角谱法分析高斯光.doc

矢量高斯光束传播分析和近轴球面近似有效性卡尔G.陈，保罗T.康科拉，胡安费雷拉，拉尔夫K.海尔曼，和Mark L.影子城堡麻省理工大学，剑桥，马萨诸塞州02139收稿2001年3月5日;五月接受24，2001;修改稿收到2001年6月20日 许多系统在光通信和测量利用高斯光束，如从单模光纤点衍射干涉自由空间传播和干涉光刻的分析，将受益于高斯光束传输的精确分析模型. 我们提出了高斯光束传播通过使用平面波的角谱的众所周知的方法的完整矢量分析。高斯光束假定遍历一个自由，均匀，各向同性的线性非磁性电介质。角谱表示在其载体形式，被施加到一个问题高斯光强的边界条件。经过一些数学运算，每个非零传播 电场分量被表示为一个幂级数展开项。先前导出的分析工作幂级数的横向场，其中第一项（零阶）中的膨胀对应于通常的标量傍轴近似。我们确认这个结果，并得出相应的纵向幂系列。我们证明了领先的纵向期限相当于其数值第一学期横 标量傍轴术语以上，从而表明当超越了一个完整的矢量理论需要 标量傍轴近似。尽管一个紧凑的分析形式主义的优点，从而实现快速 和高斯光束系统的精确建模，这种方法有一个显着的缺点。高阶条件在分歧是从最初的边界足够远的位置，产生非物理结果。因此，任何有意义的使用扩展方法的要求进行了认真研究适用性的范围。通过考虑到从傍轴高斯波球方法的过渡，我们能够得出一个简单的表达式在其中产生一系列数值令人满意的答案的范围。2002 美国光学学会OCIS代码：0260.2110，000.4430，350.55001.引言 由于其简洁的物理直观表示， 角谱表示法已经被用来解决多种问题包括传播的问题和高斯波的反射。它的理论基础已经有大量的作者证明非常稳固。一般使用它的标量形式来表示在近轴结合以及传播领域的计算 【1-3】 。虽然研究人员如阿格拉瓦尔和Pattanayak【4】已延长到解决方案傍轴结果，他们解决问题的方法仍然是标量的性质。但是在延长标量上有一些额外的数学困难难以解决，所以使用矢量形式计算相对简单。从全矢量描述工作 平面波的角谱中，我们采用与阿格拉瓦尔和Pattanayak基本相同的计划。首先，一个特定的边界与高斯光强分布的场分布，提出了消除一两个横向电场分量，例如y分量。然后，我们可以精确的计算对于任何空间位移r上传播矢量场解 。阿格拉瓦尔和Pattanayak对横向x分量进行了研究。结果表示在此条件下的幂级数展开具有良好的扩展参数。在扩展相对应的第一项通常表示轴向平行的结果，而更高阶的条件代表非高斯修正。本文着重于导出为纵类似扩张z分量，与扩展的首项对应于所述第一非基波厄米高斯（HG）模式。这两个系列的形式满足那些通过各条款之间的不严的推测【5】。这种分析方法的主要优点，除了提供直观的物理模型，同时它大大简化了经常冗长的数值计算。这种扩展方法相关的限制是的当距离远离初始边界平面时高阶项迅速发散。为了量化适用于该级数的范围内，我们介绍两种方案，经常用一个近似标量来表示高斯光束的近轴近似，适用于描述波的近轴传输和近似球面传输，在径向距离远远大于一个波长是有效的。通过研究这两个近似值之间的相位差，我们能够推导得出过渡的量化方法表达近轴的球面。结果表明，超过这个过渡平面，高阶包含在上述的一系列条件变得越来越不同的距离，从而产生了非物理结果。要解析研究光束的行为在这里，须使用替代方法如固定相法。【6】 这项工作有希望了解标量和矢量高斯的理论方面光束传播，这是非常重要，并成功的实现了我们的扫描光束干涉光刻系统。【7】 精确的高斯传播波的表征对于理解构建精细计量仪器也是至关重要的。【8-9】2. 矢量高斯光束 在他的经典论文，罗德【10-11】得到了全矢量场的角谱表示。重复卡特我们用更直观的符号写出了罗德的结果，正好与使用阿格拉瓦尔和Pattanayak【4】的类似：，（1），（2），（3）方程（1）-（3）组合起来表达了矢量波动方程（4）在Z0时，谐波场的表达式为，（5）波矢幅度。