河北省武邑中学2020届高三年级下学期第二次质检考试 数学（文）（PDF版）

第第 1 页页 共共 6 页页 河北武邑中学河北武邑中学 2019201920202020 学年高三年级下学期第二次质检考试学年高三年级下学期第二次质检考试 数学试题（文科）数学试题（文科）命题人：刘玉芬命题人：刘玉芬 注意事项：注意事项： 1 1本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和卷（选择题）和 IIII 卷（非选择题）两部分，满分卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间分，考试时间120分钟。分钟。 2 2答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项注意事项” ，按照，按照“注意事项注意事项”的规定答题。的规定答题。 3 3选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。 第第卷卷选择题（共选择题（共 6060 分）分） 一一. 选择题选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符有且只有一项符 合题目要求合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。将正确答案填涂在答题卡上。 1.1.已知集合已知集合A A x x| |x x 2 2 3 3x x4 400，B B y y| |y y2 2 x x+3 +3，则，则A AB B（） A A33，4 4）B B（1 1，+ +）C C（3 3，4 4）D D（3 3，+ +） 2.2.已知复数已知复数z z1 13 3bibi，z z2 21 12 2i i，若，若是实数，则实数是实数，则实数b b的值为（的值为（） A A0 0B B6 6C C6 6D D 3.3.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能. .共享经济是公众将闲置资共享经济是公众将闲置资 源通过社会化平台与他人共享源通过社会化平台与他人共享， 进而获得收入的经济现象进而获得收入的经济现象. .为考察共享经济对企业经济活跃度的影响为考察共享经济对企业经济活跃度的影响， 在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验， 根据四个企业得到的试验数据画出如下四个根据四个企业得到的试验数据画出如下四个 等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（） A.A.B.B.C.C.D.D. 4.4.设设 1 tan 2 ， 4 cos()(0,) 5 ，则，则tan(2)的值为（的值为（） A A 7 24 B B 5 24 C C 5 24 D D 7 24 5.5.大衍数列来源于我国古代文献大衍数列来源于我国古代文献乾坤谱乾坤谱中对易传中对易传“大衍之数五十大衍之数五十”的推论的推论，主要用于解释我国传主要用于解释我国传 统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和. . 第第 2 页页 共共 6 页页 已知该数列前已知该数列前 1010 项是项是 0 0，2 2，4 4，8 8，1212，1818，2424，3232，4040，5050，则大衍数列中奇数项的通项公式则大衍数列中奇数项的通项公式 为（为（）A.A. 2 2 nn B.B. 2 1 2 n C.C. 2 1 2 n D.D. 2 2 n 6 椭圆椭圆 22 39 1 xy 的左的左、 右焦点分别为右焦点分别为 1 F、 2 F， 点点P在椭圆上在椭圆上， 如果如果 1 PF的中点在的中点在y轴上轴上， 那么那么 1 PF 是是 2 PF的（的（）A7 倍倍B6 倍倍C5 倍倍D4 倍倍 7.7.如图所示如图所示，某几何体的正视图与俯视图均为边长为某几何体的正视图与俯视图均为边长为 4 4 的正方形的正方形，其侧其侧 视图中的曲线为视图中的曲线为 1 4 圆周，则该几何体的体积为（圆周，则该几何体的体积为（） A AB BC CD D 8函数函数( )2 1 x x f x x 的图象大致为（的图象大致为（） AB CD 9.9.已知函数已知函数 2 0 , 0, 0 A与与 轴交于点轴交于点 2 3 , 0M，距离距离 轴最近的轴最近的 最高点最高点 3 , 9 N，若若，且且，恒有恒有，则实数则实数 的最大值为的最大值为（） A A 3 B B 6 C C 9 D D 9 2 10.10.