青年教师解题能力大赛（数学试题）.doc

青年教师解题能力大赛数 学 试 题第卷 (选择题 共50分) 本试卷分为第卷(选择题)和第卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，若，那么由的值所组成的集合的子集个数（ ）A1B2 C3 D42. 定义运算，则满足的复数z是（ ）A B. C. D. xxxxOOOOyyyyA.BCD3. 函数的部分图像是（ ）4. 若函数，则的值为（ ）A B C D5. 一个几何体的三视图如图所示，若它的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（ ） A B. C. D. 6. 如果，且，那么角的取值范围是（ ） A B C D否存在零点？输出函数结束是开始输入函数是否7.流程如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是（ ）A B C D8. 在中，若，则该的形状为 ( )A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形9.过双曲线上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于M、N两点，则的值是（ ） A. B. C. D. 10.已知是方程的根，是方程x10x=2011的根，则x1x2等于（ ）A2009 B2010 C2011 D2012 请把选择题答案填写在下面的表格中.题号12345678910答案第卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上.11圆的圆心到直线的距离小于，则实数的取值范围为_12. 已知，若向区域上随机投一点P，则点P落在区域的概率为 .13. 某种电热器的水箱盛水200升，加热到一定温度可浴用浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按匀加速度自动注水（即t分钟自动注水升），当水箱内的水量达到最小值时，放水自动停止现假定每人洗浴用水量为65升，则该电热器一次至多可供_人洗浴.14. 已知，则满足不等式的实数的最小值是_15（注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中圆的参数方程为（为参数），则圆的普通方程为_，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆的圆心极坐标为_B（不等式选讲选做题）若的最小值为3, 则实数的值是_.C(几何证明选做题）如图，PA切于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1, OA绕点O逆时针旋转60到OD，则PD的长为 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）规定记号“”表示一种运算，即，记.（1）求函数的表达式；（2）求函数的最小正周期；（3）若函数在处取到最大值，求的值.17. （本小题满分12分）已知函数的图像经过点和，记 （1）求数列的通项公式； （2）设，求.18. （本小题满分12分）如图所示的几何体中，平面， ，是的中点（1）求证：；（2）求二面角的余弦值19. （本小题满分12分）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个.现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球.重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球.求：(1)最多取两次就结束的概率； (2)整个过程中恰好取到2个白球的概率； (3)取球次数的分布列和数学期望.20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中，设点(1，0)，直线:，点在直线上移动，是线段与轴的交点, . (1)求动点的轨迹的方程； (2) 记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线的弦、，设、 的中点分别为求证：直线必过定点21. （本小题满分14分）设常数，函数. （1）令，求的最小值，并比较的最小值与0的大小； （2）求证：在上是增函数； （3）求证：当时，恒有参考答案1. D. 由已知，有和两种情况：若，那么方程 无解，此时；若，则有，故，即所以由的值所组成的集合为，有2个元素故子集个数为个2. C. 依题意，得，即，得.3. D.令，显然为奇函数，为偶函数，所以，函数是奇函数，否定A，C; 取有，此时否定B，从而，应当选D.4. C.由，解得，.5. A. 该几何体三视图中正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个正三角形,它是一个底面边长为4的正三角形的三棱柱,.6. C. 注意到已知不等式等价与显然是上的增函数，于是有不等式，从而，得，再结合，便得故选C.7. D. 根据该程序框图输出函数为奇函数，且存在零点，验证只有D成立.8. B注意到内角和定理，于是显然，说明角为钝角9. C. 设，则于是10. C. 由已知得，令， .作出两个函数的图像，其交点横坐标为 .同理令，交的横坐标为.由对称性知，故x1x2=2011.11. 圆心坐标为，则，解得，应当填12. 基本事件为由直线与x轴、y轴围成的三角形为图中，其面积为，其中区域A为，面积为，所以.填13. 4设t分钟后水箱内的水量为升，则由题设知，当时，取最小值，此时共放浴用水升，而，故一次至多可供4人洗浴14. 1. 由题意得正数满足,有,从而，当时，取得最大值，从而15A. ，B. 2或8.由，得或8.C. . PA切于点A，B为PO中点，AB=OB=OA, ,在POD中由余弦定理得=.16. （1）； .5分 （2）因，因此的最小正周期为； .8分（3）由题意，即；因此=. .12分17. （1）由题意得，解得， ， . .4分（2）由（1）得， -得 . . .12分18.建立如图所示的空间直角坐标系，并设，则（1），所以，从而得； .4分（2）设是平面的法向量，则由，及，得可以取显然，为平面的法向量设二面角的平面角为，则此二面角的余弦值 .12分19. (1)设取球次数为，则.所以最多取两次的概率. .4分(2)由题意知可以如下取球：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，所以恰有两次取到白球的概率为. .8分(3)设取球次数为，则，则分布列为123P取球次数的数学期望为. .12分20. (1)依题意知，直线的方程为：点是线段的中点，且，是线段的垂直平分线是点到直线的距离点在线段的垂直平分线，故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为：.6分(2) 设，直线AB的方程为,则（1）（2）得，即，代入方程，解得所以点的坐标为同理可得：的坐标为 直线的斜率为，方程为，整理得，显然，不论为何值，均满足方程，所以直线恒过定点 .13分2