归纳法与数学归纳法.doc

安庆师范学院数学与计算科学学院2008届毕业论文归纳法与数学归纳法摘要：归纳法与数学归纳法是数学的常用方法，本文通过对归纳法与数学归纳法的定义、类别、特征以及归纳法与数学归纳法之间的联系与区别的探索与分析，了解归纳法与数学归纳法，进而讨论以归纳法为主要工具，去探索和发现数学问题的解题途径，并学会应用归纳法与数学归纳法解决数学问题及其它问题关键词：归纳法 数学归纳法 初级归纳法 高级归纳法引言：归纳法与数学归纳法是解决数学问题的常用方法，通过从特殊事例得出的结论得出在一般情况下该事例的情形，从特殊到一般.一 归纳法1、归纳法的定义引例 观察下列等式 请推测，从开始个连续的奇数相加,表示它们的和的公式是什么?分析:由、所呈现的规律知底数、恰好是各相应等式左边连续奇数的个数，而指数都是，因此公式为即对任何自然数，等式像以上这种由几个具体的特殊事例引出一类事物的一般性结论的推理方法就叫做归纳法.归纳法是一种特殊的推理方法，归纳法的定义通常有：定义1：归纳就是由特殊推到一般的过程.定义2：归纳就是通过对某类事物中的若干特殊情形的分析得出一般结论的思维方法.2、归纳法的两种形式归纳法分为两种形式：完全归纳法和不完全归纳法2.1完全归纳法：所谓完全归纳法就是根据一切特殊情况的考虑而作出的推理由于应用完全归纳法时，必须考虑所有对象的情况，所以得出的结论自然是可靠的.不过在一般情况下，所要考察的对象总是相当多的甚至是无穷多的；特别在数学里，所以常常需要了解无穷多个对象的情况.2.2 不完全归纳法：所谓不完全归纳法就是根据一个或几个（但不是全部）特别情况作出的推理.例如：（1）铜在加热时膨胀 （2）玻璃在加热时膨胀 （3）一切物体在加热时膨胀根据不完全归纳法作出的结论可能是错误的，所以它不能用来作为严格的、科学的证明方法.不完全归纳法的意义在于：对特殊情况的考虑，会提示我们这一个或那一个规律性存在，帮助定出这一规律性.3、归纳法、归纳推理的涵义、联系与区别按定义1或定义2来理解，归纳法不包括类比法，因为类比是个别到个别的推理.但将完全归纳法列入归纳法范围也值得讨论，因为其实质是一种演绎推理，不是归纳推理.3.1 归纳法、归纳推理的涵义归纳推理：指特殊到一般的推理归纳法：指从某类事物的部分知识为前提推出关于该类事物的其他部分或全部知识的思维方法，其狭义涵义即归纳推理.3.2 归纳法与归纳推理的联系与区别按我们对归纳法涵义的分析，归纳推理是归纳法的一种特殊情形，也是人们日常生活中一种最常用的推理形式；归纳法比归纳推理外延要广.因此，不应将归纳法与归纳推理视为同一概念.4、归纳法的主要类别4.1 初级归纳法4.1.1 简单枚举推理：是根据某类事物的部分对象具有（或不具有）某种属性得出该类事物的全体也具有（或不具有）这种属性的思维方法.其推理格式为：具有属性具有属性具有属性 是部分对象，并且尚未观察到反例类的所有对象具有属性对简单枚举归纳法，我们可以通过断定 在其它性质上有很大差异或断定它们是类的具有较强代表性的对象或增加考察对象的数量推大考察范围来提高结论的可靠性4.1.2 科学归纳推理（亦称精确归纳推理）：是指以科学理论分析为指导，根据对象与属性之间的内在联系所进行的归纳推理其推理格式为：具有属性具有属性具有属性 是部分对象，并且与有必然联系类的所有对象具有属性由于科学归纳推理不是根据所考察对象之间的表面现象，主要不是依靠前提数量的大小而是根据对象之间的因果联系的本质属性所进行的推理.因此，即使有限的前提也能得出可靠的结论科学归纳推理比简单枚举法可靠性更强4.2 高级归纳法4.2.1 培根三表法：通过建立整理不同类型事例的“三表”，即存在与具有表、差异表、程度表，消除不相干因素，提出假设，从而得出结论的思维方法.其可靠性较简单枚举归纳推理高，但它仍是或然性推理，并非象培根认为的“结论是确定无误的”4.2.2 求因果五法（1）求同法：是在被研究现象出现的若干不同场合中寻找共同原因的方法（2）求异法：是在被研究现象出现与不出现的两种矛盾场合中，通过比较而找出由于某一原因而产生某一结果的思维方法（3）求同求异并用法：是在被研究现象出现与不出现的若干场合中，通过比较判断得出一定的原因产生一定的结果的思维方法（4）共变法：是指在被研究现象发生变化的若干场合中，如果其中只有一个情况变化着，并根据这一情况的变化而引起另一现象的变化去确定某一情况是某一现象原因的方法（5）剩余法：是指从复杂现象中减去已知的一部分原因从而确定另一部分原因的方法4.2.3 交叉归纳法：是根据已有的事例以及由与此类似的事例得出结论的一系列归纳推理而推出结论的思维方式其推理格式可描述为具有属性具有属性具有属性具有属性 （） 与存在某种相似性 （）具有属性 （）交叉归纳法的交叉意即（）与（）的交叉虽然（）与（）都是初级归纳法，但（）却体现了概率知识4.2.4 解释归纳法：是根据或参考假设所具有的概率来选择假说的思维方法高级归纳法的实质是有权重的认定，在运用这些归纳法时都或多或少参考了以前的归纳结论高级归纳法优于初级归纳法二、数学归纳法我们已经知道，为了得到数学定理而需要运用归纳推理时，必须运用完全归纳法当我们所考虑的命题只涉及到有限个对象时，我们只要将这有限种情形一一考虑就行了但是数学中常常接触到的命题是涉及到无限个对象的，困难就出在这里，要考察无限个对象为了对付这一类问题，即判定一个命题是否对全体自然数都成立，人们创立了“数学归纳法”1、归纳法原理假设对一切自然数，我们有一个命题，假定我们知道；1）是真的；2）对任意的，真蕴含真，则对一切自然数真证：用表示全体自然数的集合，用表示的一个子集合：，我们有一个很直观的断言：每个非空集合有一个最小元素，也就是存在一个自然数，它比中的一切其他自然数都小，我们称这一断言为“最小元素原理”现在用最小元素原理来证明归纳法原理设如果是空集,那么我们就不必再证明,因为定理已经成立设,则中有一个最小元素.根据归纳法原理的1),即从而,并且真,但根据归纳原理2),真与非空相矛盾.因此一定是空集,这就证明了归纳法原理2、数学归纳法证明命题的步骤应用归纳法原理证明的是一些可以递推的有关自然数的论断证明的步骤是：（1） 证明时，某论断是正确的；（2） 假定当时，论断是正确的，证明当时，这论断也是正确的根据（1）（2）就可断定，对于一切，论断都是正确的例：求证：证：当时这时等式是成立的假设当时，公式也成立即假定我们来证明当时,公式也成立.事实上,在上式两边各加得数学归纳法的第一步骤通常证明起来很简单,但决不能略去这一步骤,这一步叫做归纳法的基础,去掉这一步骤就会导出荒谬的结论.3、数学归纳法的其它形式（1）第一个条件不一定从开始，即数学归纳法中的两个条件可改成：如果当的时候，这个命题是正确的；又从假设当时这个命题是正确的，可以推出当时这个命题也是正确的，那么这个命题当时都正确（是要证命题成立的最小自然数）例1：求证：边形个内角之和等于证明：当时，我们知道三角形的三个内角和是180当时命题是正确的假设当时命题也是正确的，设是边形的顶点，作线段，把这个边形分成两个图形，一个是边形,另一个是三角形，并且边形内角和等于后面这两个图形的内角和就是也就是说，当时这个命题也是正确的，因此命题得证（2）第二句话也可以改写为“如果当时，命题正确，那么当时，命题也是正确的，由此同样可以证明对于所有的，命题都得证4、数学归纳法的再认识4.1 数学归纳法的适用范围数学归纳法：设为一与自然数有关的命题，如果能证明则有通过对其前提的分析可知: 数学归纳法仅用来证明与自然数有关的命题 并非每一个与自然数有关的命题都必须用数学归纳法来证明.对于,固然可用数学归纳法来证明,但有时却没有其它方法来得简捷,我们必须弃繁从简,如证明,绝没人首先想到用数学归纳法来证明，尽管它是一个与自然数有关的命题 并非每一个与自然数有关的命题都能用数学归纳法来证明，对于，如果能证明 ，则，但如果不能通过有效途径证明，却并不能说明之假，有待于寻求第二证法4.2 数学归纳法的理论依据与特征4.2.1 数学归纳法的理论依据我们用以下方式表示数学归纳法的证明： （由验证确定） （被证明） （由可知） （？） （结论）当我们问数学归纳法的理论依据是什么时，实际上在问以上推理第的根据何在？这确实是问题的关键，到底是什么保证由有限就这么过度到了无限的合理性呢？为此我们必须承认这样一个事实：，并为此作为数学归纳法的依据，这实际便是皮亚诺的归纳公理现在设此即又由数学归纳法在归纳公理中找到根据4.2.2 数学归纳法的特征数学归纳法是一种特殊的演绎推理方法.这种方法由实验与演绎两部分组成,然后借助归纳公理,完成了过有限认识无限的飞跃,因此数学归纳法并非归纳推理.因为归纳推理是前提与结论之间具有或然性联系的推理.数学归纳法与归纳推理没有任何逻辑的联系.4.2.3 数学归纳法的逻辑结构分析我们视数学归纳法为一系统,它的结构为;它的要素为:; ;.各要素的功能与作用为一般的演绎推理,是递推的根据,它的前提为一充分条件.假言判断;可视为系统的初始条件,它使递推有了基础;与逻辑学不同,在数学中,充分条件假言判断必须为真,其真由及可以保证.以上三要素的联系方式为,其功能与以下推理等价:即为任意确定的个三段论的压缩,借助归纳公理,这种相互联系,相互作用的整体效应便为.