抛物线及其标准方程人教

抛物线及其标准方程,一.复习：,椭圆、双曲线的第二定义：,与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0e1时，是椭圆，,当e1时，是双曲线。,当e=1时，它又是什么曲线？,二.定义在平面内作与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,抛物线,抛物线的焦点,抛物线的准线,抛物线的定义,三、标准方程,想一想,如何建立直角坐标系？,回忆一下，看看上面的方程哪一种简单，为什么会简单？启发我们怎样建立坐标系？,l,F,y,x,O,M(x,y),E,A,取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴,x轴与准线l相交于点E，以线段EF的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。,设|EF|=p(p0)，那么焦点F的坐标为准线l的方程为,设M(x,y)为抛物线上的任意一点，点M到l的距离为d，则点M满足条件|MF|=d。,p,K,设KF=p,设点M的坐标为（x，y），,由定义可知，,方程y2=2px（p0）叫做抛物线的标准方程。(其中p为正常数，表示焦点到准线的距离),它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是,它的准线方程是,一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。,y,x,o,y2=2px（p0）,y2=-2px（p0）,x2=2py（p0）,x2=-2py（p0）,1、一次项决定抛物线的对称轴;,2、一次项系数的正负决定抛物线开口方向、焦点所在坐标轴的正负方向.,在抛物线的标准方程中：,如何根据抛物线的标准方程的不同形式来判断抛物线的图形？,y2=mx（m0）,x2=my（m0),练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上,开口向右,开口向左,开口向上,开口向下,练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上,开口向右,开口向左,开口向上,开口向下,例1.求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。,解：(1)当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2=2py，得p=,(2)当焦点在x轴的负半轴上时，把A（-3，2）代入y2=-2px，得p=,抛物线的标准方程为x2=y或y2=x。,例2、点M是抛物线y2=2px（p0）上一点，若点M的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是,（焦半径公式）,1.抛物线y2=2px(p0)上一点M到焦点的距离是a(a),则点M到准线的距离是,点M的横坐标是.,a,a,2.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是.,课堂练习,3、焦点到准线的距离是2,写出抛物线的标准方程：,y2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y,例3、点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x50的距离小1，求点M的轨迹方程,如图可知原条件等价于M点到F（4，0）和到x4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x4为准线的抛物线所求方程是y216x,分析：,例题讲解,例4.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于两点A、B,求线段AB的长.,例题讲解,例题讲解,分析1：直线与抛物线相交问题，可联立方程组求交点坐标，由距离公式求；或不求交点，直接用弦长公式求。,.,将x1+x2,x1x2的值分别代入弦长公式,分析2：直线恰好过焦点，可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将AB转化成A、B间的焦点弦（两个焦半径的和），从而达到求解目的.,例题讲解,同理,于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x22.,于是|AB|=6+2=8,解法二：在图822中，由抛物线的定义可知，|AF|=,说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减少了运算量，提高了解题效率.,例5.求证:以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.,A1,B1,例题讲解,例6.在抛物线y2=2x上求一点P,使P到焦点F与到点A(3,2)的距离之和最小.,例题讲解,1.直线与抛物线只有一个公共点是它们相切的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件,3过抛物线y2=2px的焦点F的诸弦中，最短的弦长是。,课堂练习4,B,2p,C,小结：,1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应关系以及判断方法,2、抛物线的定义、标准方程和它的焦点、准线方程,3、求标准方程常