圆的一般方程数学必修2

4.1.2圆的一般方程,思考：,1、方程表示什么图形？,对方程,配方，可得,此方程表示以,为圆心，2为半径的圆。,2、是不是形如的方程均可表示圆？,请把方程,进行配方，观察此方程,对方程,配方，可得,所以这个方程不表示任何图形。,由于不存在点的坐标满足此方程,表示什么图形？,探究：,方程,在什么条件下表示圆？,配方可得：,把方程,（1）当,时,方程,表示以,为圆心，,为半径的圆。,（2）当,时，,只有一解,方程,它表示一个点,（3）当,时，,没有实数解，它不表示任何图形。,方程,圆的一般方程,当时，方程表示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.圆心为，半径为,注意：（1）x2和y2系数相同，都不等于0；（2）没有xy这样的二次项.,标准方程：图形特征一目了然，明确地指出了圆心和半径；,一般方程：突出了代数方程的形式结构，,思考：圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？,例1：下列方程各表示什么图形?,（1）原点(0,0),答案：,练习：判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径,（3）不是,（4）不是,（5）不是,答案,解：,设圆的方程为,把点的坐标代入得方程组,解这个方程组得,故所求圆的方程为,因此所求圆的圆心为,半径长为,用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤：,（2）根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组；,（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；,（3）解出a,b,r或D,E,F，代入标准方程或一般方程,例3、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.,分析：,如图，点A的运动引起点M的运动，而点A在圆上运动,点A的坐标满足方程,建立点M的坐标与点A的坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程,解：,设点M的坐标是,设点A的坐标是,由于点B的坐标是(4,3),且点M是线段AB的中点，所以,于是有,因为点A在圆上，,所以,把（1）代入（2）得,整理得,所以点M的轨迹是以为圆心，半径长为1的圆。,所以点M的轨迹方程是,练习：如图，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0），当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？,答案:,以点（6,0）为圆心，半径长为2的圆。,线段PA的中点M的轨迹,1圆x2+y2+4x+26y+b2=0与坐标轴相切，那么b可以取的值是（）（A）2或13（B）1或2（C）1或2（D）1或1,A,2方程x2+2xy+y2+x+y2=0表示的曲线是（）（A）两条相交直线（B）两条平行直线（C）不是圆也不是直线（D）圆,B,3若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a1=0表示圆，则a的取值范围是。,4三角形ABC的三个顶点A(1，4)，B(2，3)，C(4，5)，则ABC的外接圆方程是_.,x2+y22x+2y23=0,5已知ABC的边AB长为2a，若BC的中线为定长m，求顶点C的轨迹方程.,解：由题意，以AB中点为原点，边AB所在的直线为x轴建立直角坐标系,如图，则A(a，0)，B(a，0),设C(x，y)，,则BC中点为E,因为|AE|=m，所以,化简得(x+3a)2+y2=4m2.,由于点C在直线AB上时，不能构成三角形，故去掉曲线与x轴的两个交点，,从而所求的轨迹方程是(x+3a)2+y2=4m2.(y0),(1)任何一个圆的方程都可以写x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式，但是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的曲线不一定是圆,只有在D2+E2-4F0时，表示圆心