江苏省苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2020届高三第一次调研考试（期末考试）数学（扫描版）

连云港市连云港市 2020 届高三第一学期期末调研考试届高三第一学期期末调研考试 数学数学 I 参考答案与评分标准参考答案与评分标准 一、填空题： 112xx- 22i-3 4 5 42054,+ )6 1 2 74 8 1 4 913510 3 2 11 22 (2)8xy+=12313 4 7 14 3 4 二、解答题： 15 （1）在PBC中，因为 M，N 分别为棱 PB，PC 的中点， 所以 MN/ BC 3 分 又 MN平面 AMN，BC平面 AMN， 所以 BC/平面 AMN6 分 （2）在PAB中，因为APAB=，M 为棱 PB 的中点， 所以AMPB8 分 又因为平面 PAB平面 PBC，平面 PAB平面 PBCPB=，AM 平面 PAB， 所以AM 平面 PBC12 分 又AM 平面 AMN，所以平面 AMN平面 PBC 14 分 16 （1）在ABC中，由余弦定理 222 2cosbcbcAa+-=得， 2 5 2022 525 5 bb+- =，即 2 450bb-=，4 分 解得5b=或1b=-（舍） ，所以5b= 6 分 （2）由 5 cos 5 A=及0Ap得， 22 52 5 sin1cos1() 55 AA=-=-=，8 分 所以 210 coscos()cos()(cossin ) 4210 CABAAA p =p-+= -+= -=， 又因为0Cp，所以 22 103 10 sin1 cos1 () 1010 CC=-=-=， 从而 3 10 sin10 tan3 cos 10 10 C C C =，12 分 所以 22 2tan233 tan2 1tan134 C C C = - - 14 分 17 （1）在SAO中， 2222 534SOSAAO=-=-= ， 2 分 A P N M C B 由 1 SNOSAO可知， 1 SOr SOR =，所以 1 4 3 SOr=，4 分 所以 1 4 4 3 OOr=-，所以 223 144 ( )(4)(3),03 339 V rrrrrr=-=-7 分 （2）由（1）得 23 4 ( )(3),03 9 V rrrr=- ，所以 ( )V r在(0,2)上单调递增； 当 (2,3)r 时，( )0V r ，所以( )g x单调递增，至多有一个零点4 分 当0a，( )g x单调递增， 当 1 (+ )x a -，时，( )0g x，解得 2 e0a - -7 分 因为 2 e0a - - 因为(1)10ga=- ，所以( )g x在 1 (0) a -，上存在一个零点 8 分 因为 2 e0a - -， 因为 2 0 t y t - = 单调递减， 所以 ( ) 222 2ln ee13e0y - =-，所以 22111 () ln()10g aaa -=-+- 所以( )g x单调递增， 且 11 ( )ln0 22 g=，所以存在 0 1 (1) 2 x ，使得 0 ()0g x=，12 分 因为当 0 (0)xx，时，( )0g x ，所以( )f x单调递增， 所以 0 xx=时，( )f x取得极小值，也是最小值， 此时() 0000 000 111 ()(2)ln(2) 12(4)4f xxxx xxx =-=-= -+，14 分 因为 0 1 (1) 2 x ，所以 0 ()( 1 0)f x - ， 因为( )f xl，且l为整数，所以1l-，即l的最大值为1-16 分 20 （1）由 1 1 nn aka + =-， 1 3a =可知， 2 31ak=-， 2 3 31akk=-， 因为1 n a -为等比数列，所以 2 213 (1)(1)(1)aaa-=-， 即 22 (32)2(32)kkk-=-，即 2 31080kk-+=，解得2k =或 4 3 k =，2 分 当 4 3 k =时， 1 4 3(3) 3 nn aa + -=-，所以3 n a =，则12 n a - =， 所以数列1 n a -的公比为 1，不符合题意； 当2k =时， 1 12(1) nn aa + - =-，所以数列1 n a -的公比 1 1 2 1 n n a q a + - = - ， 所以实数k的值为2 4 分 （2）由（1）知12n n a - =，所以 4 n n nn b n - , =2 , 为奇数, 为偶数, 则 2 2 (41)4(43)44(21)4m m Sm=-+-+-+ 2 (41)(43)4(21)444mm=-+-+-+ 1 44 (4) 3 m mm + - =-+，6 分 则 2122 44 (4) 3 m mmm SSbmm - - =-=-+， 因为 22+1 324m mm bbm+=-+，又 222+322+1 ()()3420 m mmmm bbbb + +-+= -， 且 23 50bb+=， 1 30b =，所以 21 0 m S - ，则 2 0 m S， 设 2 21 0, m t m S bt S - = * N，8 分 则1,3t =或t为偶数，因为 3 1b =不可能，所以1t =或t为偶数， 当 2 1 21 = m m S b S - 时， 1 44 (4) 3 3 44 (4) 3 m m mm mm + - -+ = - -+ ，化简得 2 624844 