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2020年4月26日星期日,不等式的证明,1,第二讲证明不等式的基本方法综合法与分析法,2,二、综合法与分析法,例1.已知a,b,c0,且不全相等，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc,分析：观察待证不等式的特点与重要不等式：,a2+b22ab有关,所以证明可以从这个重要不等式出发，再结合不等式的性质推出.,这就是综合法,3,综合法：,一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法.,综合法又叫顺推法或由因导果法,综合法的“入手处”是一些重要的不等式：,4,例2.已知a1,a2,.,anR+,且a1a2.an1，求证(1+a1)(1+a2)(1+an)2n,分析：观察要证明的结论，可以联想到是由n个同向不等式相乘得到.,由基本不等式得：,再由条件：a1a2.an1可得结论,5,例2.已知a1,a2,.,anR+,且a1a2.an1，求证(1+a1)(1+a2)(1+an)2n,6,变式练习：,7,点评：瞄准目标进行拆分与组合,8,分析：观察不等式的特点联想n维均值不等式,关键：将右边的1移至左边并进行“均分”,再用均值不等式即可达到目标,9,10,课堂练习:1.已知a,b,c不全相等，且a+b+c=3,求证：a2+b2+c23,证：由已知得(a+b+c)2=9,即:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=9,a2+b22ab,由和得93,又a,b,c不全相等,2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ca,b2+c22bc,a2+c22ca,以上三式相加得2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ca,11,小结：,作业:P251,2,7,8,课堂练习,即综合法是：由因导果,12,分析法,证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法.,这是一种执果索因的思考和证明方法,13,因为140,b0,2ca+b.求证：,分析：原不等式等价于,又a0,所以，只需证：a2c-b,即：a+b2c,由题设知a+b0,(1+x)n-(1+nx)=tnntn1()再设f(t)=tn-nt+n-1,则f(t)=ntn-1nn(tn-11.当t(0，1)时,f(t)0，f(t)在(1,+)上递增.当
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