空间解析几何 习题课.ppt

,习题课,一、内容小结,二、实例分析,机动目录上页下页返回结束,空间解析几何,第八章,一、内容小结,空间平面,一般式,点法式,截距式,三点式,1.空间直线与平面的方程,机动目录上页下页返回结束,为直线的方向向量.,空间直线,一般式,对称式,参数式,为直线上一点;,机动目录上页下页返回结束,面与面的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,2.线面之间的相互关系,机动目录上页下页返回结束,直线,线与线的关系,直线,垂直:,平行:,夹角公式:,机动目录上页下页返回结束,平面:,垂直：,平行：,夹角公式：,面与线间的关系,直线:,机动目录上页下页返回结束,3.相关的几个问题,(1)过直线,的平面束,方程,机动目录上页下页返回结束,(2)点,的距离为,到平面：Ax+By+Cz+D=0,机动目录上页下页返回结束,二、实例分析,例1.求与两平面x4z=3和2xy5z=1的交线,提示:所求直线的方向向量可取为,利用点向式可得方程,平行,且过点(3,2,5)的直线方程.,机动目录上页下页返回结束,例2.求直线,与平面,的交点.,提示:化直线方程为参数方程,代入平面方程得,从而确定交点为（1，2，2）.,机动目录上页下页返回结束,例3.求过点(2,1,3)且与直线,垂直相交的直线方程.,提示:先求二直线交点P.,化已知直线方程为参数方程,代入式,可得交点,最后利用两点式得所求直线方程,的平面的法向量为,故其方程为,过已知点且垂直于已知直线,机动目录上页下页返回结束,例5.设一平面平行于已知直线,且垂直于已知平面,求该平面法线的,的方向余弦.,提示:,已知平面的法向量,求出已知直线的方向向量,取所求平面的法向量,机动目录上页下页返回结束,所求为,思路:先求交点,例7.求过点,且与两直线,都相交的直线L.,提示:,的方程化为参数方程,设L与它们的交点分别为,再写直线方程.,机动目录上页下页返回结束,三点共线,机动目录上页下页返回结束,第九章,习题课,机动目录上页下页返回结束,一、基本概念,二、多元函数微分法,三、多元函数微分法的应用,多元函数微分法,一、基本概念,连续性,偏导数存在,方向导数存在,可微性,1.多元函数的定义、极限、连续,定义域及对应规律,判断极限不存在及求极限的方法,函数的连续性及其性质,2.几个基本概念的关系,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,机动目录上页下页返回结束,1.讨论二重极限,解法1,解法2令,解法3令,时,下列算法是否正确?,分析:,解法1,解法2令,机动目录上页下页返回结束,此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.,此时极限为1.,第二步,未考虑分母变化的所有情况,解法3令,机动目录上页下页返回结束,此法忽略了的任意性,极限不存在!,由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证,自变量在定义域内以任意方式趋于原点.,特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内r,的变化应该是任意的.,同时还可看到,本题极限实际上不存在.,提示:利用,故f在(0,0)连续;,知,在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.,2.证明:,机动目录上页下页返回结束,而,所以f在点(0,0)不可微!,机动目录上页下页返回结束,例1.已知,求出的表达式.,解法1令,即,解法2,以下与解法1相同.,则,且,机动目录上页下页返回结束,二、多元函数微分法,显式结构,隐式结构,1.分析复合结构,(画变量关系图),自变量个数=变量总个数方程总个数,自变量与因变量由所求对象判定,2.正确使用求导法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,注意正确使用求导符号,3.利用一阶微分形式不变性,机动目录上页下页返回结束,例2.设,其中f与F分别具,解法1方程两边对x求导,得,有一阶导数或偏导数,求,机动目录上页下页返回结束,解法2,方程两边求微分,得,化简,消去即可得,机动目录上页下页返回结束,例3.设,有二阶连续偏导数,且,求,解:,机动目录上页下页返回结束,练习题,1.设函数f二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数,2.同济(下)P131题12,机动目录上页下页返回结束,解答提示:,第1题,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,P131题12设,求,提示:,机动目录上页下页返回结束,利用行列式解出du,dv：,机动目录上页下页返回结束,代入即得,代入即得,有连续的一阶偏导数,及,分别由下两式确定,求,又函数,答案:,(2001考研）,机动目录上页下页返回结束,3.设,三、多元函数微分法的应用,1.在几何中的应用,求曲线在切线及法平面,(关键:抓住切向量),求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量),2.极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法),求解最值问题,机动目录上页下页返回结束,例4.