m mm-+= -， 即 2 42mm-+0，所以m可取值为 1，2，3， 验证 624 135 787 ,3, 323 SSS SSS =得，当2m=时， 4 1 3 S b S =成立12 分 当t为偶数时， 1 2 2 21 44 (4) 33 1 443124 (4)1 3 4 m m m m m mm S S mm mm + - - -+ = + -+- -+ ， 设 2 3124 4 m m mm c -+- =，则 2 1 1 94221 4 mm m mm cc + + -+ -=， 由知3m，当4m=时， 54 5 3 0 4 cc - -=时， 1 0 mm cc + -，所以 456 ccc，所以 m c的最小值为 5 19 1024 c - =， 所以 2 21 3 015 19 1 1024 m m S S - + - + ，令 2 2 21 4 m m S b S - =，则 2 3 14 3124 1 4m mm += -+- + ， 即 2 31240mm-+-=，无整数解 综上，正整数 m 的值216 分 数学数学参考答案与评分标准参考答案与评分标准 21A矩阵M的特征多项式为 23 ( )(2)(1)3 1 ft t l lll l - =- - 2 分 因为矩阵M的一个特征值为 4，所以(4)630ft=-=，所以2t =5 分 所以 23 21 = M，所以 1 1313 2 13 22 13 244 2211 2 13 22 13 222 - - - - - = - - - - M10 分 B由:cossin120lrqrj+-=，及cosxrq=，sinyrq=， 所以l的直角坐标方程为120 xy+-= 2 分 在曲线C上取点 () 2 3cos2sinMjj，则点M到l的距离 ()() 4sin12124sin 2 3cos2sin12 33 222 d jj jj pp +-+ +- =，6 分 （第 22 题） B A C x y z B1 A1 C1 当 6 j p =时，d取最小值4 2，8 分 此时点M的坐标为()3,110 分 C因为xyz， ，都为正数，且1xyz+=， 所以由柯西不等式得， 111 3() 222xyyzzx + + 111 () (2 )(2 )(2 ) 222 xyyzzx xyyzzx =+ + 5 分 2111 (222 )9 222 xyyzzx xyyzzx += + ， 当且仅当 1 3 xyz=时等号成立， 所以 111 222xyyzzx + + 的最小值为 310 分 22 （1）因为四边形 11 AAB B为正方形，所以 1 ABBB， 因为平面 11 AAB B 平面 11 BBC C，平面 11 AAB B平面 111 BBCCBB=， AB 平面 11 AAB B，所以AB 平面 11 BBC C. 2 分 以点B为坐标原点，分别以BA, 1 BB所在的直线 为x,y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz-. 不妨设正方形 11 AAB B的边长为 2， 则()2 0 0A， ，() 1 0 2 0B， ， 在菱形 11 BBC C中，因为 11 60BBC=， 所以 1(0 1 3) C， ，所以 1 ( 2 1 3)AC = - ， ， 因为平面 11 AAB B的法向量为()0 0 1=， ，n， 设直线 1 AC与平面 11 AAB B所成角为a， 则 1 |3| 6 sin|cos,| 4 2 2 1 ACa= = n， 即直线 1 AC与平面 11 AAB B所成角的正弦值为 6 4 6 分 （2）由（1）可知， () 0 1 3C-，所以() 1 0 2 0CC =， ， 设平面 1 ACC的一个法向量为() 1111 xyz=，n， 因为 11 11 0, 0, AC CC = = n n 即 ()() () () 111 111 2 1 30 0 2 00 xyz xyz -= = ， ， ， ， ， 取 1 3 2 x =， 1 0y =， 1 1z =，即 1 3 0 1 2 = ， ，n 设平面 1 ABC的一个法向量为() 2222 xyz=，n， 因为()2 0 0BA=， ， () 1 0 1 3BC =， ， 所以 () () ()() 222 222 2 0 00 0 1 30 xyz xyz = = ， ， ， ， ，取() 2 0 3 1=-，n8 分 设二面角 1 BACC-的平面角为q， 则 12 12 12 71 coscos 7 3 131 4 q - = -= -= -= + + ， nn nn nn ， 所以二面角 1 BACC-的余弦值为 7 7 10 分 23 （1）因为4n=，所以 04 04 216 C ( ) = 381 a =， 13 14 232 C ( ) = 327 a =2 分 （2）当 1 3 x =时， 21 C ( )( ) 33 kkn kk kn a x - =， 又因为 1 1 !(1)! CC !()!(1)!()! kk nn nn kknn k nkknk - - - = - ，4 分 当1n=时， 01 1 0 22 ()C ( ) 33 n k k k nk a x = -= ； 5 分 当2n时， 00 21 ()()C ( )( ) 33 nn kkn kk kn kk nk a xnk - = -=- 01