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河 ”诗中隐含着诗中隐含着 一个有趣的数学问题一一个有趣的数学问题一“将军饮马将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边 第第 3 页页 共共 6 页页 饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x x 2 2+ +y y2 2 1 1， 若将军从点若将军从点A A（3 3，0 0）处出发，河岸线所在直线方程为）处出发，河岸线所在直线方程为x x+ +y y4 4，并假定将军只要到达军营所在区，并假定将军只要到达军营所在区 域即回到军营，则域即回到军营，则“将军饮马将军饮马”的最短总路程为（的最短总路程为（） A A117 B B217 C C17D D23 11.11.如图，如图， 为为的外心，的外心，为钝角，为钝角，是边是边的中点，的中点， 则则的值为（的值为（）A.A. 4 4B.B.C.C.D.D. 12已知定义在已知定义在R上的函数上的函数 yf x对任意对任意x都满足都满足 1f xf x，且当且当 01x时，时， f xx，则函数，则函数 ln|g xf xx的零点个数为的零点个数为() A5B4C3D2 第第卷卷 非选择题（共非选择题（共 9090 分）分） 二二填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，将答案填在答题卡上相应位置。分，将答案填在答题卡上相应位置。 13.13. 若若 , x y满足约束条件 满足约束条件 220 330 0 xy xy x ，则，则z xy 的最小值为的最小值为_._. 14.利用随机模拟方法计算利用随机模拟方法计算4y和和 2 yx=所围成图形的面积所围成图形的面积.首先利用计算机产生两组首先利用计算机产生两组 01 区间的均区间的均 匀随机数匀随机数， 1 aRAND，RANDb 1 ，然后进行平移和伸缩变换然后进行平移和伸缩变换， 11 4,5 . 04bbaa，若共产若共产 生了生了N个样本点个样本点( , )a b，其中落在所围成图形内的样本点数为，其中落在所围成图形内的样本点数为 1 N，则所围成图形的面积可估计为，则所围成图形的面积可估计为 _.（结果用（结果用N， 1 N表示）表示） 15 已知双曲线已知双曲线C： 22 22 1 xy ab 0,0ab的左右焦点分别为的左右焦点分别为 1 F， 2 F，P为双曲线为双曲线C上一点上一点，Q 为双曲线为双曲线 C 渐近线上一点渐近线上一点，P，Q均位于第一象限均位于第一象限，且且 2 2QPPF ， 12 0QF QF ，则双曲线则双曲线 C的离心率为的离心率为_ 16.16.点点 P P 为棱长是为棱长是 3 3 的正方体的正方体的内切球的内切球 O O 球面上的动点，点球面上的动点，点 P P 满足满足 则动点则动点 P P 的轨迹的长度为的轨迹的长度为_ 三三解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第第 4 页页 共共 6 页页 17（本题满分（本题满分 12 分）分） 为利于分层教学为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了某学校根据学生的情况分成了 A,B,C 三类三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分经过一段时间的学习后在三类学生中分 别随机抽取了别随机抽取了 1 个学生的个学生的 5 次考试成绩，其统计表如下：次考试成绩，其统计表如下： A 类类 第第 x 次次12345 分数分数 y（小于等于（小于等于 150）145839572110 180,10 5 1 2 5 1 2 5 1 i i i i i i yyxxxx； B 类类 第第 x 次次12345 分数分数 y（小于等于（小于等于 150）85939076101 60,10 5 1 2 5 1 2 5 1 i i i i i i yyxxxx C 类类 第第 x 次次12345 分数分数 y（小于等于（小于等于 150）8592101100112 63,10 5 1 2 5 1 2 5 1 i i i i i i yyxxxx （1）经 计 算 已 知经 计 算 已 知 A,B 的 相 关 系 数的 相 关 系 数r分 别 为分 别 为,25. 0,45. 0 21 rr请 计 算 出请 计 算 出 C 学 生 的学 生 的 5 , 4 , 3 , 2 , 1,iyx ii 的相关系数的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定； （结果保结果保 留三位有效数字，留三位有效数字，r越大认为成绩越稳定越大认为成绩越稳定） 。 （2）利用利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归方程为已知线性回归方程为axy2 . 6，利用线性回归利用线性回归 方程预测该生第九次的成绩。方程预测该生第九次的成绩。 参考公式参考公式： （1）样本）样本()(,1,2, ) ii x yin的相关系数的相关系数 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 第第 5 页页 共共 6 页页 （2）对于一组数据对于一组数据 11 ( ,)x y， 22 (,)xy，(,) nn xy，其回归方程其回归方程 ybxa 的斜率和截距的最小的斜率和截距的最小 二乘估计分别为二乘估计分别为 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ，a ybx . 