《Fourier变换》PPT课件

1.2Fourier变换,1Fourier变换的概念,2单位脉冲函数及其Fourier变换,3非周期函数的频谱,已知,若函数f(t)满足Fouriier积分定理的条件,则在f(t)的连续点处,有,设,则,1Fourier变换的概念,(1.9)式叫做f(t)的Fourier变换式，(1.10)式为F(w)的Fourier逆变换式，f(t)与F(w)可相互转换,可记为,和,还可以将f(t)放在左端,F(w)放在右端,中间用双向箭头连接:,(1.9)式右端的积分运算,叫做f(t)的Fourier变换,同样,f(t)F(w),(1.10)式右端的积分运算,叫做F(w)的Fourier逆变换.,F(w)称作f(t)的象函数,f(t)称作F(w)的象原函数.可以说象函数F(w)和象原函数f(t)构成了一个Fourier变换对，它们有相同的奇偶性。,当f(t)为奇函数时，由上式可得,叫做f(t)的Fourier正弦变换式(简称为正弦变换)，即,叫做的Fourier正弦逆变换式(简称为正弦逆变换)，即,而,当f(t)为偶函数时，由上式同理可得,叫做f(t)的Fourier余弦变换式(简称为余弦变换)，即,叫做的Fourier余弦逆变换式(简称为余弦逆变换)，即,而,t,f(t),例1求函数,的Fourier变换及其积,分表达式，其中0。这个f(t)叫指指数衰减函数，是工程技术上常碰到的一个函数。,例1求函数,的Fourier变换及其积,分表达式，其中0。这个f(t)叫指指数衰减函数，是工程技术上常碰到的一个函数。,根据公式,有,解：,例1求函数,的Fourier变换及其积,分表达式，其中0。这个f(t)叫指指数衰减函数，是工程技术上常碰到的一个函数。,解：,这就是指数衰减函数的Fourier变换。下面来求指数,衰减函数的积分表达式。,根据Fourier逆变换式和奇偶函数的积分性质,有,例1求函数,的Fourier变换及其积,分表达式，其中0。这个f(t)叫指指数衰减函数，是工程技术上常碰到的一个函数。,解：,例1求函数,的Fourier变换及其积,分表达式，其中0。这个f(t)叫指指数衰减函数，是工程技术上常碰到的一个函数。,解：,因此,例1求函数,的Fourier变换及其积,分表达式，其中0。这个f(t)叫指指数衰减函数，是工程技术上常碰到的一个函数。,解：,因此可得到一个含参量广义积分的结果：,例求函数,的Fourier变换并求：,解：函数为一连续奇函数，则,例求函数,的Fourier变换并求：,解：,例求函数,的Fourier变换并求：,解：,例求函数,的Fourier变换并求：,解：,由Fourier积分公式，有,例求函数,的Fourier变换并求：,解：,所以有,例2求函数的Fourier变换及其积分表达式，其中A0,0。这个函数叫做钟形脉冲函数，也是工程技术中常碰到的一个函数。,解根据Fourier变换式，有,如令，上式为一复变函数的积分，即,积分路线如图所示:,由于为复平面s上的解析函数，取图所示的闭曲线l：矩形ABCDA，按Cauchy积分定理，有,即,其中，当时，有,同理，当时，有,从而，当时，有,由此可知,即,因此，钟形脉冲函数的Fourier变换为,下面求钟形脉冲函数的积分表达式,根据Fourier积分变换式，并利用奇偶函数的积分性质，可得,由此还可得到一个含参量广义积分的结果：,例3求函数的正弦变换和余弦变换.,解根据正弦变换式，f(t)的正弦变换为,根据余弦变换式，f(t)的余弦变换为,可以发现，在半无限区间上的同一函数f(t)，其正弦变换和余弦的结果是不同的。,例求函数的正弦变换和余弦变换.,解根据正弦变换式，f(t)的正弦变换为,例求函数的正弦变换和余弦变换.,解根据余弦变换式，f(t)的余弦变换为,在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数.因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲，现在要确定电路上的电流i(t)。以q(t)表示上述电路中到时刻t为此通过导体截面的电荷函数(即累积电量)，则,2.单位脉冲函数及其Fourier变换,在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t).以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则,由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即,所以,当t0时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的.,如果我们形式地计算这个导数,则得,这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度.为了确定这样的电流强度,引进一称为Dirac函数,简单记成d函数。有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷,点热源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决.,d函数是一个广义函数，它没有普通意义下的“函数值”，所以，它不能用通常意义下“值的对应关系”来定义。