自考-线性代数 第五章特征值与特征向量ppt课件

.,第五章特征值与特征向量,.,5.1方阵的特征值与特征向量,.,引言,纯量阵lE与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即(lEn)An=An(lEn)=lAn矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即l(AB)=(lA)B=A(lB)Ax=lx?,.,一、基本概念,定义：设A是n阶矩阵，如果数l和n维非零向量x满足Ax=lx，那么这样的数l称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值l的特征向量,.,例：则l=1为的特征值，为对应于l=1的特征向量.,.,一、基本概念,定义：设A是n阶矩阵，如果数l和n维非零向量x满足Ax=lx，那么这样的数l称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值l的特征向量Ax=lx=lEx非零向量x满足(AlE)x=0（零向量）齐次线性方程组有非零解系数行列式|AlE|=0,.,特征方程,特征多项式,特征方程|AlE|=0特征多项式|AlE|,.,二、基本性质,在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值（重根按重数计算）设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,ln，则l1+l2+ln=a11+a22+annl1l2ln=|A|,.,【例1】求矩阵的特征值和特征向量【解】A的特征多项式为所以A的特征值为l1=2，l2=4当l1=2时，对应的特征向量应满足，即解得基础解系,kp1（k0）就是对应的特征向量,.,【例2】求矩阵的特征值和特征向量A的特征多项式为所以A的特征值为l1=2，l2=4当l2=4时，对应的特征向量应满足，即解得基础解系,kp2（k0）就是对应的特征向量,.,【例3】求矩阵的特征值和特征向量【解】所以A的特征值为l1=1，l2=l3=2,.,【例4】求矩阵的特征值和特征向量当l1=1时，因为解方程组(A+E)x=0解得基础解系,kp1（k0）就是对应的特征向量,.,【例5】求矩阵的特征值和特征向量解（续）：当l2=l3=2时，因为解方程组(A2E)x=0解得基础解系k2p2+k3p3（k2,k3不同时为零）就是对应的特征向量,.,二、基本性质,在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值（重根按重数计算）设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,ln，则l1+l2+ln=a11+a22+annl1l2ln=|A|若l是A的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为l的全体特征向量的最大无关组,.,例6：设l是方阵A的特征值，证明(1)l2是A2的特征值；(2)当A可逆时，1/l是A1的特征值结论：若非零向量p是A对应于特征值l的特征向量，则l2是A2的特征值，对应的特征向量也是plk是Ak的特征值，对应的特征向量也是p当A可逆时，1/l是A1的特征值，对应的特征向量仍然是p,.,二、基本性质,在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值（重根按重数计算）设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,ln，则l1+l2+ln=a11+a22+annl1l2ln=|A|,.,若l是A的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为l的全体特征向量的最大无关组若l是A的一个特征值，则j(l)=a0+a1l+amlm是矩阵多项式j(A)=a0+a1A+amAm的特征值,.,【例7】设3阶方阵A的特征值为1,1,2，求A*+3A2E的特征值【解】A*+3A2E=|A|A1+3A2E=2A1+3A2E=j(A)其中|A|=1(1)2=2设l是A的一个特征值，p是对应的特征向量令则,.,定理：设l1,l2,lm是方阵A的特征值，p1,p2,pm依次是与之对应的特征向量，如果l1,l2,lm各不相同，则p1,p2,pm线性无关例：设l1和l2是方阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为p1和p2，证明p1+p2不是A的特征向量,.,当|2En-A|=0时，根据特征值的定义知道，2就是A的特征值。当|En+A|=0时，因为|-En-A|=(-1)n|En+A|=0,所以-1是A的特征值。