18 （本题满分（本题满分 12 分）分） 已知等比数列已知等比数列 n a的公比的公比1q ，且且 135 42aaa， 3 9a 是是 15 ,a a的等差中项的等差中项，数列数列 n b的通项的通项 公式公式 1 2 11 n n nn b aa ， * nN . （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）求数列）求数列 n b的前的前 n 项和项和 n S. 19如图如图，四边形四边形PCBM是直角梯形是直角梯形，90PCB，/PMBC，1PM ，2BC ，又又1AC ， 120ACB，ABPC，直线，直线AM与直线与直线PC所成的角为所成的角为 60. （1）求证：）求证：PCAC； （2）求点）求点B到平面到平面ACM的距离的距离. 第第 6 页页 共共 6 页页 20.（本题满分（本题满分 12 分）分） 已知抛物线已知抛物线 2 2yx，过点，过点(1,1)P分别作斜率为分别作斜率为 1 k， 2 k的抛物线的动弦的抛物线的动弦AB、 CD，设，设M、N分别为线段分别为线段AB、CD的中点的中点 （）若）若P为线段为线段AB的中点，求直线的中点，求直线AB的方程；的方程； （）若）若 12 1kk，求证直线，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标恒过定点，并求出定点坐标 21.（本题满分（本题满分 12 分）分） 已知函数已知函数( ) x f xex （1）讨论讨论( )f x的单调性；的单调性； （2）若若 12 ()()f xf x， 12 xx，求证：，求证： 12 2 xx ee 请考生在请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分做答时，请用题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分做答时，请用 2B 铅铅 笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22(本小题满分本小题满分 10 分分)选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中中，曲线曲线 1 C的参数方程为的参数方程为 3cos 33sin x y （为参数为参数） ，以坐标原点以坐标原点O为为 极点，极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为的极坐标方程为2cos. . （1 1）求曲线）求曲线 1 C的普通方程和的普通方程和 2 C的直角坐标方程；的直角坐标方程； （2 2）已知曲线已知曲线 3 C的极坐标方程为的极坐标方程为（0 ，R） ，点点A是曲线是曲线 3 C与与 1 C的交点的交点，点点B是是 曲线曲线 3 C与与 2 C的交点，的交点，A、B均异于原点均异于原点O，且，且| | 2 2AB ，求实数，求实数的值的值. . 23(本小题满分本小题满分 10 分分)选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 已知函数已知函数 23fxxax， 23g xx 1解不等式解不等式 6g x ； 2若对任意的若对任意的 2 xR，均存在，均存在 1 xR，使得，使得 12 g xf x成立，求实数成立，求实数a a的取值范围的取值范围 第第 7 页页 共共 21 页页 河北武邑中学河北武邑中学 2019201920202020 学年高三年级下学期第二次质检考试学年高三年级下学期第二次质检考试 数学试题（文科）答案数学试题（文科）答案 一一. .选择题：本题共选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符 合题目要求合题目要求, ,将正确答案填涂在答题卡上。将正确答案填涂在答题卡上。 1.1.已知集合已知集合A A x x| |x x 2 2 3 3x x4 400，B B y y| |y y2 2 x x+3 +3，则，则A AB B（） A A33，4 4）B B（1 1，+ +）C C（3 3，4 4）D D（3 3，+ +） 解：解：集合集合A A x x| |x x 2 2 3 3x x4 400 x x| |1 1x x44，B B y y| |y y2 2 x x+3 +3 y y| |y y33， A AB B x x| |x x11（1 1，+ +）故选：）故选：B B 2 2已知复数已知复数z z1 13 3bibi，z z2 21 12 2i i，若，若是实数，则实数是实数，则实数b b的值为（的值为（） A A0 0B B6 6C C 6 6D D 解：解：是实数，是实数， 则则 6 6b b0 0，实数实数b b的值为的值为 6 6， 故选故选 C C 3.3.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能. .