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文档简介
.,5.2单纯形法的灵敏度分析,目标函数系数Cj的改变对原问题的影响约束条件右侧常数bi改变对原问题的影响约束条件系数矩阵A发生变动对原问题的影响,.,例:,某工厂计划生产甲、乙、丙三种产品,这三种产品的单位利润分别为2元、3元、1元,生产单位产品所需要的劳动力和材料如下表所列,现工厂计划部门列出线性规划的模型,以确定最优的生产方案。,.,设计划生产三种产品产量分别为x1,x2,x3引入松弛变量x4,x5,得如下单纯形表,.,解到第三段得到最优解:x1=1(甲产品生产1单位),x2=2(乙产品生产2单位),x3=0(丙产品不生产),maxZ=8(最大利润达到8元),.,一、目标函数系数Cj的改变对原问题的影响,讨论:上例中甲、乙、丙三种产品单位利润发生变化时对原问题的影响。思考:数学模型中,cj变化将影响数学模型中哪些因素?如:丙产品单位利润的变化将影响到模型中哪些因素?c3=1c3=2或c3=1c3=6再如:甲、乙产品单位利润发生变化时,将影响到哪些因素?c1=2c1=4或c2=3c2=2,.,结论,在单纯形法中,cj的变化cj-zj变化基变量的调出、入。分两种情况:非基变量的cj发生变化只影响其本身对应的检验数cj-zj;如上例中x3为非基变量,则丙产品单位利润发生变化只影响本身的检验数。基变量的cj发生变化,由于影响到cB,从而所有非基变量的检验数均受到影响(基变量的检验数仍保持为0)。如上例中x1、x2为基变量,则甲、乙产品单位利润变化,将影响除甲、乙外其他变量的检验数。,.,(一)非基变量目标函数系数的改变,上例中,x1、x2为基变量,x3为非基变量,它的最优解为x3=0,既不安排生产。为什么不生产丙产品呢?因为x3所对应的检验数Cj-Zj不是绝对值最大者,无法调入成为基变量。如果要生产丙产品,意味着x30,则必须将x3调入成为基变量,考察单纯形表最后一段,此时检验数Cj-Zj均为非正,如果此时改变c3,则C3-Z3会发生变化,当它变成0时,就可以调入。所以,分析c3-z3的变动:,.,C3变动范围,当C3-Z30即C34时,调入成为基变量,则x30。也就是说,此时当改变丙产品的单位利润c3到大于4元时,它的产量就大于零,即需考虑生产丙产品了。,.,所以,丙产品单位利润的变动范围是c30,意味着生产甲产品。再进一步分析,如果C1降到某一程度之后,即利润非常小,从实际意义上讲,是不应该安排甲产品生产的。另一方面,当甲产品利润增加到很高一个水平时,就可以考虑只生产甲产品而不生产其他产品,那么究竟甲产品利润必须变动到什么程度才可能发生以上变化呢?,.,(二)基变量目标函数系数的改变,x1是基变量,基变量的检验数C1-Z1=0,而C1变化会影响到非基变量的检验数。我们可以分析所有非基变量的检验数,.,C1的变动范围,C1的变动范围为3/4,3也就是说,当甲产品利润在3/4到3之间变动时,它不会影响到基变量,即仍安排生产甲产品和乙产品,不生产丙产品,只是随着C1的变化,最优解即甲、乙产品的产量不会改变,而总利润会发生变动,如当C1=1时,最优解为x1=1,x2=2,而最优值Z=7,若C1变动超过以上界限,则需重新计算。,.,(三)基变量和非基变量的目标函数系数同时发生变化时,思路:参考以上两种情况,在单纯形表最后一段中,用变化后的新Cj代入计算检验数Cj-Zj,若满足符号条件,则最优解不变,最优值变动;若不满足符号条件,则用变化后的Cj代入最后一段,继续进行迭代计算。,.,如上例,当Cj变为:C2=4,C3=4,代入最后一段,得Cj-Zj0,均满足符号条件最优解不变,x1=1,x2=2最优值Z=10,.,当Cj变为C2=4,C3=8,代入最后一段,得Cj-Zj0,均满足符号条件经过两段计算,得到最优解,x1=2,x2=1最优值Z=12,.,二、约束条件右侧常数bi改变对原问题的影响,讨论:例中资源最高限制量改变时将影响数学模型中的哪些因素?,.,Bi变化影响哪些因素?,当bi变化时,从单纯形法计算过程可知,它不影响检验数,只影响b列本身,也就是说,它不影响基变量但会改变最优解的具体数值,如上例中,假设b1发生变化,劳动力使用从一个劳动力增加到2个劳动力,即b1=2,则b变化不影响检验数单纯形表最后一段基变量结构不变,仍是x1,x2,改变的是x1,x2的数值用公式表示如下:,.,.,分析,从以上计算结果表明,增加一个单位b1(劳动力数量)会使总利润增加,但在实际经济工作中,b1增加不可能是无限的,因为劳动力增加太多,而其他条件不变时,势必造成劳动力过剩,影响生产率,进而影响利润率,即Cj会变化,因此,b1的变化也是有范围的。从数学模型上思考:b取值的制约条件?,.,bi变动的制约条件,当我们用单纯形法解线性规划问题时,要求b0b的变化必须首先满足这个条件用公式表示如下:,.,设基变量不变(意味着生产产品结构不变),即B=(P1P2)保持不变,则,b1变动的范围是3/4,3也就是说,b1在3/43之间变动时,基变量结构不变(仍是生产甲、乙两种产品,不生产丙产品),但变量值发生变动(产量变化),最优值也会变动(总利润变化),即,.,.,分析,例中第二个资源材料的最高限制变化时对原问题的影响。