在广义函数论中，d函数定义为某基本函数空间上的线性连续泛函，但要讲清楚这个定义，需要应用一些超出工科院校工程数学教学大纲范围的知识。为了方便起见，我们仅把d函数看作是弱收敛函数序列的弱极限。,对于任何一个无穷次可微的函数f(t)，如果满足,则称de(t)的弱极限为d-函数,记为d(t)，即,，或简记为,这就表明，d-函数可以看成一个普通函数序列的弱极限。,其中,对任何0，显然有,则由给出的d-函数的定义，有,工程上将d-函数称为单位脉冲函数，可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示，这个线段的长度表示d-函数的积分值，称为d-函数的强度。,又由d-函数的定义，可以推出d-函数的一个重要结果，称为d-函数的筛选性质：,(f(t)是无穷次可微函数),事实上，,由于f(t)的无穷次可微函数，显然f(t)是连续函数，,按积分中值定理，有,所以，,由d-函数的筛选性质可知，对于任何一个无穷次可微函数f(t)都对应着一个确定的数f(0)或f(t0)这一性质使得d-函数在近代物理和工程技术中有着较广泛的应用。,更进一步的还成立；,则,如f(t)在0点连续，则在0附近的非常小的一个领域可以看作是常数c=f(0)。因此，任给一个在(-,)上积分值为1的函数g(t),令,当非常小，时,则,则,如f(t)在0点连续，则在0附近的非常小的一个领域可以看作是常数c=f(0)。因此，任给一个在(-,)上积分值为1的函数g(t),令,当非常小，时,则,图例:,O,t,O,t,工程上将d-函数称为单位脉冲函数，可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示，这个线段的长度表示d-函数的积分值，称为d-函数的强度。,t,O,d(t),1,d-函数有性质,d-函数的Fourier变换为:,t,O,d(t),1,w,O,F(w),1,可见，单位脉冲函数d(t)与常数1构成了一Fourier变换对。同理，d(t-t0)和亦构成了一个Fourier变换对.,d-函数除了重要的筛选性质外，还有一些性质：,1)d-函数是偶函数，即,2),其中,称为单位阶跃函数；,3)若f(t)为无穷次可微的函数，则有,一般地，有,t,O,d(t),1,w,O,F(w),1,可见，单位脉冲函数d(t)与常数1构成了一Fourier变换对。同理，d(t-t0)和亦构成了一个Fourier变换对.,在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足Fourier积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件,例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等,然而它们的广义Fourier变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其Fourier变换就可以求出它们的Fourier变换.所谓广义是相对于古典意义而言的,在广义意义下,同样可以说,象函数F(w)和象原函数f(t)亦构成一个Fourier变换对。为了不涉及到-函数的较深入的理论，我们可以通过Fourier逆变换来推证单位阶跃函数的Fourier变换。,例4证明单位阶跃函数,的Fourier变换,。,为,证事实上，若，则按Fourier逆变换可得,例4证明单位阶跃函数,的Fourier变换,。,为,因为,则,若F(w)=2pd(w)时,由Fourier逆变换可得,所以1和2pd(w)也构成Fourier变换对.,也构成了一个Fourier变换对。,同理,如F(w)=2pd(w-w0),由上面两个函数的变换可得,例5求正弦函数f(t)=sinw0t的Fourier变换。,解根据Fourier变换公式，有,如图所示:,t,sint,p,p,-w0,w0,O,w,|F(w)|,例求正弦函数f(t)=cosw0t的Fourier变换。,解根据Fourier变换公式，有,例求函数f(t)=cosatcosbt的Fourier变换。,解根据Fourier变换公式，有,在频谱分析中，Fourier变换F(w)又称为f(t)的频谱函数,而它的模|F(w)|称为f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱)。由于w是连续变化的，我们称之为连续频谱，对一个时间函数作Fourier变换，就是求这个时间函数的频谱。,3.非周期函数的频谱,补充：,将周期函数展开成下面形式：,它的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动看,(谐波迭加),成是许多不同频率的简谐振动的叠加。在电工学上，,这种展开称为谐波分析。其中,称为直流分量；,称为一次谐波(又叫基波)；,依次称为二次谐波，三次谐波等。,再根据幅振谱可作出频谱图，如图所示,例6作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图,f(t),解：单个矩形脉冲的频谱函数为:,t,E,-t/2,t/2,此外，振幅函数|F(w)|是角