内蒙古呼伦贝尔高三数学总复习《计数原理》课件

第九模块计数原理,考纲要求1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能用两个计数原理分析、解决一些简单的实际问题.3.理解排列的概念,掌握排列数公式,能用排列知识解决有关的实际问题.4.理解组合的意义,掌握组合数公式和组合数的性质、能解决一些简单的实际问题.,5.能区别排列与组合的异同,能综合应用排列、组合知识解决一些简单的实际问题.6.能用计数原理证明二项式定理,掌握二项式定理及其性质.7.能用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题,特别是求二项展开式中特定项及其系数.,命题走向1.两个计数原理和排列、组合与概率联系十分密切,它是求古典型概率、离散型随机变量分布列的基础,是高考的重点内容,统计2009年全国及各省市命题,总有一小题是对排列、组合应用的考查.对于概率的解答题中,用排列、组合知识作答的占多数.,2.二项式定理也是必考内容之一,以小题的形式出现,属于容易题或中档题,主要考查求二项展开式的特定项或二项式系数的性质.,第五十五讲计数原理,走进高考第一关考点关回归教材,1.分类加法计数原理完成一件事,可以有n类办法,在第一类办法中有m1种方法,在第二类办法中有m2种方法,在第n类办法中有mn种方法.那么,完成这件事共有N=m1+m2+mn种方法.也称加法原理.,2.分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第一步有m1种方法,做第二步有m2种方法,做第n步有mn种方法.那么,完成这一件事共有N=m1m2mn种方法.也称乘法原理.,考点训练1.(2009全国)甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4个中恰有1名女同学的不同选法共有()A.150种B.180种C.300种D.345种,答案:D,2.(2009北京卷)用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A.324B.328C.360D.648,答案:B,解析:个位数字是0时,有98个,个位数字是2,4,6,8中的一个时,有88个.适合题意的三位偶数有98+488=328个.,3.(2008全国)如图,一环形花坛分成A、B、C、D四块.现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为()A.96B.84C.60D.48,解析:A花坛可种4种,则B可种3种.当C与A种相同的花时,C有1种,D有3种;当C与A种不同的花时,C有2种,D有2种.综上可知,共有43(13+22)=84(种).,答案:B,4.(2008安徽卷)12名同学合影,站成了前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变.则不同调整方法的总数是(),答案:C,5.(2009天津预测)某书店有11种杂志,2元1本的8种,1元1本的3种,小张用10元钱买杂志(每种至多买一本10元钱刚好用完),则不同买法的种数是_.(用数字作答),266,解读高考第二关热点关题型一分类计数原理,例1三边长均为整数,且最大边长为11的三角形有多少个、分析:在三角形中,两短边长的和大于最长的边,本题可按一边长的取值分类求解.,解:三角形另两边的长分别用x,y表示,且不防设1xy11,要构成三角形,必须x+y12,当y取值11时,x=1,2,11,可有11个三角形.当y取值10时,x=2,3,10,可有9个三角形.当y取值6时,x也只能取6,这时只有一个三角形.所以,由分类计数原理,共有三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.,点评:应用分类计数原理时,首先要依据题的特点,确定恰当的分类标准,分类应满足:完成一件事的任何一种方法,必须属于某一类且仅属于这一类,即各类办法相互独立的,是互斥的.,变式1:已知集合A=x|xN,且x10,a,bA,方程,表示焦点在x轴上的椭圆,则这样的椭圆的共有_.,解析:由题意知,a,b只能取1,2,10,且ab.因此可按a取10,9,3,2分为9类,共有适合题意的椭圆9+8+2+1=45(个).,答案:45个,题型二分步计数原理例2(1)将4封信投入3个邮箱,有多少种投法?(2)5名运动员争夺4项冠军,有多少不同的结果?,解:(1)由于每封信都有3种不同的投法,4封信全部投入信箱中,共有3333=81(种)不同的投法.(2)每项冠军都有5种不同的结果,因此5名运动员争夺4项冠军共有5555=625种不同的结果.,点评:(1)应用分步计数原理时,首先确定分步的标准,分布必须满足:完成一件事必须而且只需连续完成这几步,即各个步骤是相互依存的.只有各步骤都完成了,这件事才算完成.,(2)本例中最容易错解得到43和54,其原因没弄清“谁选择谁”的问题.如第(1)小题中,先投第一封信有3种投法,再投第二封信也有3种投法,投第三封、第四封仍有3种投法,应分四步完成.由分步计数原理共有34种投法.,变式2:5名高中毕业生推荐报考3所重点院校,每人限报且只报一所院校,则不同的报考方法有()A.10种B.60种C.125种D.243种,解析:每一位高中毕业生都有3种选择,因此共有33333=243种.,答案:D,题型三分类计数原理与分步计数原理的综合应用,例3设集合U=1,2,3,4,5,选择U的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有多少种,第四类有1种选法,分两组有4种分法.