矩阵秩重要知识点总结_考研必看

一 矩阵等价行等价：矩阵A经若干次初等行变换变为矩阵B 列等价：矩阵A经若干次初等列变换变为矩阵B矩阵等价:矩阵A经若干次初等行变换可以变为矩阵B，矩阵B经若干次初等行变换可以变成矩阵A，则成矩阵A和B等价矩阵等价的充要条件1. 存在可逆矩阵P和Q,PAQ=B2. R(A)=R(B)二 向量的线性表示Case1：向量能由向量组A线性表示: b=11+22+33+mm充要条件:1.线性方程组A=b有解2.R(A)=R(A,b)Case2：向量组B能由向量组A线性表示充要条件： R(A)=R(A,B)推论 R(A)=R(A,B),R(B) R(A,B) R(B) R(A)Case3：向量组A能由向量组B线性表示充要条件： R(B)=R(B,A) 推论 R(B)=R(A,B),R(A) R(A,B) R(A) R(B)Case4：向量组A和B能相互表示，即向量组A和向量组B等价充要条件: R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A)Case5：n维单位坐标向量组En能由矩阵A的列向量组线性表示充要条件是: R(A)=R(A,E)n=R(E)=n，所以R(A)=n=R(A,E)三 线性方程组的解1. 非齐次线性方程组（1） R(A)=R(A,B),方程有解.（2） R(A)=R(A,B)=n，解唯一.（3） R(A)=R(A,B) n,无穷多解.解向量的个数=n-R(A)（4） R(A) R(A,B) 2齐次线性方程组 （1） 一定有解 （2） 有非零解的充要条件R(A)n四向量组线性相关性 向量组线性相关：存在不全为0的实数1、2，3n,满足11+22+33+nn=0充要条件:（1） R(A)n（2） 向量组中至少有一个向量能由其余n-1个向量线性表示（3） n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解Case1：向量组A要么线性相关，要么线性无关，两者必居其一Case2：向量组A只包含一个向量， 是零向量，向量组A线性无关; 是非零向量，向量组A线性无关。Case3：两个向量线性相关，向量的分量对应成比例Case4：三个向量线性相关，向量共面向量组线性无关向量组 A：a1, a2, , am 线性无关如果 k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量），则必有k1 = k2 = = km =0 充要条件（1）m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解（2）矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的个数 m （3）向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线性表示重要推论：1.若向量组 A ：a1, a2, , am 线性相关， 则向量组 B ：a1, a2, , am, am+1 也线性相关其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关2.m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时，一定线性相关向量组形状成长方形3.特别地， n + 1个 n 维向量一定线性相关设向量组 A ：a1, a2, , am 线性无关， 而向量组 B ：a1, a2, , am, b 线性相关，则向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表示式是唯一的五