在第一卦限作椭球面,的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,并求切点.,解:设,切点为,则切平面的法向量为,即,切平面方程,机动目录上页下页返回结束,问题归结为求,在条件,下的条件极值问题.,设拉格朗日函数,机动目录上页下页返回结束,切平面在三坐标轴上的截距为,令,由实际意义可知,为所求切点.,机动目录上页下页返回结束,唯一驻点,例5.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解：,设,为抛物面,上任一点，,则P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,机动目录上页下页返回结束,到平面,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在,故,机动目录上页下页返回结束,上求一点,使该点处的法线垂直于,练习题：,1.在曲面,并写出该法线方程.,提示:设所求点为,则法线方程为,利用,得,平面,法线垂直于平面,点在曲面上,机动目录上页下页返回结束,2.在第一卦限内作椭球面,的切平面,使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.,提示:设切点为,用拉格朗日乘数法可求出,则切平面为,所指四面体围体积,V最小等价于f(x,y,z)=xyz最大,故取拉格朗日函数,例4目录上页下页返回结束,(见例4),习题课,一、重积分计算的基本方法,二、重积分计算的基本技巧,三、重积分的应用,机动目录上页下页返回结束,重积分的计算及应用,一、重积分计算的基本方法,1.选择合适的坐标系,使积分域多为坐标面(线)围成;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,2.选择易计算的积分序,积分域分块要少,累次积分易算为妙.,图示法,列不等式法,(从内到外:面、线、点),3.掌握确定积分限的方法,累次积分法,机动目录上页下页返回结束,计算二重积分,其中D为圆周,所围成的闭区域.,提示:利用极坐标,原式,机动目录上页下页返回结束,把积分,化为三次积分,其中由曲面,提示:积分域为,原式,及平面,所围成的闭区域.,机动目录上页下页返回结束,计算积分,其中是两个球,(R0)的公共部分.,提示:由于被积函数缺x,y,原式=,利用“先二后一”计算方便.,机动目录上页下页返回结束,计算三重积分,其中是由,xoy平面上曲线,所围成的闭区域.,提示:利用柱坐标,原式,绕x轴旋转而成的曲面与平面,机动目录上页下页返回结束,二、重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1.交换积分顺序的方法,2.利用对称性或重心公式简化计算,3.消去被积函数绝对值符号,4.利用重积分换元公式,机动目录上页下页返回结束,证明:,提示:左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.,机动目录上页下页返回结束,在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上,要接上一,个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个,的另一边长度应为多少?,提示:建立坐标系如图.,由于,由此解得,问接上去的均匀矩形薄片,即有：,薄片的重心恰好落在圆心上,机动目录上页下页返回结束,计算二重积分,其中:,(1)D为圆域,(2)D由直线,解:(1)利用对称性.,围成.,机动目录上页下页返回结束,(2)积分域如图:,将D分为,添加辅助线,利用对称性,得,机动目录上页下页返回结束,习题课,一、曲线积分的计算法,二、曲面积分的计算法,机动目录上页下页返回结束,线面积分的计算,第十一章,一、曲线积分的计算法,1.基本方法,曲线积分,第一类(对弧长),第二类(对坐标),(1)统一积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2)确定积分上下限,第一类:下小上大,第二类:下始上终,机动目录上页下页返回结束,解答提示:,计算,其中L为圆周,提示:利用极坐标,原式=,说明:若用参数方程计算,则,机动目录上页下页返回结束,P2463(1),P2463(3).计算,其中L为摆线,上对应t从0到2的一段弧.,提示:,机动目录上页下页返回结束,P2463(6).计算,其中由平面y=z截球面,提示:因在上有,故,原式=,从z轴正向看沿逆时针方向.,机动目录上页下页返回结束,(1)利用对称性及重心公式简化计算;,(2)利用积分与路径无关的等价条件;,(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);,(4)利用斯托克斯公式;,(5)利用两类曲线积分的联系公式.,2.基本技巧,机动目录上页下页返回结束,例1.计算,其中为曲线,解:利用轮换对称性,有,利用重心公式知,(的重心在原点),机动目录上页下页返回结束,例2.计算,其中L是沿逆,时针方向以原点为中心,解法1令,则,这说明积分与路径无关,故,a为半径的上半圆周.,机动目录上页下页返回结束,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),思考:,(2)若L同例2,如何计算下述积分:,(1)若L改为顺时针方向,如何计算下述积分:,则,添加辅助线段,机动目录上页下页返回结束,思考题解答:,(1),(2),机动目录上页下页返回结束,计算,其中L为上半圆周,提示:,沿逆时针方向.,练习题:P246题3(5);P247题6;10,3(5).,机动目录上页下页返回结束,P2476.,设在右半平面x0内,力,构成力场,其中k为常数,证明在此力场中,场力所作的功与所取的路径无关.,提示:,令,易证,机动目录上页下页返回结束,P24710.,求力,沿有向闭曲线所作的,功,其中为平面x+y+z=1被三个坐标面所截成三,提示:,方法1,从z轴正向看去沿顺时针方向.,利用对称性,角形的整个边界,机动目录上页下页返回结束,设三角形区域为,方向向上,则,方法2,利用斯托克斯公式,机动目录上页下页返回结束,二、曲面积分的计算法,1.