人教高中数学理科选修函数的最大值与最小值4课件

4.3.1函数单调的概念,我们在函数的基本性质中曾经讨论过函数的单调性问题，在此我们再次回顾一下函数单调的定义。定义设函数f(x)在区间（a，b）上有定义，如果对于区间（a，b）内的任意两点x1，x2，满足（1）当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)（或f(x1)f(x2)）,则称函数f(x)在开区间（a，b）内单调增（或严格单调增）；（2）当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)（或f(x1)f(x2)）,则称函数f(x)在开区间（a，b）内单调减（或严格单调减）；一般情况下，单调增函数的图形是一条沿x轴正向逐渐上升的曲线。单调减函数的图形是一条沿x轴正向逐渐下降的曲线。如果函数在其定义域内的某些子区间上是单调增的，而在另一些子区间上是单调减的，则称函数为分段单调函数。,4.2.2单调与导数的关系,在本段中，我们将考虑函数的单调性与导数符号之间的关系，利用这种关系，就可以应用导数的符号来研究函数的单调性。定理1设函数f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间（a，b）内可导，则函数f(x)在区间a，b上单调增加（或单调减少）的充分必要条件是f(x)0（或f(x)0）；证明：必要性。设函数f(x)在区间a，b上单调增加，在区间（a，b）内任取两点x,x+x，有（1）当x0时，则xx+x，从而f(x+x)f(x)，于是f(x+x)-f(x)0；（2）当x0时，则xx+x，从而f(x+x)f(x)，于是f(x+x)-f(x)0；综合（1）、（2）即知，对任意的x，恒有,从而有充分性。设函数f(x)在开区间（a，b）内可导，且f(x)0，则对于开区间（a，b）内的任意两点x1，x2，且设x1x2，由拉格朗日中值定理可知，有由于f()0，因此，f(x2)f(x1)。即f(x)为单调增加。对于单调减少的情况类似可以证明。利用拉格朗日中值定理还可以证明定理2设函数f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间（a，b）内可导，且f(x)0（或f(x)0），则函数f(x)在区间a，b内严格单调增加（或严格单调减少）。,定理3设函数f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间（a，b）内可导，且f(x)0（或f(x)0），同时f(x)至多存在有限个零点，则函数f(x)在区间a，b内仍为严格单调增加（或严格单调减少）。有了这些结果以后，我们就可以利用导数的性质来判断函数的性质，这可以说是导数的一个重要应用。它通常包含三个典型的问题：（1）、求函数的单调区间；（2）、证明不等式，通常是两项不等式；（3）、证明方程只有一个实根。,4.2.3实例分析,例1确定函数的单调区间。解：该函数的定义域为（-，），由于当x（-，1）时，有f(x)0，所以，函数f(x)在这个区间内为严格单调增加。当x（1，2）时，有f(x)0，所以，函数f(x)在该区间内为严格单调减少。当x（2，）时，有f(x)0，所以，函数f(x)在这个区间内为严格单调增加。函数的单调增区间和单调减区间统称为函数的单调区间。显然，x=1和x=2是函数f(x)单调区间的分界点，且有f(x)=0。,例2证明。证明：令则从而，当x（0，）时，函数f(x)为严格单调增加。又由于f(0)=0，所以，f(x)f(0)=0，即不等式成立。例3证明方程sinx=x只有一个实根。证明：令，则且仅在孤立点x=2n时，有f(x)=0。从而，当x（-，）时，函数f(x)为严格单调