导数及其应用试题.doc

导数及其应用试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1对任意x，有f(x)4x3，f(1)1，则此函数为( )Af(x)x42Bf(x)x42Cf(x)x3 Df(x)x4解析：对于A项，f(x)4x3，且f(1)121，故A正确；而选项B中，f(x)4x3，但f(1)31；选项C中，f(x)3x2，且f(1)1；选项D中，f(x)4x3，所以B、C、D选项均不正确答案：A2曲线yx3x2在P点处的切线平行于直线y4x1，则此切线方程为()Ay4x By4x4Cy4x8 Dy4x，或y4x4解析：由y3x214，解得x1.将x1分别代入曲线方程，求得P点坐标为(1,0)或(1，4)，利用“点斜式”求得切线方程为y4x，或y4x4，故选D.答案：D3函数f(x)ax3x在(，)内是减函数，则()Aa1 BaCa0 Da0解析：f(x)3ax210恒成立a0.答案：D4已知函数f(x)x3mx2(m6)x1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是()A(1,2) B(，3)(6，)C(3,6) D(，1)(2，)解析：f(x)3x22mxm60，有两个不同的实数根，于是4m212(m6)0，m3，或m6.答案：B5若点P在抛物线y3x24x2上，A(0，3)、B(1，1)，要使ABP的面积最小，则P点的坐标是()A. B.C(1,1) D(0,2)解析：欲使ABP的面积最小，则必须使P点到直线AB的距离最近因此作直线AB的平行直线束与抛物线相切时的切点即为所求的点P.由导数的几何意义，得ykAB，即6x42，得x1，故P点的坐标是(1,1)故应选C. 答案：C6已知函数f(x)x3px2qx的图像与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A.、0 B0、C、0 D0、解析：f(x)3x22pxq.由f(1)0，f(1)0，得解得f(x)x32x2x.由f(x)3x24x10，得x，或x1.进而求得当x时，f(x)取极大值，当x1时，f(x)取极小值0. 答案：A7函数yx32axa在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围为()A(0,3) B(，3)C(0，) D.解析：由y3x22a0，得x.由题意知，只要0 1，即0a即可. 答案：D8若函数h(x)2x在(1，)上是增函数，则实数k的取值范围是()A2，) B2，)C(，2 D(，2解析：h(x)2.由题意知，x(1，)时，h(x)0恒成立，即2x2k0恒成立，只需2k0即可，所以k2，). 答案：A9球的直径为d，其内接正四棱柱体积最大时的高为()A.dB.dC.dD.d解析：设正四棱柱的高为h，底面边长为x，如图是其组合体的轴截面图形，则ABx，BDd，ADh.AB2AD2BD2，2x2h2d2，x2.又Vx2h(d2hh3)，V(h)d2h2.令V(h)0，得hd，或hd(舍去)，应选C. 答案：C10已知函数f(x)在R上可导，且f(x)x22xf(2)，则f(1)与f(1)的大小关系为()Af(1)f(1) Bf(1)f(1)Cf(1)f(1) D以上答案都不对解析：f(x)x22xf(2)f(x)2x2f(2)f(2)42f(2)f(2)4，f(x)x28x(x4)216，且在(，4上为减函数114，f(1)f(1)，故选B. 答案：B11已知函数f(x)的导数为f(x)4x34x，且f(x)的图像过点(0，5)，当函数f(x)取得极大值5时，x的值应为()A1B0C1D1解析：设f(x)x42x2c，其中c为常数由于f(x)过(0，5)，所以c5，又由f(x)0，得极值点为x0或x1.x0时，f(x)5，故x的值为0.故选B. 答案：B12已知函数f(x)的定义域为2，)，且f(4)f(2)1，f(x)是f(x)的导函数，函数yf(x)的图像如图所示则平面区域所围成的图形的面积是()A2 B4 C5 D8解析：f(x)在2,0上递减，在0，)上递增又f(4)f(2)1.f(2ab)122ab4.画出平面区域，其面积S244.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13若函数yf(x)满足f(x1)12xx2，则yf (x)_.解析：设x1t，则xt1，f(x1)f(t)12(t1)(t1)2t2.即f(x)x2，所以f (x)2x.答案：2x14已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)3x22xf(2)，则f(5)_.解析：由f(x)3x22xf(2)，得f(x)6x2f(2)f(2)122f(2)，f(2)12.故f(5)652f(2)30246.答案：615已知函数f(x)ax3bx22，其导数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的极小值是_解析：由题图可知，当x0时，f(x)取得极小值f(0)2.答案：216已知函数f(x)ax3bx2cx，其导函数yf(x)的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的是_当x时函数取得极小值；f(x)有两个极值点；当x2时函数取得极小值；当x1时函数取得极大值解析：由已知，当x(0,1)时，f(x)0；x(1,2)时，f(x)0；x(2，)时，f(x)0.f(x)有两个极值点x1，x2.极小值为f(2)，极大值为f(1)答案：三、解答题：本大题共6小题，共70分17(本小题满分10分)已知函数f(x)x32x2ax(xR，aR)，在曲线yf(x)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线xy0垂直，求曲线yf(x)在xa处的切线方程解析：f(x)x24xa，依题意f(x)1有且只有一解，由x24xa10，得164(a1)0，a5，f(a)f(5)5245510，切点为.故所求的切线方程为y10(x5)，即y10x.18(本小题满分12分)已知函数f(x)x3ax23bxc(b0)，当函数g(x)f(x)2是奇函数时，确定函数f(x)的单调区间解析：函数g(x)f(x)2为奇函数，对任意的xR，g(x)g(x)，即f(x)2f(x)2.又f(x)x3ax23bxc，x3ax23bxc2x3ax23bxc2.f(x)x33bx2.又函数的定义域是(，)，f(x)3x23b(b0)，当b0时，由f(x)0，得x.当x变化时，f(x)的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00当b0时，函数f(x)在(，上单调递增，在，上单调递减；当b0时，f(x)0，函数f(x)在(，)上单调递增19(本小题满分12分)设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解析：(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.20(本小题满分12分)已知函数f(x)x33x2axb在x1处的切线与x轴平行(1)求a的值和函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)的图像与抛物线yx215x3恰有三个不同交点，求b的取值范围解析：(1)f(x)3x26xa.由f(1)0，解得a9.则f(x)3x26x93(x3)(x1)故f(x)在(，1)，(3，)上递增，在(1,3)上递减(2)令g(x)f(x)x3x26xb3，则原题意等价于g(x)0有三个不同的根g(x)3x29x63(x2)(x1)，g(x)在(，1)，(2，)上递增，在(1,2)上递减则g(x)的极小值为g(2)b10，且g(x)的极大值为g(1)b0，由，解得b1.21(本小题满分12分)函数f(x)x3ax2bx在区间1,2上单调递增(1)求常数a，b需满足的条件及点(a，b)存在的区域；(2)若f(x)在区间(，1，2，)上均单调递减，求常数a，b的值解析：(1)f (x)x22axb.由函数f(x)在区间1,2上单调递增，可知f (x)0在区间1,2上恒成立，所以只需即即则点(a，b)的存在区域如图所示的阴影部分(2)由f(x)在区间1,2上单调递增，f(x)在区间(，1，2，)上单调递减可知即也就是解得22(本小题满分12分)已知函数f(x)x3ax2(1a)x1.(1)若f(x)在区间(1,4)内为增函数，在区间(8，)内为减函数，试求实数a的范围；(2)试问f(x)的图像上是否存在和x轴平行的切线，若存在，请说明理由，