即讨论:b2变动的范围。,.,B2变动的范围,B2的变动范围是14,.,影子价格的概念,“影子价格”是经济领域的概念。“影子价格”是指当其他原料数量都保持不变时,第k种原料由bk增加一个单位时,由此而产生的目标函数值的增加,它对应于单纯形表最后一段松弛变量所对应的检验数(取正值)。,.,如例中,b1表示劳动力资源,当b1变动时,.,从以上计算结果表明,b1的影子价格即松弛变量x4的检验数的相反数Z4-C4=5,说明每增加一个单位的劳动力会使得目标函数值Z增加5个单位。,.,b2表示材料资源,当b2变动时,.,计算结果表明,b2的影子价格即松弛变量x5的检验数的相反数Z5-C5=1,说明每增加一个单位的材料会使得目标函数值Z增加1个单位。,.,影子价格的经济意义,当影子价格Zj-Cj=0时,表明当各种产品的数量按照最优决策,分别生产数量x1,x2,xn并达到最大收益时,第j种原料尚有剩余,如果单独增加第j种原料的数量不会使总收益增加,故影子价格Zj-Cj=0。当影子价格Zj-Cj0时,表明第j种原料已经在达到最大收益时全部耗尽,生产组织者如果要扩大生产增加收益,必须增加第j种原料的购买量,如果市场上该种原料的市场价格小于或等于Zj-Cj时,则用增加第j种原料来增加收益是合算的;反之,若市场价格大于影子价格时,那么用增加第j种原料来增加收益的办法是不利的.所以影子价格能为企业或部门提供今后“活动”的一种经济信息。,.,三、约束条件系数矩阵A发生变动对原问题的影响,增加新的产品生产,使A矩阵多一列aj现行的产品生产资源消耗量发生改变,即aij变化时增加新的约束条件,即增加新的一行ai,.,(一)增加新的产品生产,使A矩阵多一列aj,设该厂研究出新的产品丁,每生产一单位产品丁,需要一个劳动力和一单位原料,单位利润为3单位,丁产品销路良好,现在想知道,在原有资源不变的情况下,安排丁生产是否有利。结合数学模型分析:,.,分析,要判断是否安排丁生产,就看丁所对应的检验数Cj-Zj是否满足符号条件,若满足符号条件,说明原问题最优解不变,丁变量不会成为基变量,解仍为零,即不应安排丁产品的生产;相反的,若Cj-Zj不满足符号条件,则丁变量就有可能被调入成为基变量,即应考虑生产丁。如例中,原问题变为:(多一个变量x6),.,多一个变量x6,使A矩阵多了一列,若加入最后一段计算,不能直接用p6,而应将p6线性变化后带入,.,根据单纯形表最后一段有关数据,得,.,分析检验数符号,C6-Z6满足符号条件原问题最优解不变,仍是x1=1,x2=2,x3=x6=0即不安排丁产品生产。,注意区别和的不同,.,若将以上丁产品利润改为C6=7,其他条件不变,情况会有什么变化?,.,分析检验数符号,C6-Z6不满足符号条件原问题最优解将变动,将C6代入单纯形表最后一段重新计算。注意:,.,对p6进行线性变化,.,此时得到最优解,x1=0,x2=2,x3=x4=x5=0 x6=1/3,最优值Z=25/3。说明由于丁产品利润的增加,应考虑生产丁产品。,.,(二)现行的产品生产资源消耗量发生改变,即aij变化时,1、当非基变量的aij变化时,如上例,丙产品的技术条件发生变化,单位丙产品所需的劳动力数量不变:a13=1/3,所需的材料数量减少为a23=5/3即:,.,分析方法,非基变量的aij的变化只影响本列的数值,只影响本列的检验数。所以与增添新产品的情况相同,只要重新计算发生变化的aij对应的Cj-Zj,根据Cj-Zj的符号判断最优解有否改变。如例中,丙产品的技术条件发生变化,单位丙产品所需的劳动力数量不变:a13=1/3,所需的材料数量减少为a23=5/3,.,计算检验数,C3-Z3满足符号条件原问题最优解不变,最优值也不变。,.,2、当基变量对应的aij变化时,当基变量对应的aij变化时,由于此时基矩阵CB受到影响,进而影响所有检验数,即:所以,应对规划问题重新计算。,.,如上例,甲产品、乙产品的技术条件发生变化时,即a11、a21、a12、a22变化时将影响到则应重新计算。,.,(三)增加新的约束条件,即增加新的一行ai,如上例,若增加一个约束条件分析:最优解是否要改变?,.,对比数学模型,.,分析,将最优解带入新加入的约束条件中,看看是否满足若满足新的约束条件,最优解不变;若不满足新的约束条件,则应加入新的约束条件于单纯形表最后一段,标准化后,继续进行迭代计算直至求出最优解或判断无解。,.,将最优解x1=1,x2=2代入上式,得左边=1+2*2+0=5,右边=4显然不满足约束条件,则应重新计算最优解。,.,分析,加入松弛变量x6,得将标准化后的式子代入单纯形表最后一段,.,分析,思考:以上单纯形表可否直接计算?,.,应进行线
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