共享经济是公众将闲置资共享经济是公众将闲置资 源通过社会化平台与他人共享源通过社会化平台与他人共享， 进而获得收入的经济现象进而获得收入的经济现象. .为考察共享经济对企业经济活跃度的影响为考察共享经济对企业经济活跃度的影响， 在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验， 根据四个企业得到的试验数据画出如下四个根据四个企业得到的试验数据画出如下四个 等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（） A.A.B.B.C.C.D.D. 解：解： 根据四个列联表中的等高条形图可知，根据四个列联表中的等高条形图可知， 图中图中 D D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大， 它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选 D D 4 4设设 1 tan 2 ， 4 cos()(0,) 5 ，则，则tan(2)的值为（的值为（） A A 7 24 B B 5 24 C C 5 24 D D 7 24 第第 8 页页 共共 21 页页 解：解： 1 tan 2 ， 2 2tan4 tan2 1tan3 ， 4 cos()cos 5 ，(0,)， 4 cos 5 ， 3 sin 5 ， 3 tan 4 ， 43 tan2tan7 34 tan(2) 43 1tan2tan24 1 34 【答案】【答案】D D 5.5.大衍数列来源于我国古代文献大衍数列来源于我国古代文献乾坤谱乾坤谱中对易传中对易传“大衍之数五十大衍之数五十”的推论的推论，主要用于解释我国传主要用于解释我国传 统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和. . 已知该数列前已知该数列前 1010 项是项是 0 0，2 2，4 4，8 8，1212，1818，2424，3232，4040，5050，则大衍数列中奇数项的通项公式则大衍数列中奇数项的通项公式 为（为（）A.A. 2 2 nn B.B. 2 1 2 n C.C. 2 1 2 n D.D. 2 2 n 解：由题意解：由题意 1 0a ，排除，排除 D D， 3 4a ，排除，排除 A A，C C同时同时 B B 也满足也满足 5 12a ， 7 24a ， 9 40a ， 故选：故选：B B 6 椭圆椭圆 22 39 1 xy 的左的左、 右焦点分别为右焦点分别为 1 F、 2 F， 点点P在椭圆上在椭圆上， 如果如果 1 PF的中点在的中点在y轴上轴上， 那么那么 1 PF 是是 2 PF的（的（） A7 倍倍B6 倍倍C5 倍倍D4 倍倍 【答案】【答案】C 7 7如图所示如图所示，某几何体的正视图与俯视图均为边长为某几何体的正视图与俯视图均为边长为 4 4 的正方形的正方形， 其侧视图中的曲线为其侧视图中的曲线为 圆周，则该几何体的体积为（圆周，则该几何体的体积为（） A AB BC CD D 第第 9 页页 共共 21 页页 解：结合题意，绘制图像，如图所示解：结合题意，绘制图像，如图所示 平面平面 DEFDEF 的面积为的面积为，故该几何体的体积，故该几何体的体积 ，故选，故选 B.B. 8函数函数( )2 1 x x f x x 的图象大致为（的图象大致为（） AB CD 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 【分析】【分析】 根据导数和单调性的关系，判断函数的单调性，再判断函数的变化趋势，即可得到答案根据导数和单调性的关系，判断函数的单调性，再判断函数的变化趋势，即可得到答案 【详解】【详解】 解：解： 1 ( )221 11 xx x f x xx 的定义域为的定义域为(, 1)( 1,) ， 2 1 ( )2 ln20 (1) x fx x 恒成立，恒成立， ( )f x在在(, 1) ，( 1,) 单调递增，单调递增， 当当 0 xx时，时，( )0fx，函数单调递增，故排除，函数单调递增，故排除C，D， 当当x 时，时，20 x ，1 1 x x ， ( )1f x ，故排除，故排除B， 第第 10 页页 共共 21 页页 故选：故选：A 【点睛】【点睛】 本题主要考查函数图象的识别，关键是掌握函数的单调性和函数值的变化趋势，属于中档题本题主要考查函数图象的识别，关键是掌握函数的单调性和函数值的变化趋势，属于中档题 9.9.已知函数已知函数 2 0 , 0, 0 A与与 轴交于点轴交于点 2 3 , 0M，距离距离 轴最近的轴最近的 最高点最高点 3 , 9 N，若若，且且，恒有恒有，则实数则实数 的最大值为的最大值为（） A AB BC CD D 解：由题意得，解：由题意得， ，由五点作图法知，由五点作图法知，解得，解得， ，令，令，. . 解得解得，. .，故选，故选:C.:C. 10.10.