数学物理方程概述

数学物理方程 陈有亮上海理工大学环境与建筑学院 教材及教学参考书 教材吉林大学数学学院袁洪君 许孝精 数学物理方程 高等教育出版社 2006年6月第1版 参考书彭芳麟 数学物理方程的MATLAB解法与可视化 清华大学出版社 2004年11月第1版 购书地点上海书城 上海市福州路465号 授课内容 第一章数学物理方程概述第二章分离变量法和积分变换法第三章行波法第四章格林函数法第五章勒让德多项式第六章定解问题的适定性第七章有限单元法及有限元软件 第一章数学物理方程概述 1偏微分方程举例和基本概念 2方程及定解问题的物理推导 3两个重要原理 1偏微分方程举例和基本概念 自然科学和工程技术中 种种运动的变化发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律 描述这些规律通常用关于某个或某些未知多元函数及其偏导数的数学方程式或数学方程组 含有未知多元函数及其偏导数 也可仅含有偏导数 的方程称为偏微分方程 描述物理规律的偏微分方程称为数学物理方程 1偏微分方程举例和基本概念 常见的数学物理方程有热传导方程Laplace方程弦振动方程梁的横振动方程水波研究中的KdV方程电磁场中用到的二维Cauchy Riemann方程组空气动力学的连续性方程和动量方程 常见的数学物理方程 常见的数学物理方程 1偏微分方程举例和基本概念 几个基本概念方程的阶 偏微分方程中未知函数的偏导数的最高阶数 线性偏微分方程 一个偏微分方程F u Au 0关于所有未知函数及所有偏导数都是线性的 则称此方程为线性偏微分方程 非线性偏微分方程 不满足线性偏微分方程条件的偏微分方程 半线性偏微分方程 所有最高阶偏导数都是线性的 而且其系数不含未知多元函数及其低阶偏导数的非线性偏微分方程 拟线性偏微分方程 最高阶偏导数的系数含未知多元函数及其低阶偏导数的非线性偏微分方程 1偏微分方程举例和基本概念 几个基本概念非齐次项 在线性偏微分方程中 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项 非齐次方程 含有非齐次项的方程称为非齐次方程 齐次方程 不含非齐次项的线性偏微分方程称为齐次方程 1偏微分方程举例和基本概念 几个基本概念 古典 解 所谓一个m阶偏微分方程在某区域内的 古典 解 是指这样的函数 它有直到m阶的一切偏导数 且本身和这些偏导数都连续 将它及其偏导数替代方程中的未知函数及其对应的偏导数后 这个方程对其全体自变量在该区域内成为一个恒等式 1偏微分方程举例和基本概念 几个基本概念定解条件 一个偏微分方程的解通常有无穷多个 而每个解都表示一个特定的运动过程 为了从这无穷多个解中找出一个我们所研究的具体实际问题要求的解 必须考虑研究对象所处的周围环境和初始时刻的状态等其它因素对解产生的影响 从而通过在这些方面的考虑 得到一些已知条件 这样就有可能确定出一个特定解 这个解既满足方程本身 又满足我们在考虑各种影响因素时所建立起来的条件 我们把这样的已知条件称为定解条件 定解问题 定解条件联立方程称之为定解问题 并不是每个定解问题都有解 第一章数学物理方程概述 1偏微分方程举例和基本概念 2方程及定解问题的物理推导 3两个重要原理 2方程及定解问题的物理推导 2 1弦振动方程的物理推导2 2薄膜平衡方程的物理推导2 3热传导方程的物理推导2 4定解条件和定解问题 2 1弦振动方程的物理推导 设有一根拉紧的均匀柔软细弦 其线密度 单位长度质量 为常数 长为l 两端被固定在O A两点 且在单位长度上受到垂直于OA向上的力F作用 当它在平衡位置附近作垂直于OA方向的微小横向振动时 求弦上各点的运动规律 所谓微小振动是指振动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小 弦在偏离平衡位置后 弦上任意一点的斜率远小于1 横向振动是指弦上的点沿垂直于x轴的方向运动 2 1弦振动方程的物理推导 2 1弦振动方程的物理推导 以OA为x轴 弦振动方向为另一坐标轴方向建立如图坐标系 并以u x t 