综上知,不同的选择方法共有101+102+53+14=49(种).,点评:对于较复杂的问题,需两个计数原理合用、一般情况下是先分类再分步,如本例.,变式3:在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植A、B两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求A、B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选择方法共有多少种?,解:按选垄方法分为3类:第一类,A、B间隔6垄,可选1和8,2和9,3和10垄,每种选法有2种种植方法.因此有32=6种方法;第二类,A、B间隔为7垄,可选1和9或2和10垄,因此共有22=4种方法;第三类,A、B间隔为8垄,只有1和10垄,因此只有12=2种方法、综上知,共有6+4+2=12种选择方法.,笑对高考第三关技巧关,穷举法解决排列、组合问题当所涉及问题结果的数目不大时,往往可以采用穷举法来解决,其本质仍是两个计数原理的应用.,典例某电脑用户计划使用不超过500元的资金,购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘,根据需要软件至少买3张,磁盘至少买两盒,则不同的选购方式有多少种?,解:可分如下几种情况进行列举:(1)买3张软件,余额500-603=320(元),320可以再买盒装磁盘2盒,3盒,4盒,有3种不同的选购方式.(2)买4张软件,余额500-460=260(元),260元可以购买2盒,3盒磁盘,有2种不同的选购方式.,(3)买5张软件,金额500-605=200(元),200元只能购买2盒磁盘,有1种购买方式.(4)买6张软件,余额500-606=140(元),这140元还可以购买2盒磁盘,有1种购买方式.综上可知,共有3+2+1+1=7种不同的购买方式.,考向精测1.某赛季足球比赛的计分规则是:胜一场,得3分;平一场,得1分;负一场,得0分.一球队打完15场,积分33分,若不考虑顺序.该队胜,负,平的情况有()A.3种B.4种C.5种D.6种,解析:分类穷举法:胜11场负4场;胜10场,平3场,负2场;胜9场,平6场.共3种情况.,答案:A,2.同时抛掷两颗骰子,向上的两个数字之和不小于10的情况有_种.,解析:列举法:甲,乙两个骰子的点数记为(4,6),(5,5),(5,6),(6,6),(6,5),(6,4)共6种.,6,课时作业(五十五)计数原理,一、选择题1.正12边形的对角线的条数是()A.66B.54C.108D.132,答案:B,2.某电话局的电话号码为168,若后面的五位数字是由3或8组成的,则这样的电话号码一共有()A.20个B.25个C.32个D.60个,解析:每位数字可由3或8组成的,可分五步完成,每一步都有两种方法,因此共有25=32(个).,答案:C,3.(2007全国高度)5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有()A.10种B.20种C.25种D.32种,答案:D,4.(2007山东高考)已知集合A=5,B=1,2,C=1,3,4,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定不同点的个数为()A.33B.34C.35D.36,答案:A,5.某同学逛书店发现了三本喜爱的书,决定至少买其中的一本,则购买方法有()A.3种B.6种C.7种D.9种,答案:C,解析:买其中一本有3种方法;买其中两本有3种方法;买三本有1种方法,因此共有3+3+1=7(种).,二、填空题6.某同学把英语单词“book”的顺序写错了,则可能出现的错误有_种.,解析:4个字母的全排列有4!=24,其中有两个相同的字母o,交换不变,因此共有写法24=12(种),其中只有一种是正确的.故错误的有11种.,11,7.在书柜的一层上有6本书,现要插入3本书,且保持原有6本书的相对顺序不变,那么共有_种不同的排列方法(用数字作答).,解析:依次插入第一本,第二本,第三本,共有789=504(种).,504,8.现要排一份5天的值班表,每天有一个人值班,共有5个人,每个人可以值多天或不值班,但相邻两天不能同一个人值班,问此值班表有_种不同的排法.,解析:先安排第一天,有5种排法,以后每天均有4种排法,由分步乘法原理得,54444=1280(种),1280,9.甲、乙两个正整数的最大公约数是60,则甲、乙两数的公约数共有_个.,解析:60=2235,甲、乙两数的公约数形如:2m,3n,5p,其中m0,1,2,n0,1,P0,1.所以公约数共有322=12(个).,12,三、解答题10.在两位自然数中,十位数字大于个位数字的有多少个？,解:当十位上的数字分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9时,相应的两位数有1个,2个,3个,4个,5个,6个,7个,8、由分类加法计数原理知,符合题意的两位数共有:1+2+3+4+5+6+7+8=36个.,11.用五种不同的颜色给图中四个区域涂色,每个区域涂一种颜色.(1)共有多少种不同的涂色方法？(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色,那么有多少种不同的涂色方法？,解:(1)由于1,2,3,4号区域各有5种涂色方法,依分步计数原理知,共有5555=625种涂法.(2)第一类:1号与4号区域同色时,有5441=80种涂法;第二类:1号与4号区域不同色时,有5433=180种涂法.因此共有80+180=260种不同的涂法.,12.用0,1,2,3,4,5这六个数字:(1)可以组成多少个三位数;(2)可以组成多少个数字不允许重复的三位数;(3)可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数;(4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数.,解:(1)分三步:先确定百位数字,由于0不能作百位数字,因此有5种选法,十位数字有6种选法