考研数学高数真题分类—多元函数积分学.docx

点这里，看更多数学资料一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-多元函数积分学知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。多元函数积分学综述：多元函数积分学是对一元函数的不定积分与定积分相关知识的推广，主要涉及重积分和曲线、曲面积分的计算与应用.本章在考研数学数学一的考试中所占的比重非常大，一般来说，每次考试平均会出两道大题、一道小题，所占分值在24分左右.本章的主要知识点有：各种积分（二重积分、三重积分，对弧长的曲线积分，对坐标的曲线积分，对面积的曲面积分，对坐标的曲面积分）的定义与性质，各种积分的基本计算方法，联系各种积分的公式（格林公式，高斯公式，斯托克斯公式），以及场论的一些初级的知识.考生复习的时候要注意：1.定积分是所有积分的基础，计算其它积分本质上也是在计算定积分，而所有积分定义本质上也都是和定积分一致的.2.具体地来说，计算二重积分等价于计算两次定积分，计算三重积分等价于计算三次定积分.对于重积分，考生主要要掌握各种坐标的定限方法和适用范围.3.而对弧长和对坐标的曲线积分的计算本质上也都是定积分的计算.其中，考试对对弧长的曲线积分要求较低，只需掌握计算公式即可.而对对坐标的曲线积分，除了要掌握计算公式，还需要理解它和对弧长的曲线积分之间的关系，更重要的还需要掌握格林公式以及由它所引申出的积分与路径无关的条件以及二元函数的全微分等知识点.这是本章的第一个重点.4.然后，对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分的计算本质上是二重积分的计算.其中考试对对面积的曲面积分要求较低，掌握计算公式即可.对坐标的曲面积分这一块考点较多：首先要掌握基本的计算公式和两类曲面积分之间的关系，然后还需要重点掌握高斯公式以及斯托克斯公式的应用.这是本章的另一个重点.本章常考的题型有：1.二重积分的计算，2.三重积分的计算；3.对弧长的曲线积分的计算；4.极对坐标的曲线积分的计算，5.格林公式的应用，6.对积分与路径无关的条件的考查，7.二元函数的全微分，8.对面积的曲面积分的计算，9.对坐标的曲面积分的计算，10.高斯公式的应用，11.斯托克斯公式的应用，12.综合应用，13.场论初步.常考题型一：二重积分的定义与性质常考题型一：二重积分的性质1.【20053 4分】设, 其中，则（ ）. . . 常考题型二：二重积分的计算1交换积分次序2.【2004-1 4分】设函数连续, 区域, 则等于（ ）3.【2007-2 4分】设函数连续，则二重积分等于（ ）4.【2009-1 4分】设函数连续，则（ ）5.【2004-1 4分】设为连续函数，则等于（）6.【2001-1 3分】交换二次积分的积分次序：. 7.【20023 4分】交换积分次序：8.【20143 4分】二次积分【小结】：交换积分次序的一般步骤：根据现有的积分次序画出积分区域；选择另一种次序确定上下限、写出新的累次积分，如果有必要，可以分类讨论.2.直接利用直角坐标计算二重积分9【1999-3】设连续，且，其中是由所围成的区域，则等于 ( )(A) (B)(C) (D)10.【2003-4】设，而表示全平面，则= .11.【2005-1 9分】计算二重积分，其中.12.【2008-1 11分】求二重积分其中13.【2011-1 11分】已知函数具有二阶连续偏导数，且，其中计算二重积分14.【19983 7分】计算二重积分，其中是由直线以及曲线所围成的平面区域.15.【20013 6分】求二重积分的值，其中是由直线，围成的平面区域.16.【20063 7分】计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.17.【20123 10分】计算二重积分，其中D为由曲线与所围区域。18.【20132、3 10分】设平面内区域由直线及围成.计算.19.【2011-3 10分】设函数在有连续导数，且, ，求的表达式.3利用极坐标计算二重积分20.【2005-1 11分】设，表示不超过的最大整数. 计算二重积分21.【2006-1 10分】设区域，计算二重积分.22.【2009-1 10分】求二重积分，其中23.【19983 5分】设，求.24.【20033 8分】计算二重积分其中积分区域D=25.【20043 8分】求，其中D是由圆和所围成的平面区域(如图).26.【20122 10分】计算二重积分，其中区域D为曲线与极轴围成。27.【2000-6分】计算二重积分，其中是由曲线和直线围成的区域28.【2011-2 4分】设平面区域由直线圆及轴围成，则二重积分【小结】：1.适合用极坐标计算的二重积分的特点：积分区域为圆或部分边界为圆或为可用极坐标表示的、曲线，被积函数形如或至少含有.2. 极坐标应用步骤总结：画出积分区域，从原点发出一条射线，该射线与区域边界的两个交点分别取为的上限与下限，再以该射线与积分区域有交点的角的范围做为的上下限.3.