应用贝氏网络诊断国小四年级学童「面积」错误类型之研究.doc

应用贝氏网络诊断国小四年级学童面积错误类型之研究李俊仪1 许雅菱2 施淑娟3 郭伯臣4 刘湘川5 1台中县光隆国小 2台中市赖厝国小 3 国立台中师范学院数学教育学系 4国立台中师范学院教育测验与统计研究所 5台中健康暨管理学院心理学系暨生物信息研究所联络电话：(04)22263181-225传真：0422200818e-mail:.tw摘要本研究的主要目的在探讨以国小四年级面积单元为例，以面积计算错误类型为诊断单位，尝试采用以机率推理为基础的贝氏网络作为分析工具，来探讨应用贝氏网络于诊断学生错误类型的可行性。并希望在了解学生在学习该单元后可能产生的错误类型的同时，也能提供教师在实际教学上了解学童缺少哪些子技能而造成这些错误类型的产生，进而积极且省时的提供主要的补救教学。研究结果发现贝氏网络能有效将子技能、错误类型做适当的分类。关键词：贝氏网络 面积 学习诊断第一节 绪论贝氏网络是近年来在一些专业领域相当热门的判断方法，举凡是信息科学的人工智能，医学的疾病诊断，体育的足球得分预测，都能利用贝氏网络来达成。在国小数学教学上，研究者为了了解学生学习该单元的迷思所在，以利教师进行后续的补救教学，过去多半是以质的分析方式为主，例如：对个别学生进行访谈、原案分析等等的方式。这类方式虽然可以比较深入地了解学生的想法及其错误在哪里，但是会因个案的不同而有不同的处理方式，且非常耗时耗力，对于教学工作繁重的国小教师而言，上述方式不太容易在实际教学中实行。在本研究中，研究人员针对国小学童在学习数学单元时，利用贝氏网络的预测和诊断学童具有的错误概念和技能，做较接近真实的分类及诊断，并期望其结果，能提供教学者及学习者充足的诊断信息。因此，本研究企图建立一个以错误类型为诊断单位，并同时诊断成份的量化分析模式，是我们想去研究尝试的地方。基于上述，本研究拟以国小四年级面积知识为例，并以面积计算错误类型为诊断单位，并尝试采用以机率推理为基础的贝氏网络作为分析工具，来探讨应用贝氏网络于诊断学生错误类型的可行性。同时，了解学生在学习该单元后，可能产生的错误类型;更希望了解教师在实际教学上，究竟是哪些子技能的缺乏，造成这些错误类型的产生。因此，本研究之贝氏网络亦将子技能纳入分析。根据以上的想法，本研究之目的如下：1. 探讨贝氏网络模式应用于诊断国小四年级学童面积错误类型之可行性。2. 探讨比较选择题多选项二元计分和单选项二元计分的作答数据输入值对贝氏网络诊断正确率的影响。3. 探讨不同的分类决断值对贝氏网络诊断正确率的影响。第二节 文献探讨壹、面积的迷思概念根据前人的研究，我们将国小学童在面积学习时容易产生的迷思概念归纳成以下几类：1. 以单位面积来覆盖长方形面积，学童容易将前一问题答案的2倍来回答。（高敬文、黄金钟，民77）2. 正方形的边长加倍，面积也会变大两倍。(Tierney et al.，1990;Simon & Blume，1994)3. 单位量的转换问题上，(陈鉪逸，民85;陈建诚，民87;Baturo & Nason，1996)4. 误用面积公式。（陈鉪逸，民85；谭宁君，民87）5. 在解题时，只以图形出现的数字求周长和面积。（戴政吉，民90）6. 计算面积时，学生对平方公分的掌握性较佳，对于较大单位则较缺乏量感。其迷思概念所采取的策略有：探视觉处理利用工具与公式解题。周长与面积概念相混淆。（谭宁君，民87）7. 五年级学童的面积迷思：猜测（凭经验或感觉），普遍单位直接比较，个别单位比较，分解与重组，数学公式策略。（庄维展，民90）8. Hildreth(1983)发现五、七年级学生估测长度与面积的迷思（不当的面积估测方式）有长宽代表面积。以图形周长代表面积。单位错误。中心化（centering）：只考虑一个维度回答问题。单位旋转（count around）：如使用矩形单位去测量待测物长、宽所需个数，均以单位的某一边长进行。9. 国小五、六年级学生往往以记忆面积公式解决面积问题，但却常造成公式的误用。（谭宁君，民87）10. 