,【例8】,.,【练习87】,设A为n阶矩阵，且已知，则A必有一个特征值为（）ABCD,A,.,【练习88】,已知，求其特征值与特征向量,.,特征值，对于，解齐次线性方程组：基础解系为，对应的全部特征向量为（是任意非零常数）；,【解】,.,对于，解齐次线性方程组：基础解系为，对应的全部特征向量为（是任意非零常数）,.,【练习89】,设A为n阶矩阵，k为正整数，且Ak=O，证明A的特征值均为0.,【证明】设是矩阵A的特征值，且存在向量0，使得A=由此可得Ak=k又因Ak=O，故Ak=0从而k=0，而0，所以k=0，即=0因此A的特征值均为0.,.,【练习90】,设A为3阶矩阵，若A的三个特征值分别为1，2，3，则|A|=。,6,|A|=123=6,.,5.2方阵的相似变换,.,定义：设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P满足P1AP=B，则称B为矩阵A的相似矩阵，或称矩阵A和B相似对A进行运算P1AP称为对A进行相似变换称可逆矩阵P为把A变成B的相似变换矩阵,.,定理：若n阶矩阵A和B相似，则A和B的特征多项式相同,从而A和B的特征值也相同证明：根据题意，存在可逆矩阵P，使得P1AP=B于是|BlE|=|P1APP1(lE)P|=|P1(AlE)P|=|P1|AlE|P|=|AlE|,.,定理：若n阶矩阵A和B相似，则A和B的特征多项式相同,从而A和B的特征值也相同推论：若n阶矩阵A和B相似，则A的多项式j(A)和B的多项式j(B)相似,.,证明：设存在可逆矩阵P，使得P1AP=B，则P1AkP=Bk.设j(x)=cmxm+cm1xm1+c1x+c0，那么P1j(A)P=P1(cmAm+cm1Am1+c1A+c0E)P=cmP1AmP+cm1P1Am1P+c1P1AP+c0P1EP=cmBm+cm1Bm1+c1B+c0E=j(B).,.,定理：设n阶矩阵L=diag(l1,l2,ln)，则l1,l2,ln就是L的n个特征值证明：故l1,l2,ln就是L的n个特征值,.,定理：若n阶矩阵A和B相似，则A和B的特征多项式相同,从而A和B的特征值也相同推论：若n阶矩阵A和B相似，则A的多项式j(A)和B的多项式j(B)相似,.,若n阶矩阵A和n阶对角阵L=diag(l1,l2,ln)相似，则从而通过计算j(L)可方便地计算j(A).若j(l)=|AlE|，那么j(A)=O（零矩阵）.,.,可逆矩阵P，满足P1AP=L（对角阵）,AP=PL,Api=lipi(i=1,2,n),A的特征值,对应的特征向量,其中,?,定理4：n阶矩阵A和对角阵相似当且仅当A有n个线性无关的特征向量,推论：如果A有n个不同的特征值，则A和对角阵相似,.,设，求，为任意正整数。,【例9】,【解】先求出A的特征值和特征向量。,属于特征值的特征向量满足，可取特征向量,属于特征值的特征向量满足，可取特征向量,.,将这两个线性无关的特征向量拼成可逆矩阵则有矩阵等式,其中是以A的特征值为对角元的对角矩阵。,据此就可以求出,.,【练习91】,与矩阵相似的对角矩阵为_,【解】有相同特征值的同阶对称矩阵一定（正交）相似A的特征值为1和3，与A相似的对角矩阵为,.,【练习92】,与矩阵A=相似的是（）ABCD,【解】有相同特征值的同阶对称矩阵一定（正交）相似,A,.,【练习93】,设三阶方阵A的特征值分别为，且B与A相似，则_,16,【解】定理：若n阶矩阵A和B相似，则A和B的特征多项式相同,从而A和B的特征值也相同,.,【练习94】,已知矩阵A与对角矩阵D=相似，则（）AABDCEDE,【解】存在，使，,C,.,【练习95】,19已知3阶矩阵的特征值为，且矩阵与相似，则_,【解】定理：若n阶矩阵A和B相似，则A和B的特征多项式相同,从而A和B的特征值也相同的特征值为，,4,.,5.3向量内积和正交矩阵,.,向量的内积,定义：设有n维向量令x,y=x1y1+x2y2+xnyn，则称x,y为向量x和y的内积说明：内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数内积可用矩阵乘法表示：当x和y都是列向量时，x,y=x1y1+x2y2+xnyn=xTy,.,定义：设有n维向量令则称x,y为向量x和y的内积,向量的内积,.,【练习96】,设向量，则向量，的内积=_,10,解:内积为,.,x,y=x1y1+x2y2+xnyn=xTy内积具有下列性质（其中x,y,z为n维向量，l为实数）：对称性：x,y=y,x线性性质：lx,y=lx,yx+y,z=x,z+y,z当x=0（零向量）时，x,x=0；当x0（零向量）时，x,x0施瓦兹（Schwarz）不等式x,y2x,xy,y,.,x,y=x1y1+x2y2+xnyn=xTy内积具有下列性质（其中x,y,z为n维向量，l为实数）：对称性：x,y=y,x,.,x,y=x1y1+x2y2+xnyn=xTy内积具有下列性质（其中x,y,z为n维向量，l为实数）：对称性：x,y=y,x线性性质：lx,y=lx,yx+y,z=x,z+y,z,.,x,y=x1y1+x2y2+xnyn=xTy内积具有下列性质（其中x,y,z为n维向量，l为实数）：对称性：x,y=y,x线性性质：lx,y=lx,yx+y,z=x,z+y,z当x=0（零向量）时，x,x=0；当x0（零向量）时，x,x0x,x=x12+x22+xn20,.,x,y=x1y1+x2y2+xnyn=xTy内积具有下列性质（其中x,y,z为n维向量，l为实数）：对称性：x,y=y,x线性性质：lx,y=lx,yx+y,z=x,z+y,z当x=0（零向量）