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北京大学现代远程教育 计算机科学与技术专业高等代数（一）复习提纲 （05.11）（第一学期期末用）第一章 行列式4 行列式的性质（六条性质）5 行列式对一行（列）的展开 6 行列式的计算 习题1.54（1）（2）， 习题1.64，5，6复习题14，6，7，9第二章 线性方程组1 克莱姆法则当方程个数等于未知量个数（均为n）时，若系数行列式 则方程组有唯一解：（i=1，2，n）2 消元法对于线性代数方程组，写出其增广矩阵，对它进行初等行变换，化成阶梯形矩阵：阶梯形矩阵得到同解的阶梯形方程组，由此得出方程组的解。4、5 n维向量空间、线性相关性1、单个向量线性相关 单个向量线性无关 2、若向量组线性无关，则在此向量组的每个向量上添加一个分量后，所得向量组仍线性无关。3、n个n维向量（i=1,2，n）线性相关4、（定理7）若向量组，可由向量组线性表出， 则，线性相关。（推论1）若向量，可由向量组线性表出，且，线性无关，则。 （推论2）任意n+1个n维向量，必线性相关。（推论3）两个等价的线性无关的向量组，必包含相同个数的向量。5、向量组，线性相关，中有一个向量可以被其余向量线性表出。6、向量组的任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。7、向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的，因此都包含相同个数的向量。8、一个向量组线性无关此向量组的秩等于它所含向量的个数。9、若向量组，可由向量线性表出，则 （习题2.5（3）：5）10、等价的向量组有相同的秩 （其逆命题不成立）11、若两个向量组有相同的秩，且其中一个向量组可以由另一个向量组线性表出，则这两个向量组等价。 （复习题2：10）习题2.5（1）2，4，52.5（2）2，32.5（3）4，5，66 矩阵的秩1、矩阵的行秩、列秩、行列式秩都相等，称为矩阵的秩。2、矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩。矩阵的初等列变换不改变矩阵的秩。习题2.637有解判定与解的结构1、线性方程组有解2、线性方程组有唯一解（n是未知量个数）线性方程组有无穷多解3、若齐次线性方程组有非零解，则它必有基础解系，且基础解系所含解的个数4、与基础解系等价的线性无关向量组，也是基础解系。5、线性代数方程组的全部解其中为特解，为基础解系。习题2.7（1）2，32.7（2）1，22.7（3）1，3复习题21, 2，4，5，9，10第三章 矩阵3.1 3.2 矩阵的运算 矩阵的分块1、矩阵与矩阵的乘法不满足交换律2、3、（定理1）（定理2）（定理3）习题3.25，63.3 3.4 矩阵的逆 等价矩阵1、矩阵A可逆A可逆时，2、3、，4、若A是一个sn矩阵，P是s阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，则5、（定理6）设A是一个sn矩阵，对A施行一次初等行变换，就相当于在A的左边乘上一个相应的s阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，就相当于在A的右边乘上一个相应的n阶初等矩阵。6、（推论）A，B等价 有初等矩阵使7、（定理7）矩阵A等价于它的标准形，且标准形的主对角线上1的个数等于r（A）。8、A可逆 A与单位矩阵E等价9、（定理8）A可逆A能表成一些初等矩阵的乘积：（推论1）可逆矩阵A可经过一系列初等行变换化成单位矩阵：（推论2）与等价存在s阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使 B=PAQ 10、可逆矩阵A的求逆方法： 高 等 代 数 一 补 充 题 （2005.11） 1向量组 （2，1，3，0），（0，3，2，1），（6，0，7，1），（1，1，1，1） 的秩是 （ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 解：以此四向量为行向量组，构成矩阵 故，向量组的秩为3 。选 C 。2设有向量组（I）,(II)是（I）的部分组，则下列判断语正确的是 （ ） （A）若(I)线性相关，则(II)也线性相关 （B）若(I)线性无关，则(II)也线性无关 （C）若(II) 线性无关，则(I)也线性无关 （D）(I)的相关性与(II)的相关性没有联系 答：B3如果向量组（I）可由向量组（II）线性表出，那么 （ ） （A）(I) 的秩 （II）的秩， （B）（I）的秩 （II）的秩 ， （C）（I）的秩 （II）的秩 （D）（I）的秩 （II）的秩 答： C 4设两个向量组（I）与（II）的秩相等，且（I）可由（II）线性表出，则 （ ） （A）（II）可由（I）线性表出 ；（B）（II）不一定能由（I）线性表出； （C）（I）线性相关 ； （D）（I）的向量个数多于（II）的向量个数 答：A5设有向量组（I），（II）及（III）, 它们的秩分别为 ，则 （ ） （A） （B） （C） （D） 解：因（I），（II）均可由（III）线性表出，故，从而有 。