高中数学必修5常考题型：数列求和(复习课)

数列求和(复习课)【知识梳理】1公式法(分组求和法)如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解2裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：()；若an为等差数列，公差为d，则()；等3错位相减法若数列an为等差数列，数列bn是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为anbn，当求该数列的前n项的和时，常常采用将anbn的各项乘以公比q，然后错位一项与anbn的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法4倒序相加法如果一个数列an，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加求和法【常考题型】题型一、分组转化法求和【例1】已知数列cn：1，2，3，试求cn的前n项和解令cn的前n项和为Sn，则Sn123(123n)1n.即数列cn的前n项和为Sn1n.【类题通法】当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数列或等比数列，那么就可以用分组求和法，即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和【对点训练】1求和：Sn333333.解：数列3,33,333，的通项公式an(10n1)Sn(101)(1021)(10n1)(1010210n)(10n1).题型二、错位相减法求和【例2】已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n2n，nN*，数列bn满足an4log2bn3，nN*.(1)求an，bn；(2)求数列anbn的前n项和Tn.解(1)由Sn2n2n，得当n1时，a1S13；当n2时，anSnSn14n1，所以an4n1，nN*.由4n1an4log2bn3，得bn2n1，nN*.(2)由(1)知anbn(4n1)2n1，nN*，所以Tn3721122(4n1)2n1,2Tn32722(4n5)2n1(4n1)2n，所以2TnTn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故Tn(4n5)2n5，nN*.【类题通法】如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式【对点训练】2已知an，求数列an的前n项和Sn.解：Sn，Sn，两式相减得Sn，Sn.题型三、裂项相消法求和【例3】已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由于a37，a5a726，a12d7,2a110d26，解得a13，d2.由于ana1(n1)d，Sn，an2n1，Snn(n2)(2)an2n1，a14n(n1)，因此bn.故Tnb1b2bn.数列bn的前n项和Tn.【类题通法】裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合使之能消去一些项，最终达到求和的目的利用裂项法的关键是分析数列的通项，考察是否能分解成两项的差，这两项一定要是同一数列相邻(相间)的两项，即这两项的结论应一致【对点训练】3在数列an中，an，且bn，求数列bn的前n项的和解：an(12n)，bn，bn8()，数列bn的前n项和为Sn8(1)()()()8(1).【练习反馈】1已知an(1)n，数列an的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是()A1,1B1，1C1,0 D1,0解析：选DS91111111111，S10S9a10110.2数列an，bn满足anbn1，ann23n2，则bn的前10项和为()A.B.C.D.解析：选B依题意bn，所以bn的前10项和为S10，故选B.3求和：Sn11_.解析：被求和式的第k项为：ak12.所以Sn22222n2.答案：2n24已知数列an的通项公式an，其前n项和Sn，则项数n等于_解析：an1Snnn15，n6.答案：65已知等比数列an中，a28，a5512.(1)求数列an的通项公式；(2)令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)64q3，q4.ana24n