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河 ”诗中隐含着诗中隐含着 一个有趣的数学问题一一个有趣的数学问题一“将军饮马将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边 饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x x 2 2+ +y y2 2 1 1， 若将军从点若将军从点A A（3 3，0 0）处出发，河岸线所在直线方程为）处出发，河岸线所在直线方程为x x+ +y y4 4，并假定将军只要到达军营所在区，并假定将军只要到达军营所在区 域即回到军营，则域即回到军营，则“将军饮马将军饮马”的最短总路程为（的最短总路程为（） A A117 B BC CD D 【答案】【答案】A A 【解析】分析：求出【解析】分析：求出A A关于关于x x+ +y y4 4 的对称点的对称点A A ，根据题意，根据题意，A A C C为最短距离，求出即可为最短距离，求出即可 解：设点解：设点A A关于直线关于直线x x+ +y y4 4 的对称点的对称点A A （a a，b b） ，设军营所在区域为的圆心为，设军营所在区域为的圆心为C C， 根据题意，根据题意，A A C C1 1 为最短距离，先求出为最短距离，先求出A A 的坐标，的坐标， 第第 11 页页 共共 21 页页 AAAA 的中点为（的中点为（，） ，直线，直线AAAA 的斜率为的斜率为 1 1， 故直线故直线AAAA 为为y yx x3 3， 由由，联立得故，联立得故a a4 4，b b1 1， 所以所以A A C C， 故故A A C C1 1117 ，故选：，故选：A A 11.11.如图如图， 为为的外心的外心，为钝角为钝角，是边是边的中点的中点， 则则的值为（的值为（） A.A. 4 4B.B.C.C.D.D. 12已知定义在已知定义在R上的函数上的函数 yf x对任意对任意x都满足都满足 1f xf x，且当，且当01x时，时， f xx，则函数，则函数 ln|g xf xx的零点个数为的零点个数为() A5B4C3D2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 【详解】【详解】 当当 01x 时，则时，则110 x， 此时有此时有( )(1)1f xf xx ， 1f xf x， 21( )( )f xf xf xf x ， 函数函数 yf x是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 第第 12 页页 共共 21 页页 令令 ln0g xf xx，则，则 lnf xx， 由题意得函数由题意得函数 lng xf xx的零点个数即为函数的零点个数即为函数 yf x的图象与函数的图象与函数yln x的图象交的图象交 点的个数点的个数 在同一坐标系内画出函数在同一坐标系内画出函数 yf x和函数和函数yln x的图象（如图所示的图象（如图所示） ， 结合图象可得两函数的图象有三个交点，结合图象可得两函数的图象有三个交点， 函数函数 lng xf xx的零点个数为的零点个数为 3.选选 C 点睛：已知函数有零点点睛：已知函数有零点(方程有根方程有根)求参数值求参数值(取值范围取值范围)常用的方法常用的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图 象，利用数形结合的方法求解象，利用数形结合的方法求解 13.13.若若 , x y满足约束条件 满足约束条件 220 330 0 xy xy x ，则，则z xy 的最小值为（的最小值为（） A A3B B1 1C C2 解：先作可行域，则直线解：先作可行域，则直线z xy 过点过点(0,2)A时取最小值时取最小值2， 选选 C.C. 14.利用随机模拟方法计算利用随机模拟方法计算4y和和 2 yx=所围成图形的面积所围成图形的面积.首先利首先利 用计算机产生两组用计算机产生两组 01 区间的均匀随机数，区间的均匀随机数， 1 aRAND， RANDb 1 ，然后进行平移和伸缩变换，然后进行平移和伸缩变换， 11 4,5 . 04bbaa， 若共产生了若共产生了N个样本点个样本点( , )a b，其中落在所围成图形内的样本点数为其中落在所围成图形内的样本点数为 1 N，则所围成图形的面积可估则所围成图形的面积可估 第第 13 页页 共共 21 页页 计为计为_.（结果用（结果用N， 1 N表示）表示） 【答案】【答案】 N N116 15 已知双曲线已知双曲线C： 22 22 1 xy ab 0,0ab的左右焦点分别为的左右焦点分别为 1 F， 2 F，P为双曲线为双曲线C上一点上一点，Q 为双曲线为双曲线 C 渐近线上一点渐近线上一点，P，Q均位于第一象限均位于第一象限，且且 2 2QPPF ， 12 0QF QF ，则双曲线则双曲线C 的离心率为的离心率为_. 