传染病模型完整版

.,传染病传播的数学模型,模型一：最简单的情况,假设：,(1)每个病人在单位时间内传染的人数是常数；,(2)一人得病后，经久不愈，人在传染期不会死亡。,记表示t时刻病人数，,表示每个病人单位时间内传染人数，,，即最初有个传染病人。,则在t到tt时间内增加的病人数为,.,于是得微分方程,其解为,结果表明：传染病的传播是按指数函数增加的。,这个结果与传染病传播初期比较吻合。,但由(8-1)的解可以推出，当t+时，+，这显然是不符合实际情况的，问题在于两条假设均不合理。,.,模型二：,用表示t时刻传染病人数和未被传染的人数，；,假设：,(1)每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比，即,(2)一人得病后经久不愈，人在传染期不会死亡；,(3)总人数为n，即；,由以上假设得微分方程,.,用分离变量法得其解为,其图形如图,模型(8-2)可以用来预报传染较快的疾病前期传染病高峰到来的时间。,由(8-3)式可得,.,其图形如图,医学上称为传染病曲线（它表示传染病人增加率与时间的关系）。,.,得极大值点：,由此可知,1)当传染病强度k或总人数n增加时，都将变小，即传染病高峰来得快，这与实际情况吻合。,2)如果知道了传染强度k（k由统计数据得出），即可预报传染病高峰到来的时间，这对于防治传染病是有益处的。,.,模型二的缺点是：,当t时，由(8-3)式可知n，即最后人人都要生病，这显然是不符合实际情况。造成的原因是假设(2)中假设了人得病后经久不愈。,为了与实际问题更加吻合，我们对上面的数学模型再进一步修改，这就要考虑人得病后有的会死亡，另外不是每个人被传染后都会传染别人，因为其中一部分会被隔离。还要考虑人得了传染病由于医治和人的自身抵抗力会痊愈，并非象前面假设那样人得病后经久不愈。为此作出新的假设，建立新的模型。,.,模型三：,在此模型中，虽然要考虑比前面两个模型复杂得多的因素，但仍要把问题简化。设患过传染病而完全病愈的任何人具有长期的免疫力，并设传染病的潜伏期很短，可以忽略不计，即是一个人患了病之后立即成为传染者。在这种情况下把居民分成三类：,第一类是有能够把疾病传染给别人的那些传染者组成的，用I(t)表示t时刻第一类人的人数。,第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成的，用S(t)表示t时刻第二类人的人数。,.,第三类是包括患病死去的人、病愈后具有长期免疫力的人以及在病愈并出现长期免疫力以前被隔离起来的人，用R(t)表示t时刻第三类人的人数。,假设疾病传染服从下列法则：,(1)在所考虑的时期内人口总数保持在固定水平N，即不考虑出生及其它原因引起的死亡以及迁入、迁出情况。,(2)易受传染者人数S(t)的变化率正比于第一类人的人数I(t)与第二类人的人数S(t)的乘积。,(3)由第一类向第三类转变的速率与第一类人的人数成正比。,由此得下关系式,.,其中、为两比例常数，为传染率，为排除率。,由(8-6)的三个方程相加得,又S(t)I(t)R(t)N（常数）,所以R(t)NS(t)I(t),由此知，只要知道了S(t)和I(t)，即可求出R(t)。,.,由(8-6)中第一、三两式得,由此推出,所以,当tt。时I(t。)I。，S(t。)S。，,.,下面我们讨论积分曲线(8-9)的性质：,由(8-8)式知,所以当S时，I(S)是S的减函数。,而I(0)，I(S。)I。0，,由连续函数的零点定理及单调性知，,存在唯一使得，且当时，I(S)0。,.,当tt。时，方程(8-9)的图形如图,由此知，当t由t。变化到时，点(S(t),I(t)沿曲线(8-9)移动，并沿S减少方向移动，因为S(t)随时间的增加而单调减少。因此如果S。小于，则I(t)单调减少到零，S(t)单调减少到。所以，如果为数不多的一群传染者I。分散在居民S。中，且，则这种疾病会很快被消灭；如果S。，则随着S(t)减少到，I(t)增加，且当S时I(t)达到最大值；当S(t)时，I(t)才开始减少。,.,由上分析可得如下结论：,只有当地居民中的易受传染者的人数超过阈值时，传染病才会蔓延。,用一般的常识来检验上面的结论也是符合的。当人口拥挤、密度高，缺乏应有的科学文化知识，缺乏必要的医疗条件，隔离不良而排除率低时，传染病会很快蔓延；反之，人口密度低