希尔伯特变换和解析过程.doc

第四章 窄带随机过程4.1 希尔伯特变换和解析过程4.1.1 希尔伯特变换一 希尔伯特变换的定义设有实信号，它的希尔伯特变换记作或，并定义为 用代入上式，进行变量替换，可得到上式的等效形式为：也可得 希尔伯特反变换为经变量替换后得二 希尔伯特变换的性质1. 希尔伯特变换相当于一个的理想移相器。从定义可以看出，希尔伯特变换是和的卷积，即于是，可以将看成是将通过一个具有冲激响应为的线性滤波器的输出。由冲激响应可得系统的传输函数为式中，为符号函数，其表达式为可得滤波器的传输函数为即 上式表明，希尔伯特变换相当于一个的理想移相器。由上述分析可得，的傅立叶变换为2. 的希尔伯特变换为，即。3. 若，则的希尔伯特变换为4. 与的能量及平均功率相等，即此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位，不会改变信号的能量和功率。5. 设具有有限带宽的信号的傅氏变换为，假定，则有设与为低频信号，则4.1.2 解析信号由实信号作为复信号的实部，的希尔伯特变换作为复信号的虚部，即这样构成的复信号称为解析信号。设频谱为，并已知的频谱为，则可得复信号的频谱为4.1.3 复随机变量若X和Y分别是实随机变量，则定义Z为复随机变量Z=X+jY复随机变量的数字特征：1. 数学期望 复数2. 方差 实数3. 互相关矩若有两个复随机变量Z1=X1+jY1，Z2=X2+jY2，则它们的互相关矩为 4. 互协方差5. 互相独立、互不相关、互相正交两个复随机变量互相独立需满足两个复随机变量互不相关需满足两个复随机变量互相正交需满足4.1.4 复随机过程若X(t)和Y(t)为实随机过程，则Z(t)=X(t)+jY(t)为复随机过程。复随机过程的数字特征：1. 数学期望 复时间函数2. 方差 实函数3. 自相关函数4. 自协方差函数当时，有由实随机过程广义平稳定义可直接类推出复随机过程广义平稳条件，若复随机过程Z(t)满足以下条件：则称Z(t)为广义平稳复随机过程。5. 互相关和互协方差函数若，则称Z1(t)和Z2(t)互不相关。若，则称Z1(t)和Z2(t)互相正交。若两个复随机过程各自平稳且联合平稳，则有6. 功率谱密度平稳复随机过程的功率谱密度仍定义为自相关函数的傅立叶变换，即两个联合平稳的复随机过程的互功率谱密度与互相关函数也是一个傅立叶变换对。4.1.5 解析过程定义：由实随机过程作为复随机过程的实部，的希尔伯特变换作为的虚部，即这样构成的复随机过程为解析随机过程。其中 解析过程的性质：1. 若为广义平稳过程，则也是广义平稳过程，且、联合平稳。2. 3. 可得4. 奇函数5. 6. 7. 8. 第一节 Kalman滤波的背景信号在传输与检测过程中不可避免地要受到外来干扰与设备内部噪声的影响使接收端收到的信号具有随机性。为获取所需信号，排除干扰，就要对信号进行滤波，所谓滤波，是指从混合在一起的诸多情号中提取出所需信号的过程。信号的性质不问，获取的方法就不同，即滤波的手段不向。对于确定性信号，内于其具有确定的频谱特性，可根据各信号所处频带的不向，设置具有相应频率特性的滤波器，如低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器及带阻滤波器等，使有用信号无衰减地通过，而干扰估号受到抑制。这类滤波器可用物理的方法实现，即模拟滤波器，亦可用计算机通过算法实现，即数字滤波器。对确定性信号的滤波处理通常称为常规滤波。 随机信号具有确定的功率语特性，可根据有用信号和干扰信号的功率谱设计滤波器。美国学者维纳(N Wicner)等人提出了winer滤波，它通过做功率谱分解设汁滤波器，在对信号抑制和选通这一点同常规滤波是相似的。