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.,第一章,二、极限的四则运算法则,三、复合函数的极限运算法则,一、无穷小运算法则,第五节,机动目录上页下页返回结束,极限运算法则,.,一、无穷小运算法则,定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.,证明思路:先考虑两个无穷小的和.类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.,机动目录上页下页返回结束,说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!,例如，,.,定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.,机动目录上页下页返回结束,.,二、极限的四则运算法则,则有,定理3.若,机动目录上页下页返回结束,定理4.若,则有,说明:定理3和4均可推广到有限个函数的情形.,推论1.,(C为常数),推论2.,(n为正整数),.,例.设n次多项式,试证,证:,机动目录上页下页返回结束,定理5.若,且B0,则有,说明：指数为自然数的幂函数与多项式函数的连续性！,.,定理6.若,则有,提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由,定理3,4,5直接得出结论.,机动目录上页下页返回结束,.,x=3时分母为0!,例.设有分式函数,其中,都是,多项式,试证:,证:,说明:若,不能直接用商的运算法则.,例4.,若,机动目录上页下页返回结束,.,例.求,解:x=1时,分母=0,分子0,但因,机动目录上页下页返回结束,.,例.求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“抓大头”,原式,机动目录上页下页返回结束,.,一般有如下结果：,为非负常数),(如P47例5),(如P47例6),(如P47例7),机动目录上页下页返回结束,.,定理7.设,且x满足,时,又,则有,说明:若定理中,则类似可得,机动目录上页下页返回结束,三、复合函数的极限运算法则(分步求极限！),.,例.求,解:令,已知,原式=,机动目录上页下页返回结束,.,例.求,解:,机动目录上页下页返回结束,例.求,原式=,解:,.,内容小结,1.极限运算法则,(1)无穷小运算法则,(2)极限四则运算法则,(3)复合函数极限运算法则,注意使用条件,2.求函数极限的方法,(1)分式函数极限求法,时,用代入法,(分母不为0),时,对,型,约去公因子,时,分子分母同除最高次幂,“抓大头”,(2)复合函数极限求法,设中间变量,Th1,Th2,Th3,Th4,Th5,Th7,机动目录上页下页返回结束,.,思考及练习,1.,是否存在?为什么?,答:不存在.,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在,与已知条件,矛盾.,解:,原式,2.,问,机动目录上页下页返回结束,.,3.试确定常数a使,解:,令,则,故,机
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