物理上，三个电场分量是在平面波在各个方向，其移动的幅值是由复合因素与决定。虚值M表示存在的消逝波，而自由波的传播方向沿xy平面且沿正Z方向呈指数衰减。方程（1） - （3）演示了一个简单物理原理：电场满足波动方程可以表示为两个标量函数至多计算和。找到这些标量函数，它说明两个横向场分量和在一个边界平面。我们选择的边界条件演变为阿格拉瓦尔和Pattanayak的边界条件。具体来说，我们采用的初始高斯光强分布 分量：，（6）其中为波束宽度的量度。对于y分量，我们有，（7）由傅立叶逆变化。 将方程（1）和（2）中，代入方程（6）和（7）中，计算得知：，（8），（9）其中，与光束的波长与束腰宽度之比成正比。 结合方程（2）到（9）可知。选择边界平面为确保消逝波的分量一直贯穿的空间。我们现在只需考虑和分量。将和代入方程（8）到（9）中，横向分量和纵向分量的组合是电场中两个二重积分的代表。由于圆柱形对称，二重积分可以简化为一重积分：，（10），（11）其中，和，分别是0和1阶贝塞尔函数。在平面上当时，是复杂的且被积函数呈指数衰减，成为小到可以忽略。因此，第一个步骤从到1以评估方程（10）到（11）解析通过下降消逝场成分：，（12），（13）实际上，我们最常想知道是光束波长特征数是不是随着与光束束腰的距离变化而变化。在该距离，近似方程（12）和（13）是对于所有的实际目的一样准确结果。3. 幂级数展开 阿格拉瓦尔和Pattanayak【4】对方程（12）进行积分，方程（13）的积分是本文的研究对象，虽然有时候，我们必须建立新的工具来解决这个看似不同的问题，我们的方法与阿格拉瓦尔，Pattanayak的非常类似。 对进行与方程（13）进行相同的扩展当时是有效的：，（14），（15）是第一类的Hankel函数【12】。（注意关键因子m！，这是在阿格拉瓦尔和Pattanayak的可能因为缺失纸张打字错误。） 将方程（14）代入方程（13），我们可以自由切换积分的顺序，因为积分在收敛半径内是连续的。然后，我们得到：，（16），（17）对方程（17）的结果进行分析是困难的。我们选择对于第一次展开积函数进行替代。对于时，函数有一个展开收敛：，（18）直接替换有：，（19），（20），（21）等。虽然积分转化看似更容易处理但他们的结果仍然棘手，直到我们注意这为小 值，即或，该积分的值延伸到将积分的上限。换句话说，从1到该积分作出的贡献变得越来越小当下降时，然后计算积分：，（22），（23）等，是相关的拉盖尔多项式。 现在，它已经定性合理的，方程（16）可以表示为一个幂级数展开，将作为扩展参数。进行定量推导，将方程（19）代入方程（16），然后定义：，（24），（25），（26）等。 第一，将方程（25）代入方程（15）和方程（22），经计算后得到：，（27）其中是其表征相关的纵向方向高斯光束的衍射长度,更进一步的证明了高斯光束物理性质为方程（27），我们重组其M值条件并求和，得到：，（28），（29） 同理发现：，（30） 显然和更高阶项随变化。 结合方程（24），（28），（30）可知：，（31） 对于纵向分量：，（32） 此时，方程（16）已经转化为一个powerseries扩展函数且扩展参数为。比较方程（31）与阿格拉瓦尔和Pattanayak的推导对于横向分量已进一步扩大以包括第四阶项：，（33），（34），（35），（36） 且。如可以直观地看出，该纵向分量的强度比横向分量弱得多，作为一个额外的的乘法结果系数和二次方幂的依赖于。这也是不同相的横向分量。此外，不同相的横向分量的最低阶项保持高斯光强沿z平面，纵向分量不拥有任何依赖的x特性。事实上，在纵向膨胀的首项对应到所述第一非基波HG模式，将在第4节中讨论。 术语是通常被称为傍轴结果，也被称为基本HG模式。它是传统标量高斯解。该强度具有的半径：，（37）我们参照方程（31）和（33）共同作为矢量解和式（33）单独作为标量解。