由于在频域进行Wiener滤波器设计，需要求解维纳霍普方程，且计算量较大，需要大量的存储空间，妨碍了Winer滤波的应用。Kalman滤波是卡尔曼(R.E.kalman)于1960年提出的从与被提取信号的有关的观测量中通过算法估计出所需信号的一种滤波算法。他把状态空间的概念引人到随机估计理论中，把信号过程视为白噪声作用下的个线性系统的输出，用状念方程来描述这种输入输出关系，估计过程中利用系统状态方程、观测方程和白噪声激励(系统噪声和观测噪声)的统计特性形成滤波算法，由于所用的信息都是时城内的量，所以不但可以对平稳的一维随机过程进估计，也可以对非平稳的、多维随机过程进行估汁。 这就完全避免了wicnar滤波在频域内设计时遇到的限制，适用范围比较广泛。 实际上，Kalman滤波足一套由计算机实现的实时递推算法它所处理的对象是随机信号，利用系统噪声和观测噪声的统计特性，以系统的观测量作为滤波器的输入，以所要估计值(系统的状态或参数)作为滤波器的输出，滤波器的输入与输出之间是由时间更新和观测更新算法联系在一起的，根据系统方程和观测方程估计出所有需要处理的信号。所以，此处所谈的Kalman滤波与常规滤波的涵义与方法完全不同，实质上是一种最优估计法。 在工程系统随机控制和信息处理问题上，通常所得到的观测信号中不仅包含所用信号，而且还包含有随机观测噪声和干扰信号。通过对系列带有观测噪声和干扰信号的实际观测数据的处理，从而得到所需要的各种参量的估计值，这就是估计问题。在工程实践中，经常遇到的估计问题分为两类：(1)系统的结构参数部分或全部未知、有待确定：(2)实施最优控制需要随时了解系统的状态，而由于种种限制，系统中的一部分成全部状态变量不能直接测得。这就形成了估汁的两类问题参数估计和状态估计。 一般估计问题都是由估计验前信息、估计约束条件和估计准则三部分构成。 为了衡量估计的好坏，必须要有一个估计难则。在应用中，我们总是希望估汁出来的参数或状态越接近实际值越好，即得到状态或参数的最优估计。很显然，估计准则可能是各式各样的，最优估计不是惟一的，它随着准则不同而不同。因此在估计时，要恰当选择衡量估计的准则。 如前所述，估计准则以某种力式度量了估计的精确性，它体现了估计是否最优的含义。准则应用函数来表达，估计中称这个函数为指标函数或损失函数； 一般来说损失函数是根据验前信息选定的，然后通过损失函数的极小化或极大化导出的；不同的损失函数导致不同的估计方法。原则上任何具有一定性质的函数都能作为损失函数。然而，从估计理论的应用实践来看，可行的损失函数只有少数几种人们常用的三种准则有：直接误差难则，误差函数矩准则和直接概率淮则。 选取不同的估计准则，就有不同的估计方法，估计方法与估计准则是紧密相关的：相应于上述3类估计准则，常用的估计方法有最小二乘估计、线性最小方差估计、最小方差估计、极大似然估计及极大验后估计。 在估计问题中常常考虑如下随机线性离散系统模型： (11a) (11b)式是系统的n维状态向量是系统的m维观测向量，是系统的维随机干扰向量，是系统的M维观测噪声向量，是系统的维状态转移矩阵。第二节 Kalman滤波理论的发展过程 我们知道，估计的准则不同，会导致不同的估计方法：同样，利用观测序列和观测信号的方式不同，也会导致不同的估计方法。由于这两个方面的原因，滤波估计经历了最小二乘法，wiener滤波和Kalman滤波的发展而不断地完善。 最早的估计方法是高斯 (K F Guass)于1795年在他的天体运动理论一书中提出的最小二乘法。