第二章矩估计和极大似然估计

.,1,第二章参数估计,.,2,参数估计问题,假设检验问题,点估计,区间估计,.,3,什么是参数估计？,参数是刻画总体某方面的概率特性的数量.,当这个数量是未知的时候，从总体抽出一个样本，用某种方法对这个未知参数进行估计就是参数估计.,例如，XN(,2),若,2未知，通过构造样本的函数,给出它们的估计值或取值范围就是参数估计的内容.,.,4,参数估计的类型,点估计估计未知参数的值,区间估计估计未知参数的取值范围，使得这个范围包含未知参数真值的概率为给定的值.,.,5,一、点估计的思想方法,设总体X的分布函数的形式已知，但它含有一个或多个未知参数：1,2,k,设X1,X2,Xn为总体的一个样本,构造k个统计量：,随机变量,第一节参数的点估计,.,6,当测得一组样本值(x1,x2,xn)时，代入上述统计量，即可得到k个数：,数值,问题,如何构造统计量？,.,7,1、矩方法；（矩估计）2、极大似然函数法（极大似然估计）.,二.点估计的方法,1.矩方法,方法,用样本的k阶矩作为总体的k阶矩的估计量,建立含待估计参数的方程，从而可解出待估计参数,.,8,一般地，不论总体服从什么分布，总体期望与方差2存在，则根据矩估计法它们的矩估计量分别为,注:矩估计不唯一,.,9,事实上，按矩法原理，令,.,10,设待估计的参数为,设总体的r阶矩存在，记为,设X1,X2,Xn为一样本，样本的r阶矩为,令,含未知参数1,2,k的方程组,.,11,解方程组，得k个统计量：,未知参数1,2,k的矩估计量,未知参数1,2,k的矩估计值,代入一组样本值得k个数:,.,12,例1有一批零件，其长度XN(,2)，现从中任取4件，测的长度(单位：mm)为12.6,13.4,12.8,13.2。试估计和2的值。,解：由,得和2的估计值分别为13(mm)和0.133(mm)2,.,13,例2设总体X的概率密度为,X1,X2,Xn为来自于总体X的样本,x1,x2,xn为样本值,求参数的矩估计。,解：先求总体矩,.,14,为的矩估计量,为的矩估计值.,令,.,15,例3设总体X的概率密度为,求的矩估计量,解法一虽然中仅含有一个参数，但因,不含,不能由此解出,需继续求总体的二阶原点矩,.,16,解法二,即,用,替换,即得的另一矩估计量为,得的矩估计量为,用,替换,即,.,17,矩估计的优点不依赖总体的分布，简便易行只要n充分大，精确度也很高。矩估计的缺点矩估计的精度较差；要求总体的某个k阶矩存在；要求未知参数能写为总体的原点矩的函数形式,.,18,注意：,1.总体不一定存在适当阶的矩。,例考虑Cauchy分布，其密度函数为,其各阶矩均不存在。,2.对相同的参数，存在多个矩估计。,例如，考虑总体是参数为的Poisson分布，,.,19,你就会想,只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率.看来这一枪是猎人射中的.,先看一个简单的例子:某位同学与一位猎人一起外出打猎,一只野兔从前方窜过.只听到一声枪响,野兔应声倒下.如果要你推测,是谁打中的呢？你会如何想呢？,这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想.,2、极大似然函数法,例:设袋中装有许多白球和黑球。只知两种球的数目之比为3:1，试判断是白球多还是黑球多。,分析:从袋中有放回的任取3只球.设每次取到黑球的概率为p(p=1/4或3/4)设取到黑球的数目为X,则X服从B(3,p),分别计算p=1/4,p=3/4时，PX=x的值，列于表,结论:,.,22,定义1:(1)设随机变量X的概率密度函数为f(x,),其中为未知参数(f为已知函数).,若X是离散型随机变量，似然函数定义为,称为X关于样本观察值的似然函数。,的样本观察值,为样本,.,23,定义2如果似然函数在时达到最大值,则称是参数的极大似然估计。,例1设总体X服从参数为的指数分布，即有概率密度,又x1,x2,xn为来自于总体的样本值，试求的极大似然估计.,.,24,解：第一步似然函数为,于是,第二步,第三步,经验证，,在,处达到最大，所以,是的极大似然估计。,令,.,25,例2：设X服从(01)分布，PX=1=p,其中p未知，x1,x2,xn为来自于总体的样本值求p的极大似然估计。,解:,得(01)分布之分布律的另一种表达形式,令,.,27,例3：设总体X服从参数为的泊松分布，即X有分布列(分布律),是未知参数，(0,+)，试求的极大似然估计。,解：样本的似然函数为,.,28,从,可以解出,是的极大似然估计。,因此,.,29,极大似然估计的优点利用了分布函数形式,得到的估计量的精度一般较高。极大似然估计的缺点要求必须知道总体的分布函数形式,.,30,若总体X的概率密度为：,求解方程组,即可得到极大似然估计,多参数情形的极大似然估计,.,31,数学上可以严格证明，在一定条件下，只要样本容量n足够大，极大似然估计和未知参数的真值可相差任意小。,.,32,例4：设为正态总体的一个样本值，求:和的极大似然估计.,解：似然函数为,.,33,解方程组,得,这就是,和,的极大似然估计,即,例5设X为离散型随机变量,其分布律如下(01/2),随机抽样得3，1，3，0，3，1，2，3，分别用矩方法和极大似然法估计参数。,