基本方法,曲面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),二重积分,(1)统一积分变量代入曲面方程,(2)积分元素投影,第一类:始终非负,第二类:有向投影,(3)确定二重积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,机动目录上页下页返回结束,思考题,1)二重积分是哪一类积分?,答:第一类曲面积分的特例.,2)设曲面,问下列等式是否成立?,不对!对坐标的积分与的侧有关,机动目录上页下页返回结束,2.基本技巧,(1)利用对称性及重心公式简化计算,(2)利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(辅助面一般取平行坐标面的平面),(3)两类曲面积分的转化,机动目录上页下页返回结束,练习:,P247题4(3),其中为半球面,的上侧.,且取下侧,提示:以半球底面,原式=,P247题4(2),P247题9同样可利用高斯公式计算.,记半球域为,高斯公式有,计算,为辅助面,利用,机动目录上页下页返回结束,例4.计算曲面积分,其中,解:,思考:本题改为椭球面,时,应如何,计算?,提示:,在椭球面内作辅助小球面,内侧,然后用高斯公式.,机动目录上页下页返回结束,例5.设是曲面,解:取足够小的正数,作曲面,取下侧,使其包在内,为xoy平面上夹于,之间的部分,且取下侧,取上侧,计算,则,机动目录上页下页返回结束,第二项添加辅助面,再用高斯公式计算,得,机动目录上页下页返回结束,例6.计算曲面积分,中是球面,解:,用重心公式,机动目录上页下页返回结束,习题课,级数的收敛、求和与展开,机动目录上页下页返回结束,三、幂级数和函数的求法,四、函数的幂级数和傅氏级数展开法,一、数项级数的审敛法,二、求幂级数收敛域的方法,第十二章,(在收敛域内进行),基本问题：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,为傅立叶级数.,为傅氏系数)时,时为数项级数;,时为幂级数;,机动目录上页下页返回结束,一、数项级数的审敛法,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.正项级数审敛法,必要条件,发散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收敛,发散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动目录上页下页返回结束,3.任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:若,且,则交错级数,收敛,概念:,且余项,机动目录上页下页返回结束,例1.若级数,均收敛,且,证明级数,收敛.,证:,则由题设,收敛,收敛,收敛,机动目录上页下页返回结束,解答提示:,P323题2.判别下列级数的敛散性:,提示:(1),据比较判别法,原级数发散.,因调和级数发散,机动目录上页下页返回结束,利用比值判别法,可知原级数发散.,用比值法,可判断级数,因n充分大时,原级数发散.,用比值判别法可知:,时收敛;,时,与p级数比较可知,时收敛;,时发散.,再由比较法可知原级数收敛.,时发散.,发散,收敛,机动目录上页下页返回结束,P323题3.设正项级数,和,也收敛.,提示:因,存在N0,又因,利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.,都收敛,证明级数,当nN时,机动目录上页下页返回结束,P323题4.设级数,收敛,且,是否也收敛？说明理由.,但对任意项级数却不一定收敛.,问级数,提示:对正项级数,由比较判别法可知,级数,收敛,收敛,级数,发散.,例如,取,机动目录上页下页返回结束,P323题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:,提示:(1),P1时,绝对收敛;,0p1时,条件收敛;,p0时,发散.,(2)因各项取绝对值后所得强级数,原级数绝对收敛.,故,机动目录上页下页返回结束,因,单调递减,且,但,所以原级数仅条件收敛.,由Leibniz判别法知级数收敛;,机动目录上页下页返回结束,因,所以原级数绝对收敛.,机动目录上页下页返回结束,二、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数:先求收敛半径R,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性.,P323题7.求下列级数的敛散区间:,练习:,机动目录上页下页返回结束,解:,当,因此级数在端点发散,时,时原级数收敛.,故收敛区间为,机动目录上页下页返回结束,解:因,故收敛区间为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,机动目录上页下页返回结束,例2.,解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在,原级数=,其收敛半径,注意: