必修四第三章三角恒等变换复习

.,简单的三角恒等变换,.,1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.,.,1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式,.,2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2；(2)cos2；(3)tan2,2sincos,cos2sin2,2cos21,12sin2,.,.,.,思考探究你能用tan表示sin2和cos2吗？,提示：sin22sincos，cos2cos2sin2,.,.,考点一三角函数式求值,.,1.解决三角函数的给值求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.,.,.,.,.,(1)设cos()，sin()，且，0，求cos().(2)已知sin()sin()，(，)，求sin4.,思路点拨,例2,.,课堂笔记(1)，0，.故由cos()，得sin().由sin()，得cos().cos()cos()().cos()2cos21.,.,(2)法一：sin()sin()sin()cos()，sin(2)，即cos2.(，)，则2(，2)，sin2于是sin42sin2cos2.,法二：由条件得(cossin)(cossin)，即(cos2sin2).cos2.由2(，2)得sin2，sin4.,.,1.通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是(0，)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为(，)，选正弦较好.,2.解给值求角问题的一般步骤为：(1)求角的某一个三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.,.,已知0，tan，cos().(1)求sin的值；(2)求的值.,思路点拨,例3,.,课堂笔记(1)tan所以又因为sin2cos21,0，解得sin.(2)因为0，所以0.因为cos()，所以sin().,所以sinsin()sin()coscos()sin因为(,)，所以.,.,保持例题条件不变，求cos().,解：由例题可知sin，cos，sin，cos，cos()coscossinsin,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查.近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向.,.,.,.,(2009广东高考)(12分)已知向量a(sin，2)与b(1，cos)互相垂直，其中(0，).(1)求sin和cos的值；(2)若5cos()3cos，0，求cos的值.,考题印证,.,【解】(1)ab，sin1(2)cos0sin2cos.(2分)sin2cos21，4cos2cos21cos2(4分)(0，)，cossin.(6分),(2)由5cos()3cos有，5(coscossinsin)3cos(8分)cos2sin3cos，cossin.(10分)0，cos(12分),.,自主体验已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，|ab|(1)求cos()的值；(2)若0，0，且sin，求sin的值.,.,解：(1)a(cos，sin)，b(cos，sin)，ab(coscos，sinsin).|ab|，即22cos()，cos().,.,(2)0，0，sin，cos,，0，cos()，sin()，sinsin()sin()coscos()sin,.,38,对于(1)，利用a/bx1y2-x2y1=0(其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，求出sin+cos的值；对于(2)，根据(sincos)2=1sin2实现求值，但要注意确定sin-cos的符号zxxk,三角、向量交汇,.,39,.,40,1sincos，sincos之间的关系为(sincos)2=12sincos，(sin+cos)2+(sin-cos)2=2，由此知三者知其一，可求其二，但需注意角的范围对结果的影响2从整体上看，若令sin+cos=t，则sincos=，消元常用3双弦齐次式可化归为切函数,.,41,.,.,1.(2009福建高考)函数f(x)sinxcosx的最小值是()A.1B.C.D.1,解析：f(x)sinxcosxsin2x，f(x)min.,答案：B,.,2.(2009陕西高考)若3sincos0，则的值为()A.B.C.D.2,.,解析：由3sincos0得cos3sin，则,答案：A,.,3.sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos(110x)的值为(),.,解析：原式sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos90(x20)sin(65x)cos(x20)cos(65x)sin(x20)sin(65x)(x20)sin45.,答案：B,.,4.(2010黄冈模拟)已知sin()，则cos(2).,解析：cos(2)2cos2()1，且cos()sin().所以cos(2).,答案：,.,5.已知a(cos2，sin)，b(1,2sin1)，(，)，若ab，则tan()的值为.,解析：由ab，得cos2sin(2sin1)，即12sin22sin2sin，即sin.又(，)，cos，tan，tan(),答案：,.,6.(2009江苏高考)设向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin).(1)若a与b2c垂直，求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tantan16，求证：ab.,.,解：(1)由a与b2c垂直.a(b2c)ab2ac0，即4sin()8cos()0，tan()2.(2)bc(sincos，4cos4sin)，|bc|2sin22sincoscos216cos232cossin16sin21730sincos1715sin2，最大值为32，所以|bc|的最大值为,.,(3)证明：由tantan16，得sinsin16coscos，即4cos4cossinsin0，故ab.,.,.,.,注意事项：,（1）在运用诱导公式的过程中，常出现三角函数名变换错误、三角函数值的符号错误等情况，应加强对公式的理解，避免出现错误。（2）在利用三角恒等变换求三角函数值时不要忽略正弦、余弦函数的有界性，重视角的范围的探求。,.,56,1.要熟练掌握三角函数的变换工具，主要是掌握基本变换公式及其作用:诱导公式用于角度之间的关系变换;同角公式用于不同三角函数名之间的变换；和、差、倍角公式则是综合变换的“纽带”.2.要充分把握三角函数的变换规律.三角变换