空间向量及其加减运算PPT课件

第三章 空间向量与立体几何 3 1空间向量及其运算 3 1 1空间向量及其加减 数乘运算 1 掌握空间向量相关的概念 几何表示法 字母表示法 2 了解共线 平行 向量 共面向量的定义 3 掌握空间向量的加减 数乘运算及运算律 共线向量 共面向量的表示法 4 理解共线 共面向量定理及其推论 并能利用它们证明 空间向量的共线 共面问题 1 空间向量 在空间 我们把具有 和 的量叫做空间向 量 向量的 叫做向量的长度或模 大小 方向 大小 2 向量的表示法 如图3 1 1 1 几何表示法 用 表示 2 字母表示法 用一个字母表示 如图3 1 1 此向量的起点是A 终点是B 可记作 也可记作 其模记为 或 图3 1 1 有向线段 a a 是 当有向线段的起点A与终点B重合时 AB 0 3 零向量 长度为 的向量叫做零向量 记作0 零向量的方向 4 单位向量 模长为 的向量 5 相反向量 与向量a的 相等而 相反的向量 称为a 的相反向量 记作 a 0 任意的 1 长度 方向 6 相等向量 相同且 相等的向量称为相等向量 在空间 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 图3 1 2 方向 模 OB CA 7 类似于平面向量 定义空间向量的加减运算 如图 3 1 2 a b a b 8 空间向量的加法运算律 1 交换律 2 结合律 9 向量的数乘 实数 与向量a的积仍然是一个向量 记作 称为向量的数乘 长度是 当 0时 a与向量a的方向 当 0时 a与向量a的方向 当 0时 a a b b a a b c a b c a a 相同 相反 0 11 共线向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 则这些向量叫做共线向量或 12 共线向量定理 对空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是存在 实数 使 称此为共线向量定理 注意 b 0不可丢掉 否则实数 就不一定存在 1 分配律 2 结合律 10 数乘运算律 a b a b a a 平行或重合 平行向量 a b 13 共面向量 叫做共面向量 空间任意两个 向量 14 共面向理定理 如果两个向量a b不共线 那么向量p与向量a b共面的充要条件是 称此为共面向量定理 平行于同一平面的向量 总是共面的 存在唯一的有序实数对 x y 使p xa yb 要点1 正确理解空间向量的概念 剖析 1 向量是既有大小又有方向的量 向量的模是正数或0 是可以进行比较大小的 由于方向不能比较大小 因此 大于 小于 对向量来说是没有意义的 比如可以说 a b 但不能说a b 2 在空间 单位向量 向量的模 相等的向量和相反向量 等概念与平面向量中相对应的概念完全一致 要点2 向量的三角形法则和平行四边形法则的要点是 什么 剖析 对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点 运用三角形法则要求向量首尾顺次相连 对于向量减法要求两向量有共同的起点 要点3 空间向量的数乘运算 剖析 空间向量数乘运算的结果仍是一个向量 可以根据定义来判断它的方向和大小 向量a的模可以扩大 当 1时 也可以缩小 当 0时 也可以改变 当 0时 实数与向量可以求积 但是不能进行加减 例如 a a是没有意义的 要点4 共线向量与共面向量 剖析 对于空间任意两个向量a b b 0 共线向量定理可分解为以下两个命题 a b 存在唯一实数 使a b 存在唯一实数 使得a b a b 对于空间任意两个向量 它们总是共面的 但空间任意三个向量就不一定共面了 三个非零向量a b c 其中任意两个向量不共线 则它们共面的充要条件 存在三个非零实数l m n 使la mb nc 0 题型1空间向量的线性运算例1 如图3 1 3 在正方体ABCD A1B1C1D1中 下列 各式中运算的结果为向量AC1的共有 A 1个C 3个 B 2个D 4个 图3 1 3 思维突破 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则 遇到减法时既可以转化成加法 也可以按减法法则进行运算 答案 D A CD 7a 2b 则一定共线的三点是 题型2共线问题 A A B DC B C D B A B CD A C D 思维突破 证明三点共线的关键是证明以某点为起点的两个向量中 一个向量可以表示为另一个向量与某个实数的数乘形式 答案 A 1 OB OM 3OP OA 2 OP 4OA OB OM 题型3共面问题 例3 对于平面ABM外的任一点O 确定在下列条件下 点P是否与点A