2019·学而思 创新体系寒春补录诊断·数学·八年级(解析版)

2019 年寒春创新体系补录诊断八年级数学 绝密绝密启用前启用前 2019 年寒春年寒春创新创新体系体系补录补录诊断诊断试卷数学试卷数学 年级：八年级：八年级年级 考试时间：考试时间：120 分钟分钟 总分：总分：150 分分 考考 生生 须须 知知 1 请考生务必核对试卷年级、科目是否正确。请考生务必核对试卷年级、科目是否正确。 2 请将答案写在答题纸上，在试卷上请将答案写在答题纸上，在试卷上答题 答题无效无效。 3 考试结束后考试结束后试卷可以带回，答题纸必须上交。试卷可以带回，答题纸必须上交。 一一、填空题：本大题共、填空题：本大题共 15 小题；每小题小题；每小题 7 分，共分，共 105 分；分； 1.1.方程方程 111 2002xy 的正整数解构成的有序组的正整数解构成的有序组 , x y共有 共有_组组. . 【分析】原方程转化为 2002 xyxy ， 2 200220022002xy； 因为x、y为正整数；所以2002x、 2002y 是大于2002的整数； 所以2002x、 2002y 同号，且至少有一个绝对值不大于2002； 所以2002x、 2002y 必须是 2 2002的正约数； 所以方程 111 2002xy 的正整数解 , x y可写成 2 2002 2002,2002d d ， d为 2 2002的正约数；把 2 2002分解质因数： 22222 2002271113； 所以 2 2002有81个正约数； 所以方程 111 2002xy 的正整数解构成的有序组 , x y共有81组. 2.2.已知正整数已知正整数n小于小于2006，且且 362 nnn 则这样的则这样的n有有_个个. . 【分析】334个 3.求求值：值： 1231989 19901231989 1990 _. 【分析】3956121 4.已知正实数已知正实数x yz， ， 满足满足 222 222 222 xyxya yzyzb zxzxc 其中其中a bc， ，为非负常数，则 为非负常数，则xy yzxz _. 2 2019 年寒春创新体系补录诊断八年级数学 【分析】 222 222 222 1 22 1 22 1 22 xya xy yzb yz zxc zx 13 sin120 424 ABC abcabcabcabc Sxyyzxzxyyzxz 3 3 xyyzxzabcabcabcabc 5.如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于点相交于点G，E为为AD的中点，联结的中点，联结BE交交AC 于于F，联结，联结FD，若，若90BFA，则下列四对三角形：，则下列四对三角形：BEA与与ACD；FED与与 DEB；CFD与与ABG；ADF与与CFB；其中相似的为其中相似的为 【分析】 找到两对角相等即可得到相似； 由射影定理得到 22 EF EBAEED，DEFBED，得到FEDDEB； ADBC， 1 2 AFAE FCBC ， 1 3 AFAC， 由射影定理得到 222 1 3 CDABAF ACAC，而 22 121 233 CG CFACACACCD， DCGFCD，FDCDGC ，AGBFDC ，CFDABG 明显90AFD，不可能相似. 6 6. .在在ABC中，中，BCa，ACb，ABc，90C，CD和和BE是是ABC的两条中线，的两条中线， 且且CDBE则则: :a b c _ 【分析】联结DE，设BE与CD相交于G，则G为ABC的重心，2 CG DG 由已知，RtCDE中，EGCD，故由射影定理，得 2 2 2 CECG DEDG ，因此 2CEDE ； G A BC D E F E D A BC G ED A BC 2019 年寒春创新体系补录诊断八年级数学 故 11 2 22 ba，即 2ba ，由勾股定理可知， : :1: 2: 3a b c 7.用用0到到9十个数字组成没有重复十个数字组成没有重复数字的四位数数字的四位数， ，若将这些四位数按从小到大的顺序排列若将这些四位数按从小到大的顺序排列， 则则5687是第是第_个数个数. 【分析】从高位到低位逐层分类： 千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0 9中除千位已确 定的数字之外的9个数字中选择， 因为数字不重复， 也就是从9个元素中取3个的排列问题， 所以百、十、个位可有 3 9 9 8 7504A 种排列方式由乘法原理，有4 5042016个 千位上排5，百位上排0 4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩 下的八个数字中选择也就是从8个元素中取2个的排列问题，即 2 8 8 756A ，由乘法原 理，有1 5 56280 个 千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的七个数 字中选择，有1 1 6 742 个 千位上排5，百位上排6，十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择0，1，2，3， 4共5个 综上所述， 比5687小的四位数有20162804252343个， 故5687是第2344个四位数 8.