表示弦上x点处在t时刻垂直于x方向的位移 任取弦上一微段PQ 由于是微小振动 可近似认为PQ的弧长为 x 沿x方向和u方向力的平衡条件为TQcos TPcos 0 1 TQsin TPsin F x xutt 2 2 1弦振动方程的物理推导 可近似认为TQ TP T 则 1 变成了cos cos 2 变为Tsin Tsin F x xutt 3 sin du x x t dx ux x x t 4 sin du x t dx ux x t 5 将 4 5 代入 3 两边同时除以 x得 2 1弦振动方程的物理推导 Tuxx x t F utt 6 两边同时除以 得utt a2uxx f 7 其中 a2 T f F 这就是弦的强迫横振动方程 若外力F 0 则方程 7 变为utt a2uxx 8 8 称为弦的自由横振动方程 2 1弦振动方程的物理推导 一些其它类型的物理问题 如管道中气体小扰动的传播以及电报方程等问题也可以归结为偏微分方程 7 8 的形式 只是其中未知函数表示的物理意义不同 同一个方程反映的不是一个物理现象 而是一类物理现象 2方程及定解问题的物理推导 2 1弦振动方程的物理推导2 2薄膜平衡方程的物理推导2 3热传导方程的物理推导2 4定解条件和定解问题 2 2薄膜平衡方程的物理推导 物理模型 将均匀柔软的薄膜张紧于微翘的固定框架上 除膜自身的重力作用外 无其它外力作用 由于框架的微翘 薄膜形成一曲面 求静态薄膜上各点的横向位移 薄膜平衡方程uxx uyy f 9 忽略重力 9 变为uxx uyy 0 10 推导过程从略 2 2薄膜平衡方程的物理推导 2 2薄膜平衡方程的物理推导 形如uxx uyy f x y 11 的方程 称为二维泊松 Poisson 方程 方程uxx uyy 0 10 称为二维拉普拉斯 Laplace 方程 或调和方程 2 2薄膜平衡方程的物理推导 相应地 uxx uyy uzz f x y z 12 和uxx uyy uzz 0 13 分别称之为三维泊松 Poisson 方程和三维拉普拉斯 Laplace 方程 调和方程 许多物理学和工程技术问题都归结为求泊松方程和拉普拉斯方程的解 如静电场的电势分布 不可压缩流体的定常无旋流场的速度位势等问题 2方程及定解问题的物理推导 2 1弦振动方程的物理推导2 2薄膜平衡方程的物理推导2 3热传导方程的物理推导2 4定解条件和定解问题 2 3热传导方程的物理推导 物理模型 设有一个导热物体 当此导热物体内各处的温度不一致时 热量就要从高温处向低温处传递 试确定它的内部各点在任意时刻的温度所满足的方程 热传导方程 u t a2 u f x y z t 14 2 x2 2 y2 2 z2推导过程从略 2方程及定解问题的物理推导 2 1弦振动方程的物理推导2 2薄膜平衡方程的物理推导2 3热传导方程的物理推导2 4定解条件和定解问题 2 4定解条件和定解问题 定解条件通常被分为两大类 初值条件和边值条件初值条件 描述运动过程在开始时刻 可设为t 0 介质内部及边界上任一点的状态 边值条件 描述运动过程中边界上各点在任一时刻的状态 2 4定解条件和定解问题 初值条件 弦振动方程 u t 0 x u t t 0 x 0 x l热传导方程 u t 0 x y z x y z D 泊松方程和拉普拉斯方程 未知函数与时间无关 无初值条件 2 4定解条件和定解问题 边值条件 通常有三种类型以弦振动方程为例 1 两个端点被固定u x 0 0 u x l 0 t 0称为第一边值条件 2 弦的两个端点为自由端 则最后得到的边值条件为 u x x 0 0 u x x l 0称为第二边值条件 2 4定解条件和定解问题 3 两个端点为弹性支撑端 根据胡克定律 最后得到的边值条件为 u x u x 0 0 u x u x l 0称为第三边值条件 2 4定解条件和定解问题 初值问题 Cauchy问题 只有初值条件 没有边界条件的定解问题 边值问题 只有边界条件 没有初值条件的定解问题 相应地可分为第一边值问题 第二边值问题 第三边值问题 混合问题 既有初值条件 又有边界条件的定解问题 称为混合问题 第一章数