儿童解题往往习惯凭直觉，对题意不求甚解。（谭宁君，民87）11. 戴政吉(民90)研究发现：国小四年级有些学童在计算面积与周长时，会将两个公式互相混淆。例如：将正方形边长4当做面积公式，将长宽当作长方形的周长，学童大多数都以面积公式解周长问题。总结以上各点，可综合学童学习面积单元会产生的一些错误概念：单位面积计数错误；对题意不求甚解；单位换算错误；缺乏对面积公式意义的了解，造成误用公式。根据以上的错误类型，另外，参考国小老师的教学经验，认为在学习面积概念时，乘法计算错误也是造成错误的原因，因此在本研究的贝氏网络架构中，我们将采用此五项错误类型作为分析的节点，希望能得到更精准的分类结果。贰、解决面积问题时所需的基本能力为求进一步了解学生所犯的错误类型背后，是因为缺乏什么能力?以利后续的补救教学，本研究之贝氏网络亦将推估学生是否具备，解决面积问题时所需的几项相关基本能力。根据先前的研究，我们将国小学童在解决面积问题时常用解题策略整理如下：1. 先估测长宽，再以面积公式求出。（戴政吉，民90）2. 实际画出单位方格，再行点数。（戴政吉，民90）3. 先估测相邻两边的单位格子数，再相乘。（戴政吉，民90）4. Hildreth(1983)发现五、七年级学生估测长度与面积的策略有：(利用问题中有用的讯息将长度或面积分割；以单位进行累计；以先前的经验来检视问题中相关有用的讯息；将长度等分成小段，再以单位比较该小段；给定一个最小的可能区间；使用长度估测策略，再以面积公式长，宽算出面积；将图形重整以便获得更容易估测的区域，如将等腰三角形，分割重组为长方形。5. 面积保留概念。（戴政吉，民90；谭宁君，民87）6. 单位量的点数。（戴政吉，民90；谭宁君，民87）7. 单位量的转换。（戴政吉，民90；谭宁君，民87）综而言之，学童解决面积概念问题常用的基本能力，可归纳为以下几点：点数；乘法计算；将文字题化为算式列出；单位换算关系。了解面积公式。参、贝氏网络一、基本概念贝氏网络是一个应用十分广泛的工具，特别是人工智能系统、计算机科学、决策学、工程学。因为贝氏网络是以DAG(Direct acycle graph)为基础，应用其变量之间的因果关系与其相互影响的机率，所以贝氏网络也叫做贝氏信念网络(Bayesian belief networks)、信念网络(belief networks)、因果关系网络(casual networks)、机率网络(probabilistic networks)或者为知识地图(knowledge map)。此模型一开始使用在遗传理论上，后来则经转变出现在许多领域中，例如认知科学和人工智能等领域中，应用十分广泛。一个完整的贝氏网络包含二个部分，分别是节点(node)及连结(link)。在贝氏网络中，节点对应于在有限范围中的任意的变量(例如：装置的温度，病人的性别)，而连结的有无即代表其节点之间的关系是否为条件相依或条件独立的情形。取得研究资料后，先建立一个完整的模型、再根据数据来进行推论。根据数据及学科专业知识的分析建立贝氏网络模型，建立模型的过程分成以下三个步骤：1. 设定全部的机率模型：对问题中所有可观测和未观测对象的联合机率分布，这模型应该符合数据群体特性及专业知识。2. 以观测的资料为条件：计算和解释后验机率分布再以观测的数据为条件，计算感兴趣的未观测对象的条件机率。3. 估计这模型的特性和产生后验机率的执行情况：将数据填入模型适合吗？最后的结果合理吗？这结论对建立模型的第一步骤的前提是否正确？根据以上三个步骤的检视后，建立一个完整的贝氏网络模型，我们将根据此贝氏网络模型来进行推论，希望能藉由此模型来了解，学童在学习面积上可能具有的错误概念（又称迷思概念），并进一步进行分类，以提供未来进行补救教学的依据。二、数学模型当变量A确定有影响变量B的因果关系时，从A到B将产生一个相依的连结边。此时，节点A称为节点B的父节点，而节点B称为节点A的子节点。当有多种关系存在，B的父集合被称为pa(B)。