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教学资料范本新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十八利用导数证明不等式含解析新人教A版编 辑:_时 间:_课时跟踪检测(十八)利用导数证明不等式1(20xx唐山模拟)已知f(x)x2a2ln x,a0.(1)求函数f(x)的最小值;(2)当x2a时,证明:a.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,),f(x)x.当x(0,a)时,f(x)0,f(x)单调递减;当x(a,)时,f(x)0,f(x)单调递增所以当xa时,f(x)取得极小值,也是最小值,且f(a)a2a2ln a.(2)证明:由(1)知,f(x)在(2a,)上单调递增,则所证不等式等价于f(x)f(2a)a(x2a)0.设g(x)f(x)f(2a)a(x2a),则当x2a时,g(x)f(x)axa0,所以g(x)在(2a,)上单调递增,当x2a时,g(x)g(2a)0,即f(x)f(2a)a(x2a)0,故a.2(20xx黄冈模拟)已知函数f(x)ln xex(R)(1)若函数f(x)是单调函数,求的取值范围;(2)求证:当0x1x2时,e1x2e1x11.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,),f(x)ln xex,f(x)ex,函数f(x)是单调函数,f(x)0或f(x)0在(0,)上恒成立,当函数f(x)是单调递减函数时,f(x)0,0,即xex0,xex.令(x),则(x),当0x1时,(x)0;当x1时,(x)0,则(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,当x0时,(x)min(1),.当函数f(x)是单调递增函数时,f(x)0,0,即xex0,xex,由得(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,又(0)0,当x时,(x)0,0.综上,的取值范围为0,)(2)证明:由(1)可知,当时,f(x)ln xex在(0,)上单调递减,0x1x2,f(x1)f(x2),即ln x1ex1ln x2ex2,e1x2e1x1ln x1ln x2.要证e1x2e1x11,只需证ln x1ln x21,即证ln 1,令t,t(0,1),则只需证ln t1,令h(t)ln t1,则当0t1时,h(t)0,h(t)在(0,1)上单调递减,又h(1)0,h(t)0,即ln t1,故原不等式得证3(20xx贵阳模拟)已知函数f(x)kxln x1(k0)(1)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数k的值;(2)求证:当nN*时,1ln(n1)解:(1)f(x)kxln x1,f(x)k(x0,k0);当0x时,f(x)0;当x时,f(x)0.f(x)在上单调递减,在上单调递增,f(x)minfln k,f(x)有且只有一个零点,ln k0,k1.(2)证明:由(1)知xln x1
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