u k u k 1 u k k 1 k 进入下一周期预测计算和滚动优化 25 04 2020 132 算法小结 实际应用中常选T z 1 一阶或二阶低通滤波器引入滤波器T z 1 后 具有以下优点 简化了算法 无需在线估计C z 1 保证T z 1 是稳定多项式T z 1 阶次低 计算快捷尽管T z 1 C z 1 仍然可以获得满意的性能此时得到的控制律 u k 是次优控制 GPC性能分析 等效状态空间 25 04 2020 134 模型变换 对如下系统 25 04 2020 135 模型变换 A z 1 B z 1 C z 1 可以统一描述为 25 04 2020 136 模型变换 则CARIMA模型的能控标准型实现为 25 04 2020 137 基于状态方程的多步预测 多步输出预测为 25 04 2020 138 基于状态方程的多步预测 当x k 不可直接测量时 通过Kalman滤波器进行状态估计 其中K k 是Kalman滤波器的增益向量 25 04 2020 139 基于状态方程的多步预测 是正常数 P k 是协方差矩阵 若 A hCT 稳定 则 25 04 2020 140 稳定性分析结论 对如下系统 能控 且能观测 R 0 正定 则必存在一个取值有限的P 使GPC闭环系统渐近稳定 多变量GPC算法 25 04 2020 142 预测模型 多变量预测模型 CARIMA 25 04 2020 143 预测模型 25 04 2020 144 预测模型 引入Diophantine方程 恒等多项式 j 1次多项式 nA次多项式 25 04 2020 145 多步输出预测 利用Diophantine方程 通过化简得到 25 04 2020 146 多步输出预测 写成矩阵形式 待求的控制序列 已知信息 其中 25 04 2020 147 多步输出预测 矩阵的排列方式 1 25 04 2020 148 多步输出预测 矩阵的排列方式 2 25 04 2020 149 多步输出预测 其中 25 04 2020 150 多步输出预测 当M P时 当M P时 25 04 2020 151 性能指标与参考轨迹 二次型性能指标参考轨迹 25 04 2020 152 滚动优化 GPC控制律 典型工业过程GPC设计 25 04 2020 154 内容要点 典型工业过程描述模型简化降阶模型 一阶惯性 滞后模型 一阶惯性 积分 滞后基于模型 的GPC设计基于模型 的GPC设计 典型工业过程描述 模型降阶与简化 25 04 2020 156 模型简化 广义预测控制 GPC 的在线计算 在线参数估计求解Diophantin方程绝大多数工业过程可以用以下简化模型近似表示 惯性环节 惯性 滞后环节 惯性 积分 滞后环节 25 04 2020 157 过程实例 例如 长线管道的传热模型将长线管道均匀分割成N段 每段的热传递模型可以表示成 整个长线管道就可以视为N个单元的串级而构成 如果Ti Ti 1 极端情况 惯性环节 25 04 2020 158 模型等效 一般情况下 如果一个工业过程可以看成是若干个一阶惯性单元的串级联结而成 而且每个动态单元的参数 Ki Ti 各不相同但其中的某个动态单元的时间常数T1明显大于其它单元的时间常数 即该单元在系统中起主导作用那么 可以将其它的N 1个小时间常数单元的作用累加起来 它们的总影响可以近似作为纯滞后作用 25 04 2020 159 典型过程模型 典型过程模型 典型过程模型 模型参数求取系统增益 K y k u k k 惯性时间常数 T 1 5 t2 t1 纯滞后时间 1 5 t1 t2 3 95 T95 典型过程GPC系统设计 1 基于模型 dT0 25 04 2020 161 过程模型 典型过程模型 取采样周期为T0 当 dT0时 离散化得到的模型为 其中 连续模型 离散模型 25 04 2020 162 过程模型 转换成CARIMA模型 25 04 2020 163 预测模型 化简整理得到 25 04 2020 164 预测模型 化简整理得到 25 04 2020 165 输出预测 大范围输出预测 其中 25 04 2020 166 性能指标与参考轨迹 二次型性能指标参考轨迹 25 04 2020 167 滚动优化 GPC控制律不失一般性 令 25 04 2020 168 参数化控制器 令h是H z 1 的第一行 则有为了使控制器结构进一步简化 假定w k j ysp 即得到参数化控制器形式 25 04 2020 169 参数化控制器 当系统趋于稳态时代入 则有控制器参数与模型参数a b以及设计参数P M Q R等相关 仅有2个参数独立 25 04 2020 170 参数化控制器结构 ysp lw u k z 1 1 a b 预估器 参数估计 y k ly1ly2 z 1 u k bz 1z d1 az 1 u k 1 k d k d 1 自适应算法 ly1ly2lw 保持稳态增益为1 25 04 2020 171 控制器参数计算 方法1 直接计算给定P M Q R d及T0由 u k y k 在线估计面