在一个因果关系的网络中，变量A表示的状态集合，P(A)是这些状态集合的机率分布，这种情形以数学算式来表示为：是A在状态时的机率,令B为另一个变量，并有状态，有连结到A节点的因果关系。产生对应P(A|B)的机率表。例如变量A和变量B的状态符合ai及bj，其机率为P(A=ai|B=bj)。贝氏推论是在机率模型放入一群数据，藉由模型上的参数和不可观测的变量的机率分布，推论出结果的过程，如此再对最新的观测的变量做预测。在贝氏网络中，令，为所有变量的范围，其联合机率为，可以从贝氏网络的条件机率中，明确的求出，只要在U中条件独立依然成立，联合机率分布即为所有条件机率的乘积，其数学式子如下(引自)：因为在此为的父节点。我们必须先建立一个有效的贝氏网络，并进而利用它来计算多个变量的联合机率分布，此集合的变量为贝氏网络中，主要欲了解之能力。 AB C D E F G虽然贝氏网络有许多优点，但也有其限制。每个变量的局部边际及条件机率分布是两两结合在一起的。当网络有一些变量具有两个或三个以上的状态，计算联合机率也是可行的。然而，当变量逐渐增加，条件机率的计算几乎是不可行的。因此，我们可以将Huangs1999的研究应用在贝氏网络上，以另一种修改过的形式来建构贝氏网络。例如，我们在贝氏网络中定义七个二元变项A,B,C,D,E,F,G及八种条件相依的情形（如图一），并就此例来解释这个集合变量的联合机率的意义。图一：有七个节点的贝氏网络例子（摘自DIAGNOSIS OF BUGS MULTI-COLUMN SUBTRACTION USING BAYESIAN NETWORKS ,p25）以上图为例，我们根据网络中条件独立的主张，来估测其联合机率，如下：假若变数G被加入证据g;给定G=g的机率，我们要去计算A;也就是P(A|G=g),以较为简洁的方式;表示其联合机率分布的计算为： x - (1)贝氏网络的模式使得联合机率分布的计算是根据变量集合为条件独立假设，藉由分解联合机率分布至数种条件机率分布(Huang,1999)。另一方面，假如我们没有关于网络其它变量的任何信息，其算式将变为： (2)像上述的情形式(2)我们必须明确定义出个变量，也就是64个局部条件机率，与式(1)中16个局部条件机率相较之下，使用图一的贝氏网络表示法显得较为简单。一般来说，我们需要大约个条件机率做明确的网络推论，在此变量有二个条件，n代表节点数，k是网络中父节点的最大数（Russell & Norvig,1995）。相对的，联合机率分布的计算其总和超过个。变量的个数以指数的形式增加，因此在大部分的情况下使用2n个参数的联合机率分布是较不可行的。因此，以贝氏网络的架构来计算变量集的联合机率分布是最为可行的方式。三、贝氏网络在教育测验上的应用一个测验的设计者必须先明确定义一套欲测出的技能、能力、迷失概念等等，以及试题库。令代表受测的技能、能力、及迷思概念的集合。代表试题的集合。设计者要能明确的定义技能，使其能直接与每个问题有关联。这些关系常常是机率，特别使用于选择题的测验。Almond和Mislevy(1999)提出CAT的图形模式。每个技能及每个问题是代表任意变量有限集合值和。我们将使用来表示多维任意变量。代表多维任意变量。Almond和Mislevy的模式符合学生模式P(S)，证据模式对于每个问题。j代表可能的多维变量，在此。基本假设是从的技能只有直接关联到问题。在机率模式的语言下，在已知多维变量j的状态，问题是独立于技能。学生模式描述在学生模式变量的定义以及联合机率分布P(S)与技能之间的关系。使用Almond和Mislevy的方法，我们定义所有的问题机率模式为一个贝氏网络。我们使用一个机率模式P(S，X)并藉贝氏网络来模式化问题。假设有一些收集的资料，对于从数据中建立贝氏网络模式的结构化学习的不同方法是有用的。因为我们以预测是否缺乏或呈现技能为主要目的，可能是用不同模式所测出的分数，可以用模型P在已知D的条件下对数概似机率来呈现： 图二描述长度二所有可能测验的状态空间，在选择下一个问题时矩形节点对应于状态中的一个决定，椭圆形对应于受试者的答案状态来给定被观察的问题，边对应于答案。