拉普拉斯变换及反变换.ppt

补充内容：拉普拉斯变换及反变换,2.1拉普拉斯变换（Laplace）,2.2常用函数的拉普拉斯变换,2.3拉普拉斯变换的基本性质,2.4拉普拉斯反变换,2.1拉普拉斯变换,拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具。把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经求解再还原为时间函数。,一、拉氏变换（Laplacetransformation）的定义,（Laplacetransformation）,（inverseLaplacetransformation）,f(t)和F(s)是一对拉普拉斯变换对（Laplacepairs）。,f(t)，t0,)称为原函数（originalfunction），属时域（timedomain）。原函数f(t)用小写字母表示，如i(t)，u(t)。,F(s)称为象函数（transformfunction），属复频域（complexfrequencydomain）。象函数F(s)用大写字母表示，如I(s)，U(s)。,称为复频率（complexfrequency）。,积分下限从0开始，称为0拉氏变换。,积分下限从0+开始，称为0+拉氏变换。,0+拉氏变换和0拉氏变换的区别：,为了把0-0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变换定义式中积分下限从0-开始。,（1）求解方程得到简化。拉氏变换将“微分”变换成“乘法”，“积分”变换成“除法”。即将微分方程变成代数方程。（2）初始条件自动包含在变换式里。,二、拉氏变换的优点,应用拉氏变换：,拉氏变换已考虑了初始条件,终值,初值,三、拉氏变换的物理意义,拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)，或作相反变换。时域f(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数。变量s又称“复频率”。拉氏变换建立了时域与复频域(s域）之间的联系。,看出：将频率变换为复频率s,且只能描述振荡的重复频率，而s不仅能给出重复频率，还给出振荡幅度的增长速率或衰减速率。,四、拉氏变换存在条件,不同的f(t)，0的值不同，称0为复平面s内的收敛横坐标。,由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论中一般不再写出其收敛范围。,拉氏变换收敛域举例,（5）不收敛信号,除非,2.2常用函数的拉普拉斯变换,=1,例求图示两个函数的拉氏变换式,解由于定义的拉氏变换积分下限是0，两个函数的拉氏变换式相同,-1,15.3拉普拉斯变换的基本性质,一、线性（linearity）性质,二、微分（differentiation）定理,原始值为r(0-)及r/(0-)，原始值为e(0-)=0，求r(t)的象函数。解：设r(t)，e(t)均可进行拉氏变换即有E(S)=Le(t),R(S)=Lr(t)对方程两端进行拉氏变换，应用线性组合与微分定理可得S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)+a1SR(s)-r(0-)+a0R(s)=b1SE(s)-e(0-)+b0E(s)整理合并得（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b10,例3某动态电路的输入输出方程为,反变换得r(t)=L-1R(s),三、积分（integration）定理,例,积分上限也应为0-,四、时域平移（timeshift）,f(t),f(t-t0),平移,例1求图示函数的拉氏变换式,例3周期函数（periodicfunction）的拉氏变换。,设f1(t)为第一个周期的函数，,例1,例2,例3,五、复频域平移（frequencyshift）,六、初值(initial-value)定理和终值(final-value)定理,初值定理若f(t)=F(s)，且f(t)在t=0处无冲激，则,终值定理f(t)及其导数f(t)可进行拉氏变换，且,，则,例1,例2,例3,例4：已知F(s)=,解：由初值定理和终值定理可得,，求f(0)和f(),例5：已知F(s)=,求f(0)和f(),由于s=ja是sF(s)的极点，位于虚轴上，不能应用终值定理，即f()不存在。,解：由初值定理得,例右图所示电路中，电压源为，试用时域卷积定理求零状态响应电流i(t),七、,解：令激励电压为单位冲激电压(t)，则初值为,冲激响应电流为,h(t)=,零状态响应电流为卷积积分,i(t)=u(t)*h(t)=u(t)*,进行拉普拉斯变换Li(t)=U(s)H(s)=U(s)Lh(t),八、,九、,表2-1拉普拉斯变换的基本性质,表2-2拉普拉斯变换表,2.4拉普拉斯反变换,一、由象函数求原函数,（2）经数学处理后查拉普拉斯变换表,f(t)=L-1F(s),象函数的一般形式：,二、将F(s)进行部分分式展开（partial-fractionexpansion）,等式两边同乘(s-s1),ki也可用分解定理求,等式两边同乘（s-si）,应用洛比达法则求极限,例1,例2,用分解定理,例3,mn，用长除法，得,k1,k2也是一对共轭复数。,假设只有两个根,，可据前面介绍的两种方法,设,求出k1,k2。,例,法一：,部分分式展开，求系数。,法二：,将