时，x,x=0；当x0（零向量）时，x,x0施瓦兹（Schwarz）不等式x,y2x,xy,y,.,回顾：线段的长度,x1,x2,x1,x2,x3,P(x1,x2),O,P,O,若令x=(x1,x2)T，则,若令x=(x1,x2,x3)T，则,x,x=x12+x22+xn20,.,向量的长度,定义：令称|x|为n维向量x的长度（或范数）当|x|=1时，称x为单位向量向量的长度具有下列性质：非负性：当x=0（零向量）时，|x|=0；当x0（零向量）时，|x|0齐次性：|lx|=|l|x|,.,向量的长度,定义：令称|x|为n维向量x的长度（或范数）当|x|=1时，称x为单位向量向量的长度具有下列性质：非负性：当x=0（零向量）时，|x|=0；当x0（零向量）时，|x|0齐次性：|lx|=|l|x|三角不等式：|x+y|x|+|y|,.,.,向量的正交性,施瓦兹（Schwarz）不等式x,y2x,xy,y=|x|y|当x0且y0时，定义：当x0且y0时，把称为n维向量x和y的夹角,.,当x,y=0，称向量x和y正交结论：若x=0，则x与任何向量都正交,.,定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组定理：若n维向量a1,a2,ar是一组两两正交的非零向量，则a1,a2,ar线性无关证明：设k1a1+k2a2+krar=0（零向量），那么0=a1,0=a1,k1a1+k2a2+krar=k1a1,a1+k2a1,a2+kra1,ar=k1a1,a1+0+0=k1|a1|2从而k1=0同理可证，k2=k3=kr=0综上所述，a1,a2,ar线性无关,.,【例10】已知3维向量空间R3中两个向量正交，试求一个非零向量a3，使a1,a2,a3两两正交分析：显然a1a2【解】设a3=(x1,x2,x3)T，若a1a3，a2a3，则a1,a3=a1Ta3=x1+x2+x3=0a2,a3=a2Ta3=x12x2+x3=0,.,得从而有基础解系，令,.,【练习97】,下列向量中与正交的向量是（）ABCD,D,解:内积为零的两个向量正交,.,【练习98】,已知向量与向量正交，则_,2,解:内积为零的两个向量正交,.,【练习99】,已知向量正交，则_,解:内积为零的两个向量正交,.,【练习100】,已知向量与向量正交，则_,1,解:内积为零的两个向量正交,.,【练习101】,已知向量与向量正交，则()A2B0C2D4,D,解:内积为零的两个向量正交,.,定义：n维向量e1,e2,er是向量空间中的向量，满足e1,e2,er是向量空间V中的一个基（最大无关组）；e1,e2,er两两正交；e1,e2,er都是单位向量，则称e1,e2,er是V的一个规范正交基例：是R4的一个规范正交基,.,也是R4的一个规范正交基,是R4的一个基，但不是规范正交基,.,设e1,e2,er是向量空间V中的一个正交基，则V中任意一个向量可唯一表示为x=l1e1+l2e2+lrer于是特别地，若e1,e2,er是V的一个规范正交基，则问题：向量空间V中的一个基a1,a2,ar向量空间V中的一个规范正交基e1,e2,er,？,.,求规范正交基的方法,第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程设a1,a2,ar是向量空间V中的一个基，那么令,a1,b1,a2,a3,c2,b2,c3,c31,c32,b3,基,正交基,规范正交基,.,b1,c2,a2,b2,返回,令c2为a2在b1上的投影，则c2=lb1，若令b2=a2c2=a2lb1，则b1b2下面确定l的值因为所以，从而,a2b1,.,第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程设a1,a2,ar是向量空间V中的一个基，那么令,.,于是b1,b2,br两两正交，并且与a1,a2,ar等价，即b1,b2,br是向量空间V中的一个正交基特别地，b1,bk与a1,ak等价（1kr）,.,第二步：单位化设b1,b2,br是向量空间V中的一个正交基，那么令因为从而e1,e2,er是向量空间V中的一个规范正交基,.,【例11】设，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化【解】第一步正交化，取,.,【例12】设，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化【解】第二步单位化，令,.,【练习102】,利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单位向量组,.,解:正交化，得正交的向量组：,单位化，得正交的单位向量组：,.,【练习103】,将，标准正交化。,.,解:正交化，得正交的向量组：,.,再将它们单位化可以求得,.,【例13】已知，试求非零向量a2,a3，使a1,a2,a3两两正交.