极坐标定限方法）从原点出发画一条射线，观察这条射线与积分区域相交的部分，其中与原点距离最近的点与原点的距离即为的下限，与原点距离最远的点与原点的距离即为的上限.）使得射线与积分区域相交点的角度范围便是积分变量的上下限，即4极坐标与直角坐标的转换29.【2006-1 4分】设为连续函数，则等于（ ）30.【2008-1 4分】设函数连续，若，其中区域为图中阴影部分，则（ ）31.【20123 4分】设函数连续，则二次积分=（ ）（A）（B）（C）（D）32.【19963 3分】累次积分可以写成（ ）. . .33.【2010-2 10分】计算二重积分, 其中.34.【2014-1 4分】设是连续函数，则( )35.【2015-3 4分】设，函数在上连续，则（）36.【2015-2 4分】设是第一象限中的曲线与直线围成的平面区域，函数在上连续，则（ ）5利用对称性计算二重积分37.【2009-1 4分】如图，正方形被其对角线划分为四个区域,则（ ）38.【2005-1 4分】设区域，为上的正值连续函数，为常数，则（ ）39.【2012-2 4分】设区域D由曲线围成，则40.【1994-1 3分】设区域为，则.41.【20083 4分】设，则.42.【1995-1 5分】设函数在区间上连续，并设，求.43.【20103 10分】计算二重积分, 其中D由曲线x =与直线及所围成.44.【2002-1 7分】计算二重积分，其中.45.【2007-1 10分】设二元函数，计算二重积分，其中.46.【2013-2、3 4分】设是圆域位于第象限的部分，记，则（ ）（A）（B） （C） （D）47【2014-2、3 10分】设平面区域计算48.【2015-2 10分】计算二重积分，其中【小结】：1.灵活利用对称性可以给计算带来很大的方便.当积分区域关于轴对称，被积函数是的奇函数时，积分值为零，被积函数是的偶函数时，积分值为部分的两倍；当积分区域关于轴对称，被积函数是的奇函数时，积分值为零，被积函数是的偶函数时，积分值为部分的两倍.特别地，如果积分区域关于轴和轴都对称，而被积函数又同时是和的偶函数时，积分值等于第一象限部分的四倍.2.轮换对称性：如果将积分区域的变量交换之后的区域为，则有.该公式常用的有两种形式：一是当区域关于直线对称时，；二是当被积函数满足时，有.常考题型三：三重积分*（数一）1利用“先二后一”法计算三重积分49.【1994-1 6分】已知点和点的直角坐标分别为，线段绕轴旋转一周所成的旋转曲面为，求由及两平面所围成立体的体积50.【1997-1 5分】计算，其中为平面曲线绕轴旋转一周形成的曲面与平面所围成的区域.51.【2008-1 4分】设是由平面与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则52.【2013-1 10分】设直线L过两点，将L绕Z轴旋转一周得到曲面所围成的立体为，（1）求曲面的方程（2）求的形心坐标.【小结】：利用先二后一法计算三重积分的步骤：先做一个与轴垂直的平面，找出该平面在积分区域上的截面，再找出使得平面与积分区域相交的的范围，则积分为.2利用球面坐标计算三重积分53.【2009-1 4分】设，则.【小结】：1.需要运用球面坐标计算的积分的一般特点：区域大多为球形、锥形或球壳形，被积函数可以写为或含有较多的.2.利用球面坐标计算时，最关键的是取定和的上下限.一般可以按如下的思路进行：首先从原点发出一条射线，使该射线与积分区域相交就可以确定和的上下限，而的上下限可以根据该射线与区域的交点来确定.3.确定曲线上某一点到原点的距离的办法：将球面坐标的转换公式代入方程，将方程化为关于变量和的方程再解出.常考题型四：对弧长的曲线积分*（数一）54.【1998-1 3分】设是椭圆，其周长记为，则_.55.【2009-1 4分】已知曲线，则.【小结】：1.设曲线的参数式为，则有计算公式：2.对该公式可以结合曲线弧长计算公式来记忆，具体证明过程要了解.计算时要注意，积分上限一定要大于下限.该公式还可以推广到三维，设三维曲线的参数式为，则有计算公式.3.如果曲线是由函数决定的，相应的计算公式可改为.常考题型五：对坐标的曲线积分*（数一）1直接代入计算56.【2004-1 4分】设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为_.57.【2010-1 4分】已知曲线L的方程为,起点是，终点是，则曲线积分. 58.【2007-1 4分】设曲线（具有一阶连续偏导数），过第象限内的点和第象限内的点，为上从点到点的一段弧，则下列小于零的是（ ） . . . 59.【2015-1 10分】已知曲线L的方程为起点为，终点为，计算曲线积分.【小结】：1.设曲线的参数式为，则有计算公式：2.如果曲线是由函数决定的，相应的计算公式可改为.2利用格林公式计算60.【1999-1 5分】求，其中为正常数，为从点沿曲线到点的弧.61.【2008-1 10分】计算曲线积分，其中是曲线上从点到点的一段.62.