泊松分布最新版本

,第四章,第二节,泊松分布,二、泊松定理,三、泊松分布的数学期望与方差,一、泊松分布,.,一、泊松分布,设随机变量X的分布律为,显然满足:,（1）非负性:,（2）规范性:,.,泊松分布是概率论中又一重要的概率分布：,一方面，很多随机现象都近似服从泊松分布,如电话交换站一定时间间隔内的呼唤次数；,公共汽车站来到的乘客数；,炸弹爆炸后落在平面上某区域的碎弹片个数;,落在显微镜上某种细菌个数；,另一方面，泊松分布可看为二项分布的极限分布.,.,二、泊松定理,定理:,设随机变量,服从二项分布,并且满足,其中概率与n有关,则,.,在应用中,当且n很大，,时,p很小,有下面的泊松近似公式(其中),由于泊松分布有着广泛的应用,都已造成表（见书末附表1及附表2），计算时可查表.,.,例1在1875年-1955年间的某63年间，上海的夏季（5-9月）共发生暴雨180次，求一个夏季发生k次暴雨的概率。,解:,每年夏季共有,n=31+30+31+31+30=153天,若每次暴雨以一天计,则每天发生暴雨的概率为,一个夏季发生k次暴雨记为,作为初步近似,可利用伯努利概型,由于p很小，而n较大，,则,.,例2为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人（工人配备多了就浪费，配备少了又要影响生产），现有同类型设备300台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01。在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理（我们也只考虑这种情况），问至少需配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01？,.,解:,设需配备N人,记同一时刻发生故障的设备台数,为X,那么,所需解决的问题是确定,最小的N,使得,由泊松定理,即,查表知满足上式最小的N是8,即需至少配备8名工人。,.,例3.,设儿童在注射“非典”疫苗产生不良反应的概率为,0.001，试确定2000个儿童中有3个以及2个以上产生不,良反应的概率.,解:,设X表示在此2000个注射疫苗的儿童中产生不良,反应的个数,则,由于n=2000很大,p=0.001很小.,所以可进行近似计算,.,即:,故:,.,三、泊松分布的数学期望与方差,其分布律为,设，,则,.,四、泊松分布的应用,泊松分布常作为大量重复试验中稀有事件(不幸事件,意外事故,非常见病,自然灾害等）发生概率的数学模型.,服务领域:电话接到的呼叫次数;公共车站来到的乘,客数.,物理领域:热电子辐射数等.,.,（1）保险公司亏本的概率是多少?（2）保险公司赢利不少于100000元的概率是多少?,例4.,有的资料显示：人群中与这项保险业务有关的死亡概率,为0.0020，今有2500人参加这项保险，每个参保的人员,在每年1月1日交付120元保险金，而在死亡时家属可从,公司领取20000元保险金,试问：,设某保险公司现在为社会提供一项人寿保险，据已,.,分析:,每年1月1日,保险公司的收入元,若一年中死亡x人,则保险公司这一年应付出20000 x元,因此“公司亏本”意味着20000 x300000即x15人,这样“公司亏本”这一事件等价于“一年中多于15人死亡”,的事件，,从而转求“一年中多于15人死亡”的概率，,“参加保险的一个人在一年中是否死亡”看作一次随机试,若把,验,则问题可用,的伯努利试验来