【解】若a1a2，a1a3，则a1,a2=a1Ta2=x1+x2+x3=0a1,a3=a1Ta3=x1+x2+x3=0即a2,a3应满足方程x1+x2+x3=0基础解系为把基础解系正交化即为所求,（以保证a2a3成立）,.,定义：如果n阶矩阵A满足ATA=E，则称矩阵A为正交矩阵，简称正交阵,即A1=AT，,于是从而可得方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列向量都是单位向量，且两两正交,即A的列向量组构成Rn的规范正交基,.,定义：如果n阶矩阵A满足ATA=E，即A1=AT，则称矩阵A为正交矩阵，简称正交阵方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列向量都是单位向量，且两两正交即A的列向量组构成Rn的规范正交基.因为ATA=E与AAT=E等价，所以,.,定义：如果n阶矩阵A满足ATA=E，即A1=AT，则称矩阵A为正交矩阵，简称正交阵方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列向量都是单位向量，且两两正交即A的列向量组构成Rn的规范正交基方阵A为正交阵的充分必要条件是A的行向量都是单位向量，且两两正交,即A的行向量组构成Rn的规范正交基.,.,例14：正交矩阵,R4的一个规范正交基,.,正交矩阵具有下列性质：若A是正交阵，则A1也是正交阵，且|A|=1或1若A和B是正交阵，则A和B也是正交阵定义：若P是正交阵，则线性变换y=Px称为正交变换经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保持不变），这就是正交变换的优良特性,.,【练习104】,设A为n阶正交矩阵，则行列式（）A-2B-1C1D2,C,解:A为正交矩阵，则,.,【练习105】,下列矩阵是正交矩阵的是（）ABCD,A,.,解:A为正交矩阵，则,.,表示一个从变量到变量线性变换，其中为常数.,n个变量与m个变量之间的关系式,.,系数矩阵,线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.,返回,.,5.4实对称矩阵的相似标准形,.,定理：设l1,l2,lm是方阵A的特征值，p1,p2,pm依次是与之对应的特征向量，如果l1,l2,lm各不相同，则p1,p2,pm线性无关,.,可逆矩阵P，满足P1AP=L（对角阵）,AP=PL,Api=lipi(i=1,2,n),A的特征值,对应的特征向量,其中,?,(AliE)pi=0,矩阵P的列向量组线性无关,.,定理：设l1,l2,lm是方阵A的特征值，p1,p2,pm依次是与之对应的特征向量，如果l1,l2,lm各不相同，则p1,p2,pm线性无关（P.120定理2）定理：n阶矩阵A和对角阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量（P.123定理4）推论：如果A有n个不同的特征值，则A和对角阵相似说明：当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化（P.118例6）,.,定理：设l1,l2,lm是方阵A的特征值，p1,p2,pm依次是与之对应的特征向量，如果l1,l2,lm各不相同，则p1,p2,pm线性无关（P.120定理2）定理：设l1和l2是对称阵A的特征值，p1,p2是对应的特征向量，如果l1l2，则p1,p2正交（P.124定理6）证明：Ap1=l1p1，Ap2=l2p2，l1l2l1p1T=(l1p1)T=(Ap1)T=p1TAT=p1TA（A是对称阵）l1p1Tp2=p1TAp2=p1T(l2p2)=l2p1Tp2(l1l2)p1Tp2=0因为l1l2，则p1Tp2=0，即p1,p2正交,.,定理：设A为n阶对称阵，则必有正交阵P，使得P1AP=PTAP=L，其中L是以A的n个特征值为对角元的对角阵（不唯一）.（P.124定理7）,定理：n阶矩阵A和对角阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量（P.123定理4）推论：如果A有n个不同的特征值，则A和对角阵相似说明：当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化,.,定理：n阶矩阵A和对角阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量（P.123定理4）推论：如果A有n个不同的特征值，则A和对角阵相似说明：当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化,推论：设A为n阶对称阵，l是A的特征方程的k重根，则矩阵AlE的秩等于nk，恰有k个线性无关的特征向量与特征值l对应,.,【例15】设，求正交阵P，使P1AP=L对角阵.【解】因为A是对称阵，所以A可以对角化求得A的特征值l1=2，l2=l3=1,.,当l1=2时，解方程组(A+2E)x=0，得基础解系当l2=l3=1时，解方程组(AE)x=0，得令，则.,.,当l1=2时，对应的特征向量为；当l2=l3=1时，对应的特征向量为.显然，必有x1x2，x1x3，但x2x3未必成立于是把x2,x3正交化：此时x1h2，x1h3，h2h3,.,单位化：当l1=2时，对应的特征向量为；当l2=l3=1时，对应的特征向量为.,.,当l1=2时，对应的特征向量为；当l2