假设问题是被选择为第一个问题，在图二中第二个问题被选的情形如下图所示： 图二（出自于Jirl, V.().Bayesian Networks in Educational Testing第八页）对学生 s ，设 是变数的采集(collection)，测量学生在感兴趣领域的知识，技能或能力。在任何时间点上，我们有关学生熟练度的知识，我们用机率分布表示。事先机率分布Pr(Ss)，经常是基于这些技能在所感兴趣的母体的分布。我们感兴趣的是从画出推论， =是观测的采集，从学生在M个工作的反应，学生模式变量纯粹是潜在的；这观测和事先假定，关于观测和学生模式变量的关系，是需要推论。Almond 和 Mislevy (1999) 描述这大体的架构。根据上述，本研究将尝试采用此种教育估计的图形模型来进行学生具有某种面积错误类型的机率之推估，并进而了解将此种方法应用于诊断学生错误概念的精准度。 第三节 研究方法壹、研究样本测验编制完成后即进行预试，受试样本男生18名、女生16名，总计34名。样本遍及台湾北中南地区的国民小学各数个班。每次施测时间约40分钟。正式施测对象为国民小学四年级的学生，有效样本总计653名，其中男生341名、女生312名。贰、研究工具测验工作在预试前后，邀请十六位现任的国小教师及相关的教育专家，针对本测验的试题进行讨论、出题、审题、编卷。先进行预试，以了解学生反应及作答情形，再以口头访问的方式来了解学生可能看不懂的地方，将之改为学生能理解测验的用字遣词。1. 面积测验本研究自编的面积单元测验，试题形式皆为选择题，每个试题只测单一个概念，其选项各代表一种错误类型。根据学童答题情形，即可判定他学习成果的良劣及迷思概念的所在。表一 面积测验题型编制架构面积内容题号面积内容题号文字计算题4、5、9、10、1312点数1、8、15单位换算6、7、14、16、18图形题2、3、11、17表二 面积单元测验试题涉及主要技能成分面积单元试题主要技能成分计数错误乘法计算错误文字题不懂题意使用错误计算单位换算公式应用错误Item1Item2Item3Item4Item5Item6Item7Item8Item9Item10Item11Item12Item13Item14Item15Item16Item17Item182.Bayes Net Toolbox for Matlab本研究使用Kevin Murphy（2004）所撰写的Bayes Net工具箱作为撰写贝氏网络程序所需的函数，此工具箱的优点为免费提供原始程序代码，并可供修改及扩充，并附有详细使用说明容易上手；其缺点是尚未建立完整的使用者接口，使用者必须具有专业的撰写程序能力才能娴熟使用。3.Matlab软件本研究使用Matlab6.5版进行先验分配的计算与主程序撰写，并与Bayes Net Toolbox for Matlab结合成一完整的程序，在撰写程序时互相搭配使用，呈现因果关系图形与机率值的完美结合。4.Bilog-MG软件使用Bilog-MG软件计算本研究纸本测验的信度与试题的特性，包含试题在IRT中所谓的能力值、鉴别度、难度及猜测度等等，使研究者更能了解所编制测验的优劣及适用程度。参、研究步骤与实施本研究的进行费时费力，尤其以人工阅卷及分类错误类型来建立效标之工作最为耗费人力。经过多次讨论与访问，以求得最精准的讯息。完整的研究步骤如下所列：1. 搜集国内外面积迷思概念之相关文献，并尝试建立面积单元的错误类型数据。2. 研究小组透过讨论协商，建立面积单元贝氏网络架构。3. 设计以选择题为主的试卷（未来希望能以计算机化测验呈现方式为目的）并根据已订定的错误概念设计各题之选项，以期该选项能代表其错误类型。4. 设计施测试卷，并以前测的结果来决定题目（选项）的增减与数字或字句的修正。5. 正式于各校施测，经回收后逐一批阅建档。6. 根据施测结果，错误类型出现次数的多寡，进而简化及修正面积贝氏网络，其架构如图三。7. 研究小组根据每一位学生的答案（试题之选项），进行错误类型的归类，以作为诊断精确度之效标。8. 