最小二乘法没有考虑到被估参数和观测数据的统计特性，图 2.1 Kalman滤波理论的发展与前瞻最小二乘Wine滤波Kalman滤波1795年，Guass1912年Fisher没有考虑数据统计特性，简单，得到广泛应用对信号估计的重要贡献1940s，Wiener莫戈罗夫随机过程的估计平稳随机序列的预测和外推问题1960，Kalman1961 Kalman，Bucy离散时域内的最优估计器连续系统Kalman滤波，成熟Kalman滤波广泛的工程应用阿波罗登月计划、C一5A飞机导航系统非线性系统的Kalman滤波（扩展Kalman滤波）Kalman滤波的数值稳定性研究平方根滤波方法、UD分解方法、奇异值分解鲁棒滤波理论信息融合滤波（全局最优）神经网络因此这种方法不是最优估计。由于最小二乘法在计算上比较简单，使得它成为一种应用最广泛的估计方法。1912年费舍尔(R A Fisher)提出了极大似然估计方法，从概率密度出发来考虑估汁问题，对估计理论做出了重大贡献。 对于随机过程的估计，到20世纪30年代才积极发展起来。1940年，控制论的创始人之一美国学者Nwiener根据火力控制上的需要提出一种在频域中设计统计最优滤波器的方法，该JJ法被称为wiener滤波。向时期，前苏联学者科尔夏郭沿夫(A HKonMl)提出并初次解决广义离散平稳随机序列的预测和外推问题。Wiener滤波和科尔莫郭洛夫滤波方法开创了一个应用统计估计方法研究随机控制问题的新领域。由于Wiener滤波采用频域设汁法，运算复杂，解析求解困难，整批数据处理要求存储空间大，造成其适用范围极其有限仅适用于一维平稳随机过程信号滤波。 Wiener滤波的缺陷促使人们寻求施与内直接设汁最优滤波器的新方法，其中美国学者Kalman的研究最具有代表性：1960年，Kalman提出了离散系统kalman滤波；次年，他又与布西(RBucy)合作，把这一滤波方法推广到连续时间系统中去，从而形成Kalman滤波设计理论。这种滤波方法采用与Wicner滤波相同的估计准则，二者的基本原理是致的。但是，Kalman滤波是一种时域滤波方法，采用状态空间方法描述系统，算法采用递推形式，数据存储量小，不仅可以处理平稳随机过程，也可以处理多维和非平稳随机过程。 正是由于kalman滤波比其他滤波方法具有以上一些其他滤波方法所不具备的优点，Kalman滤波理论一提出立即应用到实际工程。阿波罗登月汁划和c一5A飞机导航系统的设就是早期应用中最成功的实例。随着电子计算机的迅速发展和广泛应用，Kalman滤波在工程实践中特别在航天空间技术中迅速得到应用。目前Kalman滤波理论作为种最终要的最优估计理沦被广泛应用于各种领域，如惯性导航、制导系统、全球定位系统、目标跟踪系统、通信与信号过程、金融等。 Kalman最初提出的滤波及本理论只适用于线性系统，并且要求观测方程也必须是线性的。在此后的多年间，Bucyd等人致力于研究Kalman滤波理论在非线性系统和非线性观测下的扩展Kalman滤波，扩展了Kalman滤波的适用范围。扩展Kalman滤波(EKF)是一种应用广泛的非线件系统滤波方法：为解决在某些没有有关初始状态信息和先验知识可供采用情况下的滤波 Kalman滤波应用范围广泛，设汁方法也简单易行，但它必须在计算机上执行。随着微型计算机的普及应用，人们对Kalman滤波的数值稳定香、计算效率、实用性和有效性的要求越来越高。由于计算机的字长有限，使计算中舍入误差和截断误差累积、传递，造成误差方差阵失去对称正定性造成数值不稳定。在Kalman滤滤波理论的发展过程中，为改善Kalman滤波算法的数值稳定性，并提高计算效率，人们提出平方根滤波、uD分解滤波等系列数值鲁棒的滤波算法。 