山东省齐河县高考数学三轮冲刺 专题 几何概型练习（含解析）.doc

几何概型一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A. 710 B. 58 C. 38 D. 310（正确答案）B 【分析】本题考查概率的计算，考查几何概型，考查学生的计算能力，比较基础求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率【解答】解：红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为2540=58故选B2. 在区间-1,4上随机选取一个数x，则x1的概率为( )A. 25 B. 35 C. 15 D. 23（正确答案）A解：在区间-1,4上随机选取一个数x，x1的概率P=1-(-1)4-(-1)=25，故选：A根据几何概型的概率公式进行求解即可本题主要考查概率的计算，根据几何概型的概率公式转化为求对应长度之比是解决本题的关键3. 已知函数f(x)=-x2+2x+3，若在区间-4,4上取一个随机数x0，则f(x0)0的概率是 ( )A. 34 B. 58 C. 12 D. 38（正确答案）C令-x2+2x+3=0可得x=-1或x=3，则x0-4，-1或x03，4时，f(x0)0所求概率为38+18=124. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则( )A. p1=p2 B. p1=p3 C. p2=p3 D. p1=p2+p3（正确答案）A解：如图：设BC=a，AB=c，AC=b，a2=b2+c2，S=124bc=2bc，S=12a2-2bc，S=12c2+12b2-S=12c2+12b2-12a2+2bc=2bc，S=S，P1=P2，故选：A如图：设BC=a，AB=c，AC=b，分别求出，所对应的面积，即可得到答案本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题5. 如图所示，在ABC内随机选取一点P，则PBC的面积不超过ABC面积一半的概率是( )A. 12B. 14C. 13D. 34（正确答案）D解：记事件A=PBC的面积不超过S2， 基本事件空间是三角形ABC的面积，(如图) 事件A的几何度量为图中阴影部分的面积(DE是三角形的中位线)，因为阴影部分的面积是整个三角形面积的34，所以P(A)=34，故选：D 先分析题目求在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积不超过S2的概率，即可考虑画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么.再根据几何关系求解出它们的比例即可本题主要考查了几何概型.由这个题目可以看出，解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积，同学们需要注意6. 已知菱形ABCD的边长为4，ABC=6，若在菱形内取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为( )A. 4 B. 1-4 C. 8 D. 1-8（正确答案）D解：分别以A，B，C，D为圆心，1为半径的圆，则所以概率对应的面积为阴影部分，则四个圆在菱形内的扇形夹角之和为2，则对应的四个扇形之和的面积为一个整圆的面积S=12=，S菱形ABCD=ABBCsin6=4412=8，S阴影=S菱形ABCD-S空白=8-12=8-因此，该点到四个顶点的距离大于1的概率P=S阴影S菱形=8-8=1-8，故选：D根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积进行求解即可本题主要考查几何概型的概率的计算，根据对应分别求出对应区域的面积是解决本题的关键7. 甲、乙两位同学约定周日早上8：00-8：30在学校门口见面，已知他们到达学校的时间是随机的，则甲要等乙至少10分钟才能见面的概率为( )A. 23 B. 13 C. 29 D. 79（正确答案）C解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是=(x,y)|0x30，0y30 事件对应的集合表示的面积是s=900，满足条件的事件是A=(x,y)|0x30，0y30，y-x10，事件对应的集合表示的面积是122020=200，根据几何概型概率公式得到P=29故选C由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是=(x,y)|0x30，0y30，做出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A=(x,y)|0x30，0y30，y-x10，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件所对应的区域求出，根据集合对应的图形面积，用面积的比值得到结果8. 在区间0,2上随机取一个实数x，若事件“3x-m0”发生的概率为16，则实数m=( )A. 1 B. 12 C. 13 D. 16（正确答案）A解：解不等式3x-m0，可得xm3，以长度为测度，则区间长度为m3，又在区间0,2上，区间长度为2，在区间0,2上随机取一个实数x，若事件“3x-m0”发生的概率为16，可得：m32=16，则m=1故选：A解不等式3x-m0，可得x0时的概率( )A. 132 B. 932 C. 3132 D. 2332（正确答案）B【分析】本题主要考查几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个.本题利用几何概型求解即可.在a-o-b坐标系中，画出f(1)0对应的区域，和a、b都是在区间0,4内表示的区域，计算它们的比值即得【解答】解：f(1)=-1+a-b0，即a-b1，如图，A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，SABC=92，P=9244=932，故选B11. 如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A. 14B. 12C. 8D. 4（正确答案）C解：设正方形边长为2，则正方形面积为4，正方形内切圆中的黑色部分的面积S=1212=2在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是P=24=8故选：C设出正方形边长，求出正方形面积，再求出正方形内切圆中的黑色部分的面积，由面积比得答案本题考查几何概型，关键是明确测度比为面积比，是基础题12. 在区间0,2上随机取一个实数x，则事件“3x-10”发生的概率为( )A. 12 B. 13 C. 14 D. 16（正确答案）D解：由几何概型可知，事件“3x-10”可得x13，在区间0,2上随机取一个实数x，则事件“3x-10”发生的概率为：P(3x-10，b0时，方程有实根的充要条件为ab (1)由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)(3,0)(3,1)(3,2) 其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P=912=34 (2)由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为(a,b)|0a3，0b2 满足条件的构成事件A的区域为(a,b)|0a3，0b2，ab 所求的概率是32-122232=23首先分析一元二次方程有实根的条件，得到ab (1)本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率(2)本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为(a,b)|0a3，0b2，满足条件的构成事件A的区域为(a,b)|0a3，0b2，ab，根据概率等于面积之比，得到概率本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点18. 如图，扇形AOB的圆心角为90，点P在弦AB上，且OP=2AP，延长OP交弧AB于点C，现向该扇形内随机投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为_（正确答案）13解：设AP=x，OP=2x，由正弦定理可求得， sinAOP=APsinOAPOP=2222=12，所以POA=30，所以扇形AOC的面积为1314OA2，扇形AOB的面积为14OA2，从而所求概率为1314OA214OA2=13故答案为：13求出扇形AOC的面积，扇形AOB的面积，从而得到所求概率本题主要考查几何概型，正确求出扇形的面积是关键19. 某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分别记作，项目学员编号(1)TTT(2)TTT(3)TTTT(4)TTT(5)TTTT(6)TTT(7)TTTT(8)TTTTT(9)TTT(10)TTTTT 注“T”表示合格，空白表示不合格(1)某教练将所带10名学员的“科二”模拟考试成绩进行统计(如表所示)，并打算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测(只测不合格的项目)，求补测项目种类不超过3项的概率；(2)如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向90，在汽车边缘不压射线AC与射线BD的前提下，将汽车驶入指定的停车位.根据经验，学员甲转向90后可使车尾边缘完全落在线段CD上，且位于CD内各处的机会相等.若CA=BD=0.3m，AB=2.4m，汽车宽度为1.8m，求学员甲能按教练要求完成任务的概率（正确答案）解：(1)由题意得共有5名学员(1)，(2)，(4)，(6)，(9)恰有2两项成绩不合格，从中任意抽取2人进行补测，共有10种情况：学员编号补测项目项数(1)(2)3(1)(4)4(1)(6)3(1)(9)3(2)(4)3(2)(6)4(2)(9)3(4)(6)3(4)(9