《几种重要的分布》PPT课件

1,第13次课：重要分布,二项分布、超几何分布的实际背景和数学模型及其数字特征。能够用二项分布把实际问题模型化，并进行相关计算与讨论。完成习题四（2，6，8，10，12）。,2,在第一章介绍过独立试验概型,作n次相互独立的试验,每次试验事件A出现的概率为p,不出现的概率为q=1-p,n次试验中事件A出现的次数x为一离散型随机变量,如假设第i次试验时事件A发生的次数为随机变量xi,则xi服从0-1分布,Pxi=1=p,Pxi=0=q=1-p,(i=1,2,.,n)因此有x=x1+x2+.+xn,3,二项分布定义4.1如果随机变量x有概率函数,其中0p0,则称x服从正态分布,简记作xN(m,s2).利用引理可以验证Ex=m,Dx=s2特别地,当m=0,s=1时,称其为标准正态分布,其概率密度记为j0(x),这时xN(0,1).,54,验证Ex=m,55,验证Dx=s2,56,j0(x)的图形,x,j0(x),0,1,-1,57,j0(x)除一般概率密度的性质外,还有下列性质(1)j0(x)有各阶导数(2)j0(-x)=j0(x),偶函数(3)在(,0)内严格上升,在(0,)严格下降.在x=0处达到最大值:,(4)在x=1处有两个拐点;(5)x轴是j0(x)的水平渐近线,58,可用书后附表二查出j0(x)的各个值,例1xN(0,1),求j0(1.81),j0(-1),j0(0.57),j0(6.4),j0(0).解查书后附表二可得j0(1.81)=0.07754j0(-1)=j0(1)=0.2420j0(0.57)=0.3391j0(6.4)=0j0(0)=0.3989,59,一般正态分布与标准正态分布的关系,定理4.2如果xN(m,s2),hN(0,1),其概率密度分布记为j(x)和j0(x),分布函数分别记为F(x)及F0(x),则,60,证,61,定理4.3如果xN(m,s2),而h=(x-m)/s,则hN(0,1),证为证明hN(0,1),只要证明h的概率密度为j0(x)或分布函数为F0(x)即可.Fh(x)=P(hx)=P(x-m)/sx)=P(xsx+m)=F(sx+m)=F0(x)可以证明,服从正态分布的随机变量x,它的线性函数kx+b(k0)仍服从正态分布.,62,标准正态分布函数表,如果xN(0,1),则对于大于零的实数x,F0(x)的值可以由附表三直接查到.而对于小于零的x则可通过对称性来求得.,j0(x),0,u,F0(u),x,63,例2xN(0,1),求P(x1.96),P(x-1.96),P(|x|1.96),P(-1x2),P(x5.9).,解P(x1.96)=0.975=F0(1.96)P(x-1.96)=P(x1.96)=1-P(x1.96)=1-0.975=0.025=1-F0(1.96)P(|x|1.96)=P(-1.96x1.96)=F0(1.96)-F0(-1.96)=2F0(1.96)-1=0.95P(-1x2)=F0(2)-F0(-1)=F0(2)-1-F0(1)=0.81855P(x5.9)=F0(5.9)=1,64,概括起来,如果xN(0,1),则,65,例3xN(8,0.52),求P(|x-8|1)及P(x10)解因为xN(8,0.52),所以(x-8)/0.5N(0,1),66,例4xN(m,s2),P(x-5)=0.045,P(x3)=0.618,求m及s,67,正态分布与G-分布的关系定理4.4如xN(0,1),则x22(1),68,推论：如果x1,x2,.,xm相互独立,且xiN(0，1),(i=1,2,.,m),则x12+x22+.+xm2c2(m）,事实上：推论(需要记住)：如果x1,x2,.,xm相互独立,且xic2(ni),(i=1,2,.,m),则x1+x2+.+xmc2(n1+n2+.+nm),69,定义4.9若连续型随机变量x的概率密度j(x)为,70,1994年经济类研究生试题,1,x,2,71,72,1995年经济类研究生试题,x,1,1,-1,73,74,1997年经济类研究生试题,75,1999年经济类研究生试题,设随机变量X服从参数为l的泊松分布,且已知E(X-1)(X-2)=1,则l=_解已知EX=DX=l,且EX2=(EX)2+DX=l2+l,而E(X-1)(X-2)=E(X2-3X+2)=EX2-3EX+2=1得l2+l-3l+2=1,即l2-2l+1=0有l=1,76,1999年经济类研究生试题设随机变量Xij(i,j=1,2,.,n;n2)独立同分布,EXij=2,则行列式,77,解因多个随机变量之和的数学期望是各个数学期望之和,而多个相互独立的随机变量之积的数学期望也是各个随机变量的数学期望之积,而行列式无非是各个随机变量相互乘积再相加得到的随机变量.因此有,78,2000年经济类研究生考研题设随机变量X在区间-1,2上服从均匀分布;随机变量,-1,2,x,79,80,1998年经济类研究生试题,设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验,当p=_时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为_解设成功次数为X,则XB(100,p),DX=100p(1-p)=100p-10