3.2的抽样分布定理证明.doc

几种统计量的抽样分布(1) 样本平均数的抽样分布 (P.116) 设 (x1, x2, , xn) 是总体x N (m , s 2 ) 的随机样本，=，则E() = = mVar() = Var() =图8.1 正态分布s2 = 1，s2 = 0.5因xi N(m , s 2 )，i = 1, 2, , n, =+ +，根据正态分布的线性性质，得 N(m ,), U = N(0, 1) n ， m，样本容量越大，离 m 越近。 当x不服从正态分布时，在n 30 条件下，依据中心极限定理可认为，近似服从正态分布N(m, 。Z = N(0, 1)上面给出的E() = m，Var () = 是以x为无限总体为条件的。（1）当x为有限总体，但 0.05时， E() = mVar() =其中 称作有限总体修正因子。n=100n=10n=3 图1 发票面额的分组频数表 (m = 20，s = 30) 图2 n=3, n=10, n=100 的抽样分布（=30.3）（文件名：stat06）例1： 8042张发票面额的分组频数表显示该总体是非正态、右偏倚的，如图1， m = 20，s = 30。以样本容量为 n =3，n = 10，n = 100 各抽取600次，得到关于的三个频数分布图如上。 (2) 统计量W =的抽样分布 若 U1，U2，Un 是相互独立且同服从N(0, 1)分布随机变量，则 U12 + U22 + + Un2 = c2（n） 当n = 1时，U12服从1个自由度的c2分布。c2分布统计量具有可加性。 设 (x1，x2，xn) 是取自正态总体x (m , s 2 ) 的样本。则 c2（n）证：因xi N (m , s 2)，所以 N(0, 1)，则= c2（n） 设 (x1，x2，xn) 是取自正态总体x (m , s 2 ) 的样本。则W = = c2（n-1）证：因为=+=2+2 =2 + n 2所以=+=+移项整理 = -因为 c2（n）， c2（1），且与相互独立，所以由c2分布的可加性， = c2（n- 1） (3) 统计量t = 的抽样分布 若 x N(0, 1)，y c2(n) 且相互独立，则称 t（n） 设 (x1，x2，xn) 是取自正态总体x (m , s 2 ) 的样本。试证 t（n）证：因为 N(0, 1)， c2(n)，所以 = t（n） 设 (x1，x2，xn) 是取自正态总体x (m , s 2 ) 的样本。则 t = t（n-1）证：因 x (m , s 2 )，所以 N (m ), N(0, 1)。又因 c2（n- 1），且与相互独立，所以 = t（n-1） 设 (x1，x2，xn) 和（y1，y2， yn）是分别取自总体x N(m1 , s 2 )，y N(m2 , s 2 ) 的样本且相互独立，则 t（n1+ n 2 2）其中S 1，S 2 分别是这两个样本的样本方差。证： 把 (-) 看作一个随机变量，则 E(-) = E() - E() = m1 - m2Var (-) = Var () + Var() =+所以- N(m1 - m2，+)， U = N(0, 1)由给定条件知 c2（n1-1）， c2（n2-1）且相互独立，由c2分布的可加性，有 V = + c2（n1+ n2 2）按t分布定义， = = t（n1+ n2 2） (4) 统计量F的抽样分布 若 x c2（n1），y c2（n2）, 且x与y相互独立，则 F = 设 (x1, x2, , xn), (y1, y2, , yn) 分别是取自N(m1, s12), N(m2, s22) 总体的独立样本。 F(n1, n2) 证：由上知 c2（n1）, c2（n2），所以 = 设(x1，x2，xn) 和 (y1，y2， yn) 分别取自两个相互独立的正态总体N(m1, s12)，N(m2, s2 2) 的样本，则 F = 其中 S21 ，S22 分别是两个样本的样本方差。 证： c2（n1-1）， c2（n2-1）则 = = F 证明：(f1, f2) = 证： P(f1, f2) Fa/2 (f1, f2)= 1- a P (f1, f2) = , P= 因 F(f2, f1) , = Fa/2 (f2, f1)所以 F1- a/2 (f1, f2) = (5) 样本比率的抽样分布设容量为N的总体中，具有某种性质的元素数为X个，则关于具有这种性质的元素数的总体比率是 p = 若从该总体中抽取容量为n的样本，具有该种性质的元素数为x，则关于该种元素的样本比率是=若采用重复抽样方式，设x = x1 + x 2 + x n为n个Bernouli变量之和，则 x B(n, p)，x = 0, 1, 2, , n，（服从二项分布）。x的概率分布是p(x) = Cnx p x (1- p) n x, x = 0, 1, 2, , n因为和x只差一个常数，所以也服从二项分布。= B(n, p), (= 0, , , , 1) p() =, = 0, , , , 1已知： E(x) = n p Var(x) = n p (1