【答案】【答案】 132 【解析】【解析】 由双曲线的方程由双曲线的方程 22 22 1 xy ab 的左右焦点分别为的左右焦点分别为 12 ,F F，P为双曲线为双曲线C上的一点，上的一点，Q为双曲线为双曲线C的的 渐近线上的一点，且渐近线上的一点，且,P Q都位于第一象限，且都位于第一象限，且 212 2,0QPPFQF QF ， 可知可知P为为 2 QF的三等分点，且的三等分点，且 12 QFQF , 点点Q在直线在直线 0bxay 上，并且上，并且OQc，则，则( , )Q a b， 2( ,0) F c， 设设 11 (,)P x y，则，则 1111 2(,)(,)xa ybcxy， 解得解得 11 22 , 33 acb xy ，即，即 22 (,) 33 acb P ， 代入双曲线的方程可得代入双曲线的方程可得 2 2 (2)4 1 99 ac a ，解得，解得132 c e a 点睛点睛：本题考查了双曲线的几何性质本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心双曲线的离心 率是双曲线最重要的几何性质率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率求双曲线的离心率(或离心率的取值范围或离心率的取值范围)，常见有两种方法常见有两种方法：求出求出 , a c，代入公式 ，代入公式 c e a ；只需要根据一个条件得到关于只需要根据一个条件得到关于, ,a b c的齐次式，转化为的齐次式，转化为 , a c的齐次式，然 的齐次式，然 后转化为关于后转化为关于e的方程的方程(不等式不等式)，解方程，解方程(不等式不等式)，即可得，即可得e(e的取值范围的取值范围) 16.点点P为棱长是为棱长是3的正方体的正方体 1111 ABCDABC D的内切球的内切球O球面上的动点，点球面上的动点，点P满足满足 1 BPAC， 则动点则动点P的轨迹的长度为的轨迹的长度为 第第 14 页页 共共 21 页页 17 （本题满分（本题满分 12 分）分） 为利于分层教学为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了某学校根据学生的情况分成了 A,B,C 三类三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分经过一段时间的学习后在三类学生中分 别随机抽取了别随机抽取了 1 个学生的个学生的 5 次考试成绩，其统计表如下：次考试成绩，其统计表如下： A 类类 第第 x 次次12345 分数分数 y（小于等于（小于等于 150）145839572110 180,10 5 1 2 5 1 2 5 1 i i i i i i yyxxxx； B 类类 第第 x 次次12345 分数分数 y（小于等于（小于等于 150）85939076101 60,10 5 1 2 5 1 2 5 1 i i i i i i yyxxxx C 类类 第第 x 次次12345 分数分数 y（小于等于（小于等于 150）8592101100112 第第 15 页页 共共 21 页页 63,10 5 1 2 5 1 2 5 1 i i i i i i yyxxxx （3）经计算已经计算已知知A,B的相关系数分别为的相关系数分别为,25. 0,45. 0 21 rr请计算请计算出出C学生的学生的5 , 4 , 3 , 2 , 1,iyx ii 的相关系数的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定； （结果保留三位有效数字结果保留三位有效数字，r 越大认为成绩越稳定越大认为成绩越稳定） 。 （4）利用利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归方程为已知线性回归方程为axy2 . 6，利用线性回归利用线性回归 方程预测该生第九次的成绩。方程预测该生第九次的成绩。 参考公式参考公式： （1）样本）样本()(,1,2, ) ii x yin的相关系数的相关系数 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy （2）对于一组数据对于一组数据 11 ( ,)x y， 22 (,)xy，(,) nn xy，其回归方程其回归方程 ybxa 的斜率和截距的最小的斜率和截距的最小 二乘估计分别为二乘估计分别为 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ，a ybx . 相关系数相关系数984. 0 63 62 3 r， 第第 16 页页 共共 21 页页 又因为又因为 213 rrr，则，则 C 类学生学习成绩最稳定类学生学习成绩最稳定 当当9x时，时，2 .135 y， 所以预测该生的第九次成绩约为所以预测该生的第九次成绩约为 135.2. 18.已知等比数列已知等比数列 n a的公比的公比1q ，且，且 135 42aaa， 3 9a 是是 15 ,a a的等差中项，数列的等差中项，数列 n b的的 通项公式通项公式 1 2 11 n n nn b aa ， * nN . （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）求数列）求数列 n b的前的前 n 项和项和 n S. 