全称量词的差异在中,扮演的角色与极限定义中的酷似.它具有任意性与确定性;因此从本质上讲它具有个体性.而则具有整体集合性,所以有时可用来表示.让我们来解释以上观点. 具有任意性指在演绎前, 可取作任何自然数.但在演绎过程中,这个便是确定的.惟其如此,才能通过及用有限步骤来检验充分条件假言判断的真值性.但这一点也时常引起一些误会:既然,所以,必可通过有限次递推得出,这就证明了数学归纳法的可靠性,即对一切自然数都有.三 归纳法与数学归纳法的联系与区别归纳法是发现规律的好方法,但由于归纳法得到的规律对,某些是不一定正确,要判断所总结的规律(或结论)是否正确,要从理论上加以证明,这就要运用数学归纳法了.但归纳法对数学归纳法仍有它的作用,有的命题有待于归纳法发现其规律,然后才能用数学归纳法加以证明.以下三道题足以说明两者的关系.例1:已知,探求对于任意自然数,与间的大小关系,并加以证明.分析与解:本题比较,的大小,即为变量,、为常量.令则有,当时, ,;当时, ,;当时, ,上述是用归纳法完成的.可猜想对于任意自然数,.当时,用数学归纳法证明如下:当时,原不等式成立假设当时,有(式两边同乘以则由于 (与同号),(,证明：（1）当时，不等式显然成立（2）假设当时，命题成立，则有1+,要证时命题成立，即1+在不等式的两边分别加上（+），就凑好了不等式的左边，可得1+（+）+.接下来只需证+因为式左边有项，且最小因此+=这就证明了式成立故由（1）（2）可知，对任意自然数原不等式恒成立2.4 乘因数（式）法用数学归纳法证明不等式，从“”过渡到“”时，有时用乘因数（式）法，即在关于的不等式两边同乘以一个因数（式），从而凑好时的一边例5：若,则证明：（1）当时，等号成立；当时，-=0、时命题成立（2）假设时，命题成立，即有，当时，要证在式两边同乘以，有，问题转化为证，整理得0成立（ ，与同号）时命题成立故由（1）（2）可知对于任意自然数原不等式恒成立3、几何方面的应用例6：平面上有n条直线，其中没有两条平行，也没有三条经过同一点，求证：它们（1）共有=（）个交点（2）互相分割成=条线段（3）把平面分割成=1+（）块证明：假设命题在条直线时是正确的，现在来看添上一条直线后的情况，新添上去的1条直线与原来的条直线各有1个交点，因此=+这新添上去的1条直线被原来的条直线分割成为段，而它对原来的条直线每条多分割出一段，因此=+=+，这新添上去的1条直线被分割为段，每段把一块平面分成两块，总共要添出块，因此=+当=1时，=0，=1，=2因此，=（）+=（）+（）+=（）+（）+1=（）=+=（）+（）+=（）+（）+1=+=+（）+=+（）+2+2=1+（）命题得证4、排列与组合数学归纳法最简单的应用之一是用来研究排列和组合的公式例7：证明：= （2）证明：首先，=，这显然的，如果再能证明当1的时候，=+ （3）那么，式子（2）也就可用数学归纳法来证明我们假设有个不同的元素，每次取出个元素的组合里，可以分为两类：一类含有，一类不含有，含有的组合数就等于从，里取个元素的组合数，它等于；不含有饿组合数，就等于，里取个的组合数，它等于，所以=+ 下面我们证明式子（2）因为当=1时，这个定理是正确的 ；假设当时，这个定理是正确的，那么=+=+=（这里）时，这个定理也是真的.所以公式=是成立的.结束语通过对归纳法与数学归纳法的分析和探索，了解了归纳法与数学归纳法的相关知识，作为一种特殊的证明方法和推理方法可以解决一些不容易解决的数学问题。数学归纳法作为特殊概括出一般的一种思维方法，具有两种基本意义：首先，数学归纳法是一种推理方法，它可以为我们提出猜想为论证提供基础和依据；其次归纳是一种研究方法，归纳又是一种创造性的探索式思维方法，能开发智力、拓宽思路、引出猜想，它在发现问题和探索解题途径的过程中起着重要作用。 参考文献1、LI格拉维娜著，姚时宗译数学归纳法在几何中的应用，莫斯科米尔出版社19792、洪帆主编，离散科学基础， 华中理工大学出版社 19793、华罗庚主编，数学归纳法，上海教育出版社 19634、北京大学，高等代数 北京高等教育出版社 20035、周性伟著，实变函数 科学出版社 20006、张顺燕著，数学的思想、方法和应用北京大学出版社 20037、Igor R.Shafarevich,Basic Notions of Algebra 科学出版社 2002Inductive method and mathematics inductive methodAuthor:TAN Fangfang Abstract:Inducti