【2000-1 6分】计算曲面积分，其中是以点为中心，为半径的圆周取逆时针方向.63.【2003-1 10分】已知平面区域，为的正向边界. 试证：（1）；（2）.64.【2012-1 10分】已知是第一象限中从点沿圆周到点，再沿圆周到点的曲线段，计算曲线积分。65【2013-1 4分】设为四条逆时针的平面曲线，记，则( )（A） （B） （C） （D）【小结】：1.当曲线为闭合曲线时，可以考虑利用格林公式将曲线积分转化为二重积分来计算。2.当积分曲线不闭合时，也可以利用格林公式计算，方法如下：作有向曲线（一般来说要比简单）使得闭合，设它们围成的区域为，则由格林公式得，则有。3.当积分曲线闭合，但被积函数在做围成的平面区域上有不连续点时，可以这样计算：作有向闭合曲线（一般来说要比简单）使得在与所围成的区域上被积函数有连续的偏导数，设它们围成的区域为，则由格林公式得，则有。3积分与路径无关66.【1993-3 3分】设曲线积分与路径无关，其中具有一阶连续导数，且，则等于（ ）67.【2006-1 12分】设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意都有证明：对内任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有.68.【2005-1 12分】设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数.（I）证明：对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线，有；（II）求函数的表达式.69.【1995-1 8分】设函数在平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意恒有，求.70.【2002-1 8分】设函数在内具有一阶连续导数，是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为.记.（1）证明曲线积分与路径无关；（2）当时，求的值.4二元函数的全微分71.【1996-1 3分】已知为某函数的全微分，则. . . .72.【1998-1 6分】确定常数，使在右半平面上的向量为某二元函数的梯度，并求出.【小结】：1.设函数及在单连通区域上具有连续的一阶偏导数，则则内为某一函数的全微分的充分必要条件是在内恒成立.2.已知为某一函数全微分，求该函数的方法主要有两种：一是利用对坐标的曲线积分，其中为平面中任意定点，由于该积分是与路径无关的，因此可以选取任意的路径，一般来说我们选取折线计算，也即或.另一种方法是利用微分方程中的方法，利用两端对作不定积分得到，再利用求出即可.常考题型六：对面积的曲面积分*（数一）73.【2000-1 3分】设，为的第一卦限中的部分，则有（ ）74.【2007-1 4分】设曲面，则_.75.【2012-1 4分】设则_。76.【1995-1 6分】计算曲面积分，其中为锥面在柱体内的部分.77.【1999-1 7分】设为椭圆面的上半部分，点为在点处的切平面，为点到平面的距离，求.78.【2010-1 10分】设为椭球面上的动点,若在点处的切平面与面垂直,求点的轨迹,并计算曲面积分,其中是椭球面位于曲线上方的部分.【小结】：1.对面积的曲面积分的对称性与重积分类似:当积分曲面关于坐标平面对称时，如果关于为奇函数，则；如果关于为偶函数，则，其中为在坐标平面上方的部分.特别地，如果积分曲面关于三个坐标平面都对称，关于三个坐标均为偶函数时，其中为在第一卦限的部分.2.轮换对称性本质上是利用的积分值与积分变量的选取无关的性质.它在多元函数积分学中最常用的形式是：设积分曲面关于直线对称，则有.常考题型七：对坐标的曲面积分*（数一）1直接代入计算79.【1994-1 6分】计算曲面积分，其中是曲面及两平面,（）所围成立体表面的外侧.2利用高斯公式计算80.【2005-1 4分】设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则_.81.【2006-1 4分】设是锥面的下侧，则_.82.【2008-1 4分】设曲面是的上侧，则.83.【1993-1 6分】计算，其中是由曲面与所围立体表面的外侧.84.【2007-1 10分】计算曲面积分，其中为曲面的上侧.85.【1992-1 8分】计算曲面积分，其中为上半球面的上侧.86.【1996-1 6分】计算曲面积分，其中为有向曲面，其法向量与轴正向的夹角为锐角87.【1998 -1 7分】计算，其中为下半球面的上侧，为大于零的常数.88.【2004-1 12分】计算曲面积分其中是曲面的上侧.89.【2009-1 10分】计算曲面积分，其中是曲面的外侧.90.【2000-1 7分】设对于半空间的任意的光滑有向封闭曲面，都有，其中函数在内具有连续的一阶导数，且，求.91【2014-1 10分】设曲面的上侧，计算曲面积分：常考题型八：斯托克斯公式*（数一）92.【1997-1 6分】计算曲线积分，其中是曲线，从轴正向往轴负向看，的方向是顺时针的.93.