解解： （1）由）由 3 9a 是是 1 a， 5 a的等差中项得的等差中项得 153 218aaa， 所以所以 135 aaa 3 31842a，解得，解得 3 8a ， 由由 15 34aa，得，得 2 2 8 834q q ，解得，解得 2 4q 或或 2 1 4 q ，因为，因为1q ，所以，所以2q =. 所以，所以，2n n a . （2）由（）由（1）可得）可得 1 2 2121 n n nn b ， * nN . 所以所以 1 2 2121 n n nn b 1 11 2 ( 2121) ( 2121)( 2121) nnn nnnn 1 1 2 ( 2121) 21 21 nnn nn 1 1 2 ( 2121) 2121 2 nnn nn n ， 所以所以+. 第第 17 页页 共共 21 页页 19如图如图，四边形四边形PCBM是直角梯形是直角梯形，90PCB，/PMBC，1PM ，2BC ，又又1AC ， 120ACB，ABPC，直线，直线AM与直线与直线PC所成的角为所成的角为 60. （1）求证：）求证：PCAC； （2）求点）求点B到平面到平面ACM的距离的距离. 【答案【答案】 （1）证明见解析）证明见解析； （2） 2 21 7 . 【解析】【解析】 【分析】【分析】 （1）根据已知根据已知BCPC，ABPC，可得可得PC 平面平面 ABC，即可证明结论；，即可证明结论； （2）过）过M做做/ /MOPC，交，交BC于于O，连，连AO，根据，根据 （1）可得）可得OM 平面平面ABC，得到，得到OMA为异面直线为异面直线 AM与直线 与直线PC所成的角，在所成的角，在AOC求出求出OA，Rt AOM中可得出中可得出,OM AM，求出，求出, ACMABC SS ， 用等体积法，即可求解用等体积法，即可求解. 【详解】【详解】 （1）BCPC，ABPC，ABBCB， PC 平面平面ABC， AC 平面平面ABC，PCAC. （2）过）过M做做/ /MOPC，交，交BC于于O，连，连AO， 第第 18 页页 共共 21 页页 1PM ，2BC ，O为为BC中点，中点， PC 平面平面ABC，OM 平面平面ABC，OMOA， OMA为异面直线为异面直线AM与直线与直线PC所成的角，所成的角， 60OMA，在，在AOC中，由余弦定理得，中，由余弦定理得， 222 2cos3OACAOCCA OCACB ， 3,1,2 tan60 OA OAOMAM ， 2MC 在在ACM中，中， 222 4 1 23 cos 22 2 14 AMACMC MAC AM AC ， 2 7 sin1 cos 4 MACMAC ， 17 sin 24 MAC SAC AMMAC ， 13 sin 22 ABC SCA CBACB ， 设点设点B到平面到平面ACM的距离为的距离为, MABCB MAC h VV ， 3 112 21 2 , 3377 4 ABCMAC SOMShh ， 点点B到平面到平面ACM的距离为的距离为 2 21 7 . 【点睛】【点睛】 本题考查空间点本题考查空间点、线线、面位置关系面位置关系，证明直线与直线垂直证明直线与直线垂直，应用等体积法求点到平面的距离应用等体积法求点到平面的距离，考查直考查直 观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. . 第第 19 页页 共共 21 页页 20.（本题满分（本题满分 12 分）分）已知抛物线已知抛物线 2 2yx，过点，过点(1,1)P分别作斜率为分别作斜率为 1 k， 2 k的抛物线的动弦的抛物线的动弦AB、 CD，设，设M、N分别为线段分别为线段AB、CD的中点的中点 （）若）若P为线段为线段AB的中点，求直线的中点，求直线AB的方程；的方程； （）若）若 12 1kk，求证直线，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标恒过定点，并求出定点坐标 解解： （）设设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，则，则 2 11 2yx， 2 22 2yx ，得，得 121212 ()()2()yyyyxx 又因为又因为(1,1)P是线段是线段AB的中点，所以的中点，所以 12 2yy 所以，所以， 21 1 2121 2 =1 yy k xxyy 又直线又直线AB过过(1,1)P，所以直线，所以直线AB的方程为的方程为yx；5 5 分分 （）依题设依题设(,) MM M xy，直线，直线AB的方程为的方程为 1 1(1)yk x ，即，即 11 1yk xk ， 亦即亦即 12 yk xk，代入抛物线方程并化简得，代入抛物线方程并化简得 222 1122 (22)0k xk kxk 所以，所以， 1212 12 22 11 2222k kk k xx kk 7 7 分分 于是，于是， 12 2 1 1 M k k x k ， 12 1212 2 1 1 1 1 MM k k ykxkkk k k 同理，同理， 12 2 2 1 N k k x k ， 2 1 N y k 9 9 分分 易知易知 1 2 0k k ，所以直线，所以直线MN的斜率的斜率 21 21 1 MN MN yyk k k xxk k 故直线故直线MN的方程