有人可能会注意到，在平面未消失。这与电动力学的理论是一致的：如果两个边界场条件是已知的，则第三边界条件将是固定的。出于这个原因，不像一个标量光束，矢量光束的传播不允许在边界如同纯标量高斯光强一样规范。 4.结果讨论 我们可以明确地表明方程（29）代表第一个非基波HG模式，其中x镜面对称【3】。图1示出的曲线为。我们可以简单的归结为边界场完全没有镜面对称性。如果不是方程（6）、（7），我们已经采取了更为复杂的边界场条件，例如：，（38），（39）然后在前面的分析方法概述部分在面会导致额外的y轴镜面对称。方程（31）和（33）结合两个幂的形式提出一系列不严等的猜想【5】。两个矢量一起明确的描述了高斯光束通过空间传播。涉及多项条件的方程（31）和（33）也衍生四套微分方程（3.20），（3.19），（3.24）和（3.25），：，（40），（41），（42），（43）其中是的横向分量拉普拉斯算子。注意，通过选择定义，方程（40）到（43）中的不同是由于缺少。方程（40）是著名的近轴方程【3】。其解是近轴的结果，它描述了基本HG模式。而代表第一个非基波HG模式，更高对应于矢量非高斯更正近轴光学系统。它可以快速地验证了我们的方程（29），（32），（34）和（35）满足上述四个微分方程。因此，到目前为止所采用的数学方法是可信的。注意，图1是关于曲线的直角坐标系，其中，。代表第一个非基波厄米 - 高斯模式。注意镜面对称两个波峰绕x轴的。图1 图2，当，（）时积分之比为与之比。边缘附近误差1。插图显示了标量强度，采样区间为在到。 图2图3，当，（）时积分之比为与之比。边缘附近误差大于40。插图显示了标量强度，采样区间为在到。方程（12）和（13）也可以进行数值计算，从而得到以更精确的解。作为一个例子，该矢量场强度之比到其对应的标量绘于图2和图3的具体参数集。在非常小的情况下，前两种在的扩展以及近似计算得到确切的积分结果（10），同理得到的积分结果。因此，该图已经产生只用这四个条件。注意，在图2，其中，计算表示该区域边缘之间标量和矢量强度的误差为1，而在图3，其中时，显示有40的误差。这说明条件为减小时高阶高斯数量级总的趋势在减少。5. 适用范围 聪明的读者可能想知道为什么图2和图3中，我们选择传播距离如此接近的边界平面。图4给出了当，（）时标量场强度的曲线图在距离。实线表示 即，这是由于在第一期的光强方程（33），点状曲线表示，虚线曲线表示。这种趋势清楚地表明在这个z平面上，高阶扩展在条件（33）下变得越来越发散。继之前的方程（22），我们猜测的行为来自的互换求和。在方程（31）中也观察到类似的纵向分歧分量。因此级数展开的方法在其截短形式至少有在z方向上限定范围的适用性。该方法提供了明智的更正近轴光学结果但除此之外，它给人不切实际的结果，如图4清楚地表明了。为了量化这一范围，我们首先考虑一个标量高斯波的演变【方程（10）到方程（33）】从近轴到球面体系。最关键的是要认识到超过某些过渡点，近轴光学系统将不再适合描述波的传输。因此，级数展开，可提供高阶更正近轴结果，将相应的分解。 图5示出在使用的坐标的示意图指出了，当足够小的时候，非常接近于z轴。在此近轴条件下，方程（33）中的第一项即方程（34），给出了标量高斯光束的准确描述。近轴相是 图4，当，（），实线代表，点状曲线代表，虚线代表。图5，示意图显示了使用各种坐标对应在推导适用性的级数展开式的范围。超过该范围，近轴光学失效，并且级数展开的方法也将失效。图6，当，。a数值表示得到的标量场强。b细实，虚线，虚线和粗实曲线分别表示从数值强度的差异由，和球面效果，结果标准化为。c 该细实，虚线，虚线和粗实曲线代表误差分别从由数值相，和球面效果。，（44）另一方面，对扩大使，是球面半径，卡特通过 固定相装置的方法证明，方程（10）可以近似为：，（45）因此，光束带有球面相位差：，（46）且它们之间的相位差为：，（47）从近轴的球面体系最小化发现当时与相关的，服从：，（48）直观地说，方程（48）很有意义的。