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文档简介
复变函数与积分变换,主讲:李娟宁波大学理学院二零零九年九月,大学数学多媒体课件,2020/4/27,.,2,参考用书,复变函数与积分变换,华中科技大学数学系,高等教育出版社,2003.6,复变函数与积分变换学习辅导与习题全解,华中科大,高等教育出版社,复变函数,西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社,1996.5,2020/4/27,.,3,目录,第二章解析函数,第三章复变函数的积分,第四章解析函数的级数表示,第五章留数及其应用,第六章傅立叶变换,第七章拉普拉斯变换,第一章复数与复变函数,2020/4/27,.,4,第五章留数及其应用,本章中心问题是留数定理,前面讲的柯西定理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况,并且留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重要意义,它是复积分与复级数理论相结合的产物,为此先对解析函数的孤立奇点进行分类,2020/4/27,.,5,第五章留数及其应用,5.1孤立奇点5.2留数5.3留数在定积分计算中的应用本章小结思考题,2020/4/27,.,6,第一节孤立奇点,一、奇点的分类,定义:,2020/4/27,.,7,孤立奇点分类:,(1)主部消失,(2)主部仅含有限项,(3)主部含有无限多项,,解析部分,主要部分,2020/4/27,.,8,例1,解:,2020/4/27,.,9,二、可去奇点,2020/4/27,.,10,2020/4/27,.,11,三、极点,2020/4/27,.,12,2020/4/27,.,13,2020/4/27,.,14,例2,解:,2020/4/27,.,15,四、本性奇点,2020/4/27,.,16,例3,解:,2020/4/27,.,17,2020/4/27,.,18,例4,解:,2020/4/27,.,19,例5,解:,2020/4/27,.,20,五、函数的零点与极点的关系,定理1,2020/4/27,.,21,证明:,2020/4/27,.,22,例6,解:,定理2,证明:,2020/4/27,.,23,2020/4/27,.,24,例7,(通过零点阶数判断极点阶数),解:,2020/4/27,.,25,例8,解:,法二:,2020/4/27,.,26,六、函数在无穷远点的性态,分析:,2020/4/27,.,27,2020/4/27,.,28,这样,对无穷远点来说,它的特性与其洛朗级数之间的关系就跟有限远点一样,不过只是把正幂项与负幂项的作用互相对调就是,2020/4/27,.,29,2020/4/27,.,30,2020/4/27,.,31,例9,说明:,解:,2020/4/27,.,32,例10,例11,解:,解:,2020/4/27,.,33,例12,解:,例13,解:,2020/4/27,.,34,例14,解:,2020/4/27,.,35,例15,解:,2020/4/27,.,36,例16,解:,2020/4/27,.,37,2020/4/27,.,38,第二节留数,一、留数的概念及留数定理,留数是复变函数论中重要的概念之一,它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等有着密切的联系,1留数概念,2020/4/27,.,39,2020/4/27,.,40,留数定义:,说明:,例1,解:,2020/4/27,.,41,例2,解:,例3,解:,2020/4/27,.,42,定理1,证明:,2020/4/27,.,43,二、函数在极点的留数,法则1:,证明:,结论:先知道奇点的类型,对求留数有时更为有利.,2020/4/27,.,44,例4,解:,2020/4/27,.,45,法则2:,证明:,由法则1:,2020/4/27,.,46,例5,解:,例6,解:,2020/4/27,.,47,法则3:,证明:,2020/4/27,.,48,例7,解:,例8,解:,2020/4/27,.,49,例9,解:,2020/4/27,.,50,例10,解:,再往下计算比较繁琐!,2020/4/27,.,51,2020/4/27,.,52,三、函数在无穷远点的留数,2020/4/27,.,53,定理2,证明:,2020/4/27,.,54,法则4:,证明:,2020/4/27,.,55,例11,解:,2020/4/27,.,56,例12,解:,例13,解:,2020/4/27,.,57,第三节留数在定积分计算中的应用,留数定理为某些类型积分的计算提供了有效的方法应用留数定理计算实变函数的定积分的方法称为围道积分法围道积分法就是把求实变函数的积分化为复变函数沿着围线的积分,然后利用留数定理,使沿着围线的积分计算,归结为留数计算要使用留数计算,需要两个条件:一是被积函数与某个解析函数有关;其次,定积分可化为某个沿闭路的积分其实质就是用复积分来计算实积分,这一方法对有些不易求得的定积分和广义积分常常比较有用现在就几个特殊类型举例说明,2020/4/27,.,58,一、,2020/4/27,.,59,例1,解:,2020/4/27,.,60,2020/4/27,.,61,二、,2020/4/27,.,62,2020/4/27,.,63,例2,解:,2020/4/27,.,64,三、,2020/4/27,.,65,2
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