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高等代数第九章单元测试一、 选择题1. 设A是欧氏空间V的正交变换，A是A在V的一组标准基下的矩阵，则 ( )A.1 B. A的特征值是1 C. 秩=1 D. A的迹是12. 设A是n维欧氏空间V的对称变换，是A的所有不同特征值，是A的特征子空间，则 ( ) A.维 B.维C.维 D.维3. 设A是欧氏空间V中的一组基的度量矩阵，向量与在这组基下的坐标分别为,则 ( )A. B.C. D.4. 设与是欧氏空间V的两组基，A与B分别是这两组基的度量矩阵，则A与B的关系是 ( )A.相似 B.合同 C.相等 D.不等价5. 是实数域上线性空间中任意向量，如下定义的二元函数，使作成欧氏空间的是 ( )A. B.C. D.6.如下定义的的线性变换中是正交变换的为 ( )A.A B. AC. A D.A17.若A,B是欧氏空间V的对称变换，以下变换1A+B 2. AB 3. A 4. AB+BA中对称变换的个数是 ( )A.1 B.2 C.3 D.48.设A是n维欧氏空间的对称变换，则 ( )A. A关于V的任意基的矩阵是对称矩阵 . B . A关于V的任意基的矩阵是对角矩阵.C. A关于V的任一组标准正交基的矩阵是对称矩阵. D. A关于V的任一组标准正交基的矩阵是对角矩阵二、 判断题1 设V是欧氏空间，,如果向量满足,则. （ ）2 在n维欧氏空间V中，一组基,.,的度量矩阵必定是正定矩阵. （ ）3 在R中，对于任意向量=(a,),=(b,b),定义()=ab+ab，那么R对于定义的内积构成欧氏空间.（ ）4 在欧氏空间V中，如果向量与向量组,.,中的每一个正交，那么与,.,的任意一个线性组合也正交. （ ）5 正交向量组是线性无关的. （ ）6 正交变换在一组基下的矩阵为正交矩阵. （ ）7 实对称矩阵都相似于对角形矩阵. （ ）8 定义R上线性变换:(x,x,x)=(x,x,x)，则是对称变换. （ ）三、 计算题1 设A是欧氏空间V的线性变换，A在V的一组标准正交基下的矩阵为,（1） 求A的特征值及相应的一组线性无关的特征向量.（2） 求正交矩阵T，使为对角矩阵.（3） 写出V的一组标准正交基，使A在这组基下的矩阵为对角矩阵.2 求矩阵在复数域上的特征值与特征向量 （ k）.3.=(1, 1, 0, 1),=(-1, 0, 0, 1)是R的一组向量,V=L(,),求的一组基.四、 证明题1 设Rx是次数小于3的多项式函数及零多项式构成的线性空间.验证:内积(f(x),g(x)=,使得Rx成为一个欧氏空间.2 设欧氏空间V中线性相关且与正交，与正交，证明：与线性相关.3
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