传统的Kalman滤波是建立在模型精确和随机干扰信号统计特性已知基础上的，对于一个实际系统，往往存在着模型不确定性或(和)干扰信号统计特性不完全已知，这些不确定因素使得传统的Kalman滤波算法失去最优型，估计精度大大降低，严重时会引起滤波发散：近些年，人们将鲁棒控制的思想引入到滤波中来，形成了鲁棒滤波理论。比较有代表件的是H无穷滤波。 信息融合和神经经网络也有其他的许多优点，他们和Kalman滤波的结合在控制和估计领域内也同样是一个重要的发展方向。 以上介绍Kalman滤波的发展过程及其引用领域，相信随着科技的不断发展进步，其理论将不断完善，应用领域将更加广泛。第三节 由卡尔曼滤波在自由落体中的应用的引例到其理论考察如下的定常线性系统：如图1所示。某一物体在重力场作自由落体运动，观测装置对其位移进行检测，在传感器受到位置的独立分布的随即信号的干扰下，我们需要估计关心的物体的运动位移和速度。 对这样一个无噪声的二阶系统，它处于一个保守场中，即 （3.1）设物体的位移速度；定义如下的向量： （3.2）现在推导该自由落体物体的状态转移阵。由已有的运动学方程，对于一个平面运动的物体，它的位移方程和速度方程有： （3.3） 对于运动在从时刻到时刻的物体，应用上式，有： （3.4）考虑2式，以代换并移项，即： （3.5）很容易由上式得出状态转移方程： (3.6) 现在的任务是给定位置观测装置，在测量值受到某种独立随即干扰的影响时的观测方程很显然的写为： 位移观测传感器输出数据初始位置z速度vo图3.1 自由落体物体的观测系统为了处理方便，亦即： (3.7)并且我们给定的方差：，初始的物体状态，以及初始的误差，且由运动方程的物理模型知道，. 在给定准则为“误差均方值”，即： (3.8)为使准则最小，将式3.5、式3.6代入上式并求导可得出关于状态方程的最优估计式，亦即卡尔曼滤波的递推流程1,3：考虑估计器表达式(3.9)，, 把它分成两个部分，前者为预测，后者为修正值：估计器： (3.9)其中的递推关系式有： (3.10) （3.11）在时刻的估计被认为是在时刻的预测值加上修正量得到，那么很容易理解在时刻的下一时刻的预测值即： （3.12）将上式结合估计器的表达式，则得到Kalman的预测过程：预测器： (3.13)其中的递推关系式有： (同式10)按上述算法流程，对该自由落体的物体进行Kalman滤波和预测，图2给出了在加性噪声下的Kalman滤波前后的误差对比曲线。图3是递推误差矩阵的收敛曲线，容易看出，在经过少数的几次迭代后误差很快得到收敛。位移误差均方值图3.3 Kalman滤波误差矩阵的收敛特性曲线时间t/k速度误差均方值时间t/k图 2a 独立分布的位移随机噪声（原始误差）图2b Kalman滤波后的位移误差图3.2 Kalman滤波前后误差对比曲线位移S对于上面所描述的系统，我们最关心的可能是式3.5和式3.6 ，因为它反映了整个系统的状态特性和观测特性，更一般地，考虑有误差的系统和观测噪声下的系统模型： (3.14)对照式3.5和式3.6， 这样的一个无噪声的重力场下的二阶系统是在,完全为常数的定常系统，因此估计方法也就更简单。当考虑到在某些系统中事先是不知道的，并且噪声的统计特性也不知道，具体的说是或者的统计特性起了变化。在这种情况下，首先要估计变化了的参数，进而调整滤波器的增益阵，在这种情况下，我们一般应用自适应滤波。已经知道式3.14 的滤波递推方法，对于一些与式3.14 不一致的特殊情况，从新讨论怎样把它转化为形同3.14的最优滤波的问题：1. 含有控制量的系统描述：，其中，为控制量。这种情况同引例所描述的是一模一样的，只需要将控制量增加到预测式中，增益阵和误差阵的递推式完全一致。2. 形同式3.14，但系统噪声为有色噪声。即有，其中为白噪声。