河北清河清河中学高一数学《24 函数的单调性》课件

基础知识一、单调性定义1单调性定义：给定区间D上的函数f(x)，若对于D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数对于D，当x1,2证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入手(1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是：；(2)设函数yf(x)在某区间内可导如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数,任取x1、x2D，且x1,二、单调性的有关结论1若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)g(x)函数2若f(x)为增(减)函数，则f(x)为函数3互为反函数的两个函数有的单调性4yfg(x)是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数fg(x)为；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数fg(x)为5奇函数在其对称区间上的单调性；偶函数在其对称区间上的单调性,仍为增,(减),减(增),相同,增函数,减函数,相同,相反,三、函数单调性的应用有：(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小(2)求某些函数的值域或最值(3)解证不等式(4)作函数图象,易错知识一、不理解函数单调性概念而失误1函数f(x)的单调减区间为_答案：(，0)和(0，)2已知f(x)为偶函数，在(0，)为减函数，若f()0f()，则方程f(x)0的根的个数是_答案：2,二、求函数的单调性时忽视函数定义域而失误3函数ylog0.7(x23x2)的单调性为_答案：在(，1)上为增函数，在(2，)上为减函数,三、函数与方程思想应用失误4若则a，b，c的大小关系为_答案：cab解题思路：方法一：,方法二：构造函数f(x)(x0)，y.令y0，lnx1，xe.f(x)在(e，)上是减函数，在(0，e)上是增函数解法一：a.543e，f(5)f(4)f(3)bac.,解法二：由y在(e，)上为减函数，又e35，bc.ac(6a6b)(ln8ln9)0，ab.ac(10a10b)(ln32ln25)0，ac，故bac.,错因分析：误区1：解题思路不清，找不到解题方法，不会构造函数f(x)(x0)；误区2：能构造出函数，判断出函数单调性，但2、3、5不在一个单调区间，而a这一巧变学生很难过渡解法二中比较a、b，a、c的技巧，在于系数找最小公倍数启示：思想方法是数学中考查的一个重点，方法灵活多变，平时学生注意多积累,回归教材1下列函数中，在区间(0,2)上是增函数的是()Ayx1ByCyx24x5Dy解析：A是减函数，B中y2x(x0)由二次函数的图象可知x(0,2)上是增函数，C中y(x2)21在x(0,2)上是减函数，D是反比例函数是减函数答案：B,2(教材P1601题改编)函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，则()AkBkCkDk解析：xR，y(2k1)xb是减函数，2k10，得k.答案：D,3(教材P602题改编)反比例函数y.若k0，则函数的递减区间是_若k0，则函数的递增区间是_答案：(，0)，(0，)(，0)，(0，),4(2009华东师大附中)若函数ymx2x5在2，)上是增函数，则m的取值范围是_解析：根据题意可得：当m0，yx5在(2，)上是增函数；当m0时，且2，解得：0m.综上所述，m的取值范围是0m.答案：0m,5函数f(x)log5(x22x8)的增区间是_；减区间是_答案：(4，)(，2),【例1】已知函数f(x)log2，求函数f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性,解析(1)x须满足所以函数f(x)的定义域为(1,0)(0,1)(2)因为函数f(x)的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有,研究f(x)在(0,1)内的单调性，任取x1、x2(0,1)，且设x10，即f(x)在(0,1)内单调递减由于f(x)是奇函数，所以f(x)在(1,0)内单调递减,总结评述由于函数f(x)是奇函数，只要判断其在(0,1)上的单调性便可知道它在对称区间(1,0)上的单调性，故在判断其单调性时，首先在(0,1)上任取x1、x2，否则，若直接在(1,0)(0,1)上任取x1x2，则f(x1)f(x2)变形后的符号便不能判断综合利用函数的单调性与奇偶性是解决本题的关键,判断下列函数的单调性并证明(1)f(x)，x(1，)；(2)f(x)x22x1，x1，)；(3)f(x)，x1，)命题意图：先判断单调性，再用单调性的定义证明(1)采用通分进行变形，(2)采用因式分解进行变形，(3)采用分子有理化的方式进行变形,解析：(1)函数f(x)在(1，)上为减函数利用定义证明如下：任取x1、x2(1，)，且1x1x11，x2x10，x2x12，x2x120，f(x1)f(x2)(x2x1)(x2x12)0，即有f(x1)f(x2)故函数f(x)x22x1在1，)上为减函数,(3)函数f(x)在1，)上为增函数，证明如下：任取x1、x21，)且1x10，(1)判断函数f(x)在1，)上的单调性；(2)在(1)的条件下解不等式f(x22x3)x21，则x1x20，x1x211，所以f(x1x21)0.又f(x1x21)f(x1x2)f(1)2(x1x2)1，所以f(x1)f(x2)f(x2(x1x2)f(x2)f(x1x2)2x2(x1x2)1f(x1x21)2(x1x2)(x21)0.所以f(x1)f(x2)，即f(x)在1，)上单调递增,(2)令y1，则f(x1)f(x)12x，所以f(x1)f(x)2x1.所以f(2)f(1)3，f(3)f(2)5，f(4)f(3)7，f(n)f(n1)2(n1)12n1，上述等式两边分别相加得f(n)f(1)357(2n1)n21，又因为f(1)0，所以f(n)n21，而当n21120时，n11，所以不等式f(x22x3)120等价于f(x22x3)f(11)，又因为x22x3(x1)222.所以不等式又等价于x22x311，所以2x4.即不等式f(x22x3)120的解集为x|20，且f(xy)f(x)f(y)(1)求f(1)；(2)证明f(x)在定义域上是增函数；(3)如果f()1，求满足不等式f(x)f()2的x的取值范围,分析：(1)的求解是容易的；对于(2)，应利用单调性定义来证明，其中应注意f(xy)f(x)f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(xy)f(x)f(y)进行适当配凑，将所给不等式化为fg(x)f(a)的形式，再利用f(x)的单调性来求解,解析：(1)令xy1，得f(1)2f(1)，故f(1)0.,总结评述：本题中的函数是抽象函数，涉及了函数在某点处的值、函数单调性的证明、不等式的求解在本题的求解中，一个典型的方法技巧是根据所给式子f(xy)f(x)f(y)进行适当的赋值或配凑这时该式及由该式推出的f()f(x)实际上已处于公式的地位，在求解中必须依此为依据,1单调性首先要求函数的定义域，单调区间是定义域的子区间2单调性的定义中x1，x2要有任意性，且不能用两个特殊值的大小判断函数在区间上的单调性例如：对函数f(x)，由于f(1)f(2)，所以函