由由4个不同的独唱节目和个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相 邻，开邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有_种种. 【分析】 先排独唱节目， 四个节目随意排， 是4个元素全排列的问题， 有 4 4 4 3 2 124A 种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三个节目选 两个进行排列的问题，有 2 3 3 26A 种排法；再在独唱节目之间的3个位置中排一个合唱 节目，有3种排法由乘法原理，一共有24 6 3432 种不同的编排方法 9.9.已知关于已知关于x的方程的方程 2 1210axxa 的根是整数，那么符合条件的整数的根是整数，那么符合条件的整数a有有_ 个个. . 【分析】当10a ，1a 时，原方程化为220 x，1x 满足原方程的根是整数 当10a ，1a 时，原方程化为 1110 xaxa ； 所以原方程的根是1x 或 12 1 11 a x aa ； 因为原方程的根是整数；所以1|2a； 所以12a 或1或1或2；3a 或2或0或1 综上所述，1a 或0或1或2或3，即符合条件的整数a有5个 10.10.已知方程已知方程 2222 38213150a xaa xaa（a是非负整数是非负整数）至少）至少有一有一个个整数根，整数根，则则 a _ 【分析】当0a 时，原方程无解 当0a 时，原方程是关于x的一元二次方程，因式分解得2350axaaxa ， 所以 23a x a 或 5a a ；当 233 2 a x aa 时，1a 或3； 4 2019 年寒春创新体系补录诊断八年级数学 当 55 1 a x aa 时，1a 或5；综上所述，1a 或3或5 11.11.已知已知 234 232332abcbcacab ，则，则 23 32 abc abc _ 【分析】设 2341 232332abcbcacabk ， 则有 232 9 233 11 324 abck bcakak cabk ， 8 11 bk， 1 11 ck 故 234 3231 abc abc 12.已知已知关于关于x的的241xxa有一个增根是有一个增根是 4x ，则，则a _ 【分析】移项，得241xxa 方程两边同时平方，得2412xxaxa 移项，化简得25xaxa 方程两边同时平方，得 2 4()(5)xaxa 把4x 代入上式得，5,3aa 若3,a 原方程为2431xx此时代入4x 可发现“左边=右边”说明4x 是方程 的根而不是增根，与题意不符，故需舍去所以5a 13.13.若若方程方程 2 310 xx 的的两两根根、，也是方程也是方程 62 0 xpxq的根，的根，其中其中p、q均为整均为整 数数则则p q_ _ 【分析】因为、是方程 2 310 xx 的两个根； 2 34 1 150 ； 所以由Viete定理，得 3 ， 1 ； ； 2 222 232 17 ； 2 2 442222 272 147 ； 因为、是方程 62 0 xpxq的根； 所以 62 62 0 0 pq pq ； 因为 ， 所以 66 44222 22 44 2 222 22 47148 177 11 p q 55pq. 14.不超过不超过1000的正整数的正整数x， 使得， 使得x和和1x两者的数字和都是奇数 则满足条件的正整数两者的数字和都是奇数 则满足条件的正整数x有有 _个个 2019 年寒春创新体系补录诊断八年级数学 【分析】设x abc ，其中 019abc， ， ， ， ，且不全为0 S xabc 是x的数 字和 若9c ，则 S xabc ， 11S xabc； 若9c ，9b ，则 9S xab ， 11S xab ； 若9c ，9b ，9a ，则 99S xa ， 11S xa ； 若9a ，9c ，9b ，则 27S x ， 11S x 奇偶性相同的只有和 在中，a b，的奇偶性相同，有45个x满足题意 在中，有一个999x 满足题意 所以，共有46个 15.15.三个正方形如图排列，三个正方形如图排列，AC、AD、AE为三条对角线，为三条对角线，则则123 _ 【分析】作如图中的三个正方形，联结AM，EM 易证24 ，AEM是等腰直角三角形 45AEM，即3445 2345 又145 12390 二二、解答题：本大题共、解答题：本大题共 3 小题；每小题小题；每小题 15 分，共分，共 45 分；分； 1 16 6. .如图，如图，PAPB、切切O于于AB、两点，过两点，过P作割线交作割线交O于于CD、，过，过B作作BECD，连，连 接接AE交交PD于于M，求证：，求证：M为为DC的中点的中点 【分析】联结OA OMOP、， BECD，AMCE， PAPB、都是切线，AOPBOP， AOPAEB，AMPAOP， AMOP、 、 、四点共圆， 90OMPOAP， M是DC的中点 1717. .证明：证明： 22 32112xxyy无整数解无整数解. . 【分析】原方程乘以4，可得： 321 E D C B A M 4 321 E DC B A M E O P D C B A A B C D P O E M 6 2019 年寒春创新体系补录诊断八年级数学 2222 (23 )17448(23 )174486(mod17)xyyxyy 而