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例谈轨迹方程的几种常见求法石阡县第三高级中学 张军求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的课题之一,是用代数的方法研究几何问题的基础。这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融于一体,因此也是历届高考考查的重要内容之一。一般地,求轨迹方程有直接和间接两种方式,本文将以例题的形式浅谈轨迹方程的几种常见求法:1、 直接法当动点直接与已知条件发生联系时,在设曲线上动点的坐标为后,可根据题设条件将普通语言运用基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等)变换成表示动点间的关系式(等式)的数学语言,从而得到轨迹方程。这种求轨迹方程的方法称为直接法,这是探求轨迹刚才最基本的方法。 例1.在平面直角坐标系中,点到点的距离的4倍与它到直线的距离的3倍之和记为.当点运动时,恒等于点的横坐标与18之和.求点的轨迹.解设点的坐标为,则由题设知,即 当时,由得,化简得.当时,由得 ,化简得.故点的轨迹是由椭圆在直线的右侧部分与抛物线在直线的左侧部分(包括它与直线x2的交点)所组成的曲线(如图所示)。评注:本题考查了求轨迹方程的基本方法及两点间的距离公式、点到直线的距离等基础知识,同时也考查了绝对值的运算。直接法是求轨迹方程最常用也是最基本的方法之一,它的步骤是:建系;设点;列式;化简;证明。2、 定义法当动点轨迹的条件符合某一基本轨迹定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线),我们可以直接根据定义写出动点的轨迹方程,这种方法称为定义法。例2.已知圆和圆,动圆同时与圆及圆相外切,求动圆圆心的轨迹方程.解如图所示,设动圆与圆及圆分别外切于点和,根据两圆外切的条件,得,.,即.这表明动点与两定点、的距离的差是常数2,根据双曲线的定义,动点的轨迹为双曲线的左支(点与的距离大,与的距离小),这里,则,设点的坐标为,其轨迹方程为.评注:如果在题设中有关于到两个定点距离之和为定值;到两个定点距离之差(或差的绝对值)为定值;到定点和到定直线的距离相等等,可以考虑利用圆锥曲线的定义直接写出所求曲线的轨迹方程。3、 代入法代入法又称为转移法或相关点法,若动点依赖于已知曲线上的另一动点的运动而运动,且点的坐标、可以用点的坐标、来表示,则可利用点在已知曲线上,其坐标满足曲线方程,将、代入已知曲线方程而求得动点的轨迹方程。例3.设点为双曲线上一动点,为坐标原点,为线段的中点,则点的轨迹方程为 解 设,则,在上,为所求轨迹方程。评注:本题考查了随某点运动而运动的动点的轨迹方程的求法,其关键是寻找所求点与已知曲线上的动点之间的关系,在这里是借助了线段的中点坐标公式来建立两动点之间的关系的。用代入法求轨迹方程常用的策略是中点坐标公式、定比分点坐标公式、三角形重心、对称性等。4、 参数法 如果轨迹动点的坐标之间的关系不易找到,可以考虑将用一个或几个参数来表示,消去参数得到轨迹方程,此法称为参数法。参数法中常选变角、变斜率等为参数。例4.设抛物线的准线为,焦点为,顶点为,为抛物线上任意一点,于,求与的交点的轨迹方程。分析:涉及抛物线的动点,可以设点的坐标为参数,对抛物线,根据其方程可以设出含有一个参数的点的坐标,如抛物线上的点

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