取（I）的极大线性无关组，取（II）的极大线性无关组，则向量组（III）可由，线性表出，于是有 。 所以选（A）。6若方程组 有解，则 （ ） （A） (B) (C) (D) 解：增广矩阵 为使 ,应取 ，故选 A 。7.若n 维基本向量组能由 n 维向量组线性表出，则向 量组的秩r为 （ ） （A） （B） （C） （D）r 不确定 答： B8如果齐次线性方程组 有非零解， 那么 （ ） （A） （B） （C） （D）三种情况都有可能 答：D9如果线性方程组 无解 ，那么 （ ） （A） （B） （C） （D） 解；方程组的系数行列式 D 若 D 则方程组有唯一解；若 D 0 那么 或 。 若 ，则方程组系数矩阵A 及 增广矩阵 分别为 ， 从而有 ，那么方程组有解。 若 ，则 ，故 。 ，故 。可知当 时，方程组无解 。故，选 A 。10.方程组 有非零解， 则 ( ) （A） （B） （C） （D） 解：此齐次方程组的方程个数等于未知量个数，它有非零解的充要条件是其系数 行列式 ，故 （选 B ）。11. 线性方程组 有无穷多解的充要条件是 （ ） （A） （B）为任意数 （C） （D）为任意数， 解：此方程组有无穷多解 其导出组有非零解导出组的系数行列式， 即 ，则 。 此方程组有无穷多解，则其系数矩阵A与增广矩阵的秩相等，即， 但 为使，即为使方程组有解，必有 。 选 A 。12设线性空间 V 的向量组 可由向量组 线性表出，则 线性相关的充分条件是 A. ( ) B. ( ) C. 互素 （ ） D. ( ) 答： D. 13若两个向量组与都线性无关，则向量组 也线性无关。 （ 对 ？ 错 ？ ） 答：错14若向量组线性相关，则这个向量组中的每一个向量可由 其余向量线性表出。 （ 对 ？ 错 ？ ） 答：错15两个等价的向量组含有向量的个数相同。 （ 对 ？ 错 ？ ） 答：错 。 提示：参阅习题2.5（1）第2题例如 ，取 。则 ； 。故 与 等价，但是这两个向量组所含向量个数不等。16若向量组的秩为r,则这个向量组中任意r个线性无关的向量都 是它的一个极大线性无关组。 （ 对 ？ 错 ？ ） 答：对17向量组中的每个向量都可由这个向量组的一个极大线性无关组线性表出，并 且表法是唯一的。 （ 对 ？ 错 ？ ） 答：对18若矩阵A 的秩为r，则A的所有r阶子式都不等于零，而 r1阶子式都等 于零。 （ 对 ？ 错 ？ ） 答：错19矩阵A的秩与它的转置矩阵 的秩相等。 （ 对 ？ 错 ？ ） 答：对20设A是矩阵，若秩（A）0，则 A 0 。 （ 对 ？ 错 ？ ） 答：对21若A是n阶矩阵，则 A 0 。 （ 对 ？ 错 ？ ） 答：错22若矩阵A与矩阵B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。 （ 对 ？ 错 ？ ） 解：反例 ，矩阵与等价，但的行向量组 不能用的行向量组线性表出，故它们的行向量组不等价。（答：错） 23齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于方程的个数。 （ 对 ？ 错 ？ ） 答：错24n元齐次线性方程组，如果系数矩阵的秩为 n2 ,那么它的任意两个非零解就是它的一个基础解系。 （ 对 ？ 错 ？ ） 答：错25n元齐次线性方程组，如果系数矩阵的秩为r，那么它的任意 n r 个线性无关的解就是它的一个基础解系。 （ 对 ？ 错 ？ ） 答：对26齐次线性方程组，如果有非零解，那么其系数矩阵的秩与自由未知量的个数 相等。 （ 对 ？ 错 ？ ） 答：错27齐次线性方程组，如果有基础解系，那么一个基础解系中解的个数与自由未知量的个数相等。 （ 对 ？ 错 ？ ） 答：对28设 ， ，其中是中元素的 代数余子式，则 （ ） （A） （B） （C） （D） 答： B （提示：参阅复习题3 第11题）29设是三阶方阵，如果对任意一个三维列向量都有，则 （ ） （A） （B） （C） （D）是非退化矩阵 答：C 30设是3阶矩阵，秩（A）1，则 （ ） （A）秩 （B）秩2 （C）秩1 （D）秩0 答： D （提示：因秩（）1，则 的2阶子式均为零，故秩0 。）31设 是两个 n 阶矩阵，则 。 （ 对 ？ 错 ？ ） 答： 错 （ 因 不可交换）32两个矩阵A 与 B ，如果秩（A）秩（B），那么A与B等价。 （ 对 ？ 错 ？ ） 答：错解： 反例： ， 它们有相同的秩，但它