解决的办法是将也列为状态，则扩增后的状态为：，扩增后的系统方程和观测方程可写为：，简化写为：，此时即符合式3.14所描述的一般形式。3. 形同式3.14，但观测噪声为有色噪声。即有，其中为白噪声。解决的办法是将也列为状态，具体的计算递推过程较为繁琐。可以参考相关文献1。 根据以上的知识，那么一般的最小方差的Kalman滤波的流程应该是这样的：1. 建模。建立系统模型以及观测装置的模型。即求出系统状态方程中的.参数2. 寻求系统噪声和观测噪声的统计特性，即求出参数；3. 按式3.9、3.10给出的递推式，进行Kalman滤波。如果状态方程和观测方程不满足式3.14所描述的形式和条件，则将其转化为式3.14的形式后再利用3.9、3.10式递推。 至此，我们得到随机线性离散系统Kalman滤波基本流程。Kalman滤波算法具有如下特点： 1. 由于Kalman滤波算法将被估计的信号看作在白噪声作用下个随机线性系统的输出，并且其输入输出关系是由状态方程和输出方程在时间域内给出的，因此这种滤波方法不仅适用于平稳序列的滤波，而且特别适用于非平稳或平稳马尔可夫序列或高斯马尔可大序列的滤波，因此其应用范围是十分广泛的。 2. 由于Kalman滤波的基本方程是时间域内的递推形式，其计算过程是一个不断地“预测修正”过程，在求解时不要求存储大量数据，并且一旦观测到了新的数据，随即可以算得新的滤波值，因此这种滤波方法非常适合于实时处理，计算机实现， 3. 由十滤波器的增益矩阵与观测无关，因此它可预先离线算出从而可以减少实时在线计算量；在求滤波器增益矩阵K时，要求一个矩阵的逆，即要计算，它的阶数只取决于观测方程的维数m，而m通常是很小的，这样，上面的求逆运算是比较方便的；另外，在求解滤波器增益的过程中，随时可以算得滤波器的精度指标P，其对角线上的元素就是滤波误差向量各分量的方差。参考文献1 付梦印、邓志红、张继伟，Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用.北京：科学出版社,2003.102 敬喜，卡尔曼滤波器及其应用基础，北京:国防工业出版社,19733 邓自立. 卡尔曼滤波与维纳滤波:现代时间序列分析方法. 哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2001 4 （英）鲍齐克著, 凌云旦译. 数字滤波和卡尔曼滤波，北京:科学出版社,1984.2.5 张有为，维纳与卡尔曼滤波理论导论. 北京:人民教育出版社,1980附录1：自由落体的Kalman滤波应用Matlab程序clear;%理论下落的状态位置:位移和速度n=1000;x1(1)=99.5;x2(1)=-1;for i=1:n-1; x2(i+1)=x2(i)-1; x1(i+1)=x1(i)-0.5-i;end; %加性噪声下的观测值y=randn(1,n)+x1; %sum(x1-y)/6%速度位移估计值及误差sv=zeros(n,2);err=zeros(n,2);yuce=zeros(n,2); %初始化A=1,1;0,1;B=0.5;1;U=-1;C=1,0;X=95;1;P1=zeros(2,2);P=10,0;0,1;err(1,1)=P(1,1);err(1,2)=P(2,2);Q=0,0;0,0;R=1; %kalman估计for i=1:n; P1=A*P*A+Q; %计算P1 K=P1*C*inv(C*P1*C+R); %计算K tempx=X; %X为上一次的估计 xdot=A*tempx+B*U; x=xdot+K*(y(i)-C*xdot); %本次估计 X=x; %本次估计作为