利用Bayes Net Toolbox与Matlab软件撰写面积单元贝氏网络程序。9. 将后验分配设定各种决断值，判定受试者是否犯了某项错误类型（bug）及是否具有某项技能(skill)。10. 将诊断结果与效标比较，计算各种贝氏网络模式的诊断精确度。试题 错误类型 子技能题目 2345678910171615141312111计数错误 B1乘法计算乘法计算错误 B2文字题列式文字题不懂题意使用错误计算 B3单位关系单位换算 B4了解公式公式应用错误 B5点算1818图三 面积错误类型贝氏网络 第四节 研究结果壹、贝氏网络模式应用于诊断国小四年级学童面积错误类型之可行性表三 面积贝氏网络之分类正确率分类决断值正确分类率b193.08%93.08%93.08%94.62%94.62%95.38%95.38%83.08%72.31%b289.23%89.23%89.23%93.85%89.23%90.00%92.31%92.31%56.92%b372.31%72.31%72.31%72.31%74.62%83.08%82.31%86.15%58.46%b492.31%92.31%92.31%90.77%89.23%88.46%90.00%64.62%40.00%b553.85%53.85%53.85%56.92%68.46%60.77%63.85%56.92%63.08%平均80.16%80.16%80.16%81.69%83.23%83.54%84.77%*76.62%58.15%Sk167.69%66.92%68.46%60.00%71.54%81.54%71.54%78.46%86.92%Sk261.54%63.85%72.31%71.54%60.77%64.62%77.69%69.23%62.31%Sk356.15%73.08%71.54%67.69%65.38%66.15%63.08%67.69%62.31%Sk462.31%64.62%68.46%70.77%75.38%72.31%75.38%70.00%54.62%Sk586.15%93.08%90.00%88.46%81.54%90.77%82.31%75.38%59.23%平均66.77%72.31%74.15%71.69%70.92%75.08%*74.00%72.15%65.08%*表示最高的平均正确分类率表的意义由表三可发现：1. 关于子技能有无之分类，分类决断值在0.10.7时，面积贝氏网络之分类正确率皆大于80%，在分类决断值为0.8时为76%，在0.9时分类率仅为58%，因此本研究发现贝氏网络在错误类型的诊断上其决断值在0.10.7时有不错的表现。2. 关于错误类型有无之分类，其结果虽不如错误类型的诊断精确，决断值为0.20.8之间正确诊断率为七成左右，在0.1及0.9时诊断率仅为六成五左右，表现较不理想。3. 由表可知决断值在0.60.7左右无论是错误诊断率或技能的分类正确率有较佳的表现，但其结果仍不如之前的开放性问题研究分类率。贰、不同的分类决断值对贝氏网络诊断精准度的影响本研究共测试了9种不同的决断值，由表四可发现：1. 贝氏网络之子技能分类，以决断值为0.7时表现较佳。2. 贝氏网络之错误类型分类，以决断值为0.6时表现较佳。第五节 结论与建议综合以上之研究发现在面积的教学的部分，必须注意到以下的概念：1. 面积保留概念。2. 面积测量概念的建立。3. 面积估测能力的培养。测量概念需在具有保留概念后再进行教学才有意义。周长与面积的混淆是研究面积概念时最常被提出的迷思概念。(谭宁君，民84a)在本研究中，我们试着以试题中所设计的选项去探讨学童学习面积概念时所产生的错误概念，并可从学生的作答反应中看出牵涉到周长与面积这两个概念的题目较容易答错。因此May(1999)建议教师在教学时，尽量不要同时教面积与周长这两个概念，因此这样容易使学生混淆而导致迷思的产生。最好能先教面积再将周长的概念导入教学中。另一个在研究中可以发现的是学童对于单位量的换算易产生错误的情形。高敬文(民78)研究我国儿童测量概念的发展，指出学生对于单位量与测量总