当z减少时，在xy平面区域内近轴体系应纳入更大的圆形。 现在，使。使，的光束半径趋近。由于整个 光束局限在，近轴体系更具有领域特性。当远离，减小到0如同，趋近。其中球面体系存在时光束完全落在为范围之外。故，找到边界标志着过渡一种体系给对方，等同与到光束半径，或者：，（49） 在的极限情况下求解，得到：，（50）图7. ，其他条件与图6相同图8. ，其他条件与图6相同这表明的扩展是的三次方。换句话说，来自近轴的球面体系较小的会变化更快。物理学上，高斯光束有一个很小的初始半径将发散非常快。它的相位波前开始于很短的距离范围。如图2图3所示我们选择，在图2中，在图3中。除了这些值，近轴光学迅速发生故障，使得一系列的扩展方法变得无效。方程（50）的有效性进行了定量证明图6到图8.在图6中数值积分标量高斯场（10）执行了条件为，的计算， 准确得到的场的幅度和相位信息。扩展方程（33）前三个条件中的幅值和相位，然后，按顺序计算。从数值结果的绘制偏差。在球面的幅度和相位偏差近似也显示。正如所料，对于光束半径，结果清楚地表明，该旁轴体系主导并列入高阶的条件下提供更加准确的近似值。然而，光束半径之外，用近似球面方法计算是一个更好的选择。图7和图8具有在相同的但的值不同分别为，。当时，通过曲线趋势清楚地表明了对该系列扩展方法的有效性的怀疑。如果一系列均表现很好，我们预计高阶条件下数值结果会均匀地收敛。然而，在图所示。图8（b）所示，第二阶项的发散行为是显而易见的当。当时，更高阶项发散只会变得更明显因此，超出通过标定的适用范围，我们的幂级数方法是不可靠的且不应该被采用。近似球面方程（45），另一方面，随着的增大结果变得越来越准确。注意方程（45）通过固定相和对应的第一方法在的渐近展开式实现。因此，在一般情况下，如果试图描述以外的场，可用其他分析方法如渐近近似。6. 矢量更正 在使用级数展开方法计算适用范围时，我们认为只有横向分量 的电场，即方程（33）。既然我们的目标是探讨矢量高斯光束传播，它对探讨纵向分量贡献组成也是必不可少的。 我们知道，从第3节，在首项纵向扩展，方程（31）中的是明显比小的，这就解释了为什么高斯光束传统上所表达的标量近轴近似。学习矢量修正，我们必须比较与中，nexthigher-阶项的横向扩展。 如该图1所示。因为一个给定的是不对称的，所以场强：，（51） 发生在极大值在两个镜面相对的位置和。通过最大化中的，我们获得相应的最大光强：，（52）此时：，（53） 方程（52）和（53）表明，该强度的位置与光束束腰最大不谋而合和最大强度径通过因素。此外，是关于的单调递减函数，有最大值当时。在的过渡范围内，假设及有：，（54） 同样，通过计算数学计算机辅助表明强度：，（55） 有最大值：，（56） 当 ：，（57） 当时，我们发现是有限的且为0，当时，方程（54），（56）证明这些是具有可信度的。因此任何矢量的修正研究中必须包含想要超越的标量傍轴近似。7，结论 首先提出了角谱分析研究矢量高斯光束的传播。从一个特定的边界条件开始，高斯光束的传播沿轴正方向，并获得了横向和纵向场的幂级数展开式的表达式。通常的近轴结果表示在横向场在扩展中是主要成分，而在纵向扩展的最重要的项表示第一非基波厄米 - 高斯模式。更高阶的时候，在其横向与纵向方向，代表近轴光学系统非高斯更正。一般情况下，横向和纵向的高阶计算结果随着扩张参数增加。最后，只在内级数展开是准确的。在时研究解析光束，必须寻求其他方法，如固定相的方法。致谢 这项工作是由美国国防高级研究计划局授DAAG55-98-1-0130和美国国家航空和航天局的支持授予NAG5-5271。地址通讯：卡尔G。陈在标题页所述位置或通过e-mail 。 参考文献 1，H. 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