【2001-1 7分】计算其中是平面与圆柱面的交线，从轴正向看去，为逆时针方向.94.【2011-1 4分】设是柱面方程与平面的交线，从轴正向往轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分95【2014-1 4分】设是柱面和平面的交线，从轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分【小结】：考试对第二类曲面积分的考查主要集中在高斯公式的应用上。高斯公式的应用与格林公式比较接近，同样分为两种情况：如果积分曲面不闭合，则可以用一个简单的曲面（一般为平面），给积分曲面“封口”，然后再在这两张曲面围成空间区域上应用高斯公式，将原曲面积分转化为一个三重积分减去另一个曲面积分，应用适当的情况下，这两个积分都会比较容易求得；如果积分曲面闭合，但被积函数在该曲面所围成的区域上有不连续点，则用另一个较小的闭合曲面（一般为球面或椭球面，视被积函数而定）将该不连续点围起来，然后在这两条闭合曲面中间的区域上应用高斯公式，这样就可以把原曲面积分转化为一个三重积分将去另一个曲面常考题型常考题型九：综合应用*（数一）96【2010-1 4分】设，则的形心坐标. 97.【1992-1 8分】在变力的作用下，质点由原点沿直线运动椭球面上第一卦限点，问当取何时值时，力所作的功最大？并求出的最大值98【2000-1 7分】设有一半径为的球体，是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到距离的平方成正比(比例常数)，求球体的重心位置.99【2001-1 8分】设有一高度(为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程(设单位长度为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为)，问高度为 (厘米)的雪堆全部融化需多少时间？因此高度为厘米的雪堆全部融化所需要的时间为小时.100【2003-1 12分】设函数连续且恒大于零，其中，（1）讨论在区间内的单调性.（2）证明当时，【小结】：质心的计算考生可以记住一个统一的公式；、不同的情况下可以有不同的形式，对于三维的物体来说（其中为密度），对于曲线形物件来说（其中为线密度），对于曲面型物件来说（其中为面密度）.计算形心时，令式中的恒等于1即可常考题型十：场论初步*（数一）101【1993-1 3分】设数量场，则102.【2001-1 3分】设，则参考答案1.【20053 4分】【答案】2.【2004-1 4分】【答案】3.【2007-2 4分】【答案】4.【2009-1 4分】【答案】5.【2004-1 4分】【答案】6.【2001-1 3分】【答案】7.【20023 4分】【答案】8.【20143 4分】【答案】9、【199-3 4分】【答案】10、【2003-4 4分】【答案】11.【2005-1 9分】【答案】12.【2008-1 11分】【答案】13.【2011-1 11分】【答案】14.【1998-13 7分】【答案】15.【20013 6分】【答案】16.【20063 7分】【答案】17.【20123 10分】【答案】18.【20133 10分】【答案】19.【2011-3 10分】【答案】20【2005-1 11分】【答案】21.【2006-1 10分】【答案】22.【2009-1 10分】【答案】23.【19983 5分】【答案】24.【20033 8分】【答案】25.【20043 8分】【答案】26.【20122 10分】27.【2000 6分】【答案】28.【2011-2 4分】【答案】29.【2006-1 4分】【答案】30.【2008-1 4分】【答案】31.【20123 4分】【答案】：32.【19963 3分】【答案】33.【2010-2 10分】【答案】34.【2014-1 4分】【答案】：35.【2015-3 4分】【答案】36.【20091 4分】【答案】37.【2015-2 4分】【答案】38.【2005-1 4分】【答案】39.【2012-2 4分】【答案】：（D）40.【1994-1 4分】【答案】41.【20083 4分】【答案】42.【1995-1 5分】【答案】43.【20103 10分】【答案】44.【2002-1 7分】【答案】45.【2007-1 10分】【答案】46.【2013-3 4分】【答案】47.【2014-2、3 10分】【答案】48.【2015-2 10分】【答案】49.【1994-1 6分】【答案】50.【1997-1 5分】【答案】51【2008-1 4分】【答案】52.【2013-1 10分】（1）（2）53.【2009-1 4分】【答案】54.【1998-1 3分】【答案】55.【2009-1 4分】【答案】56.【2004-1 4分】【答案】57.【2010-1 4分】【答案】58.【2007-1 4分】【答案】59【20