线性代数复习第1-6章典型例题ppt课件

-1-,线性代数,-2-,例12,解,-3-,注：,(1),(2),-4-,计算n阶行列式,解,将第列都加到第一列上,得,-5-,特征1：对于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把第2行至n行加到第一行（列），提取公因子后在简化计算。,-6-,爪形行列式,特征2：第一行，第一列及对角线元素除外，其余元素全为零的行列式称为爪型行列式。,-7-,范德蒙德(Vandermonde)行列式,从最后一行开始,每行减去上一行的倍.,-8-,按最后一列展开再提取每列的公因子,-9-,-10-,-11-,例5,证明A和A+2E都可逆,并求其逆.,设方阵A满足,证,-12-,例6,设A,B和A+B均可逆,证明也可逆,并求其逆.,证,-13-,例7,设A为3阶方阵,求,解,-14-,设即有初等矩阵使得,问,作一次行变换,再作一次行变换,继续,考虑对作行变换,求逆矩阵的初等变换法,-15-,解矩阵方程,解,例12,-16-,-17-,-18-,证,-19-,(5)设A是n阶方阵,其中都是方阵,则称A为分块对角矩阵.,-20-,时，有无穷多解。,，时，无解。,，时，有无穷多解。,问a,b为何值时,方程组有解,无解。,解：,-21-,解：系数矩阵是方阵首选行列式法,问为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解。有无穷多解时，求通解。,-22-,分析：当时有唯一解，当时，此时系数矩阵中的参数已确定，方程组可能无解，也可能有无穷多解，这取决于右端项。再用初等行变换法加以判别。,当时，方程组有唯一解。,当时,当时，方程组无解。,当时，方程组有无穷多解。,-23-,通解为,-24-,向量可由向量组线性表示,存在数使,另外,如果解唯一,则表示方法是唯一的.如果,(按定义),(转换为方程组),(用矩阵的秩),方程组,-25-,存在不全为零的数使,(按定义),(转化为方程组),齐次方程组,(用矩阵的秩),把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关。,证明向量组线性相关性的基本方法,（向量方程）,-26-,(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）,P101推论2,由它构成的n阶矩阵的行列式,t取何值时,下列向量组线性相关?,解,记,当t=5时,上面向量组线性相关.,例4,-27-,设线性无关,问满足什么条件,分析:这是一个向量组表示另一向量组的问题,就是矩阵乘法的关系。P104,则,例6,-28-,设,(要讨论上面方程组何时有非零解),(由),-29-,线性相关,-30-,另证:,由于是列满秩矩阵,故,-31-,例7,重要结论,设向量组能由向量组,线性表示为,且A组线性无关。证明B组线性无关的充要条件是,证法一(适用于一般的线性空间)设,-32-,求向量,一个最大无关组,并把其余,向量用该最大无关组表出.,矩阵的秩=?,线性无关吗?,是最大无关组吗?,阅读书P109例3,-33-,-34-,是右边的最大无关组,是左边的最大无关组,总结,矩阵的行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系。,引理2,-35-,注:以前我们把向量组与它们排成矩阵的符号混用，而且把它们的秩的符号也混用正是由于三秩相等这个原因。但对于无限向量组符号就不能混用了。,向量组的秩与矩阵秩的关系,三秩相等定理,-36-,证(以前证过),证明齐次方程组的解集,是一个向量空间.以后称为齐次方程组的解空间.,-37-,定义,设是一向量组,称,为由该向量组生成的(或张成的)向量空间.记为,特别地,由矩阵A的列向量生成的向量空间称为A的列空间(或称像空间或称值域).记为R(A),-38-,六、正交矩阵,A是正交矩阵,-39-,非齐次方程组解的存在性定理,对于非齐次方程组,(4-1),向量可由A的列向量组,线性表示。,-40-,对于齐次方程组,(1),A的列向量组线性无关,(2),A的列向量组线性相关,推论1,当方程的个数m小于未知量的个数n，则(4-3)必有非零解。,-41-,证明,设,首先证明,利用这一结论,证,重要结论,-42-,求一个齐次方程组,使它的基础解系为,记之为AB=O,这相当于要解矩阵方程,习惯把未知,然后再把这些解拼成的列(A的行)即可.,解得基础解系,设所求的齐次方程组为,则,解,-43-,设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知是它的三个解向量,且,求该方程组的通解.,解,取,则它就是解,从而也是基础解系.,基础解系所含向量个数=43=1,故非齐次方程组的通