第二节-应变分析2008用解析.ppt

1,第二节应变分析,一、掌握重点内容：1应变分量的表示和位移之间的关系2应变分量之间的组合关系3应变分量与应力分量之间的对应关系4由小变形过渡到大变形的概念,2,二、有关变形的一些基本概念,（一）首先观察以下简单的例子：,图a）表示均匀拉伸，变形体中的单元体P在拉伸后拉长变细，同时移至P1的位置，在不同的方向切取单元体时，单元体变形的表现形式不同。例如斜切的单元体Q移至Q1的同时就歪斜了。,图b）表示一物体在有摩擦的平板间被压缩成了鼓形，这时中心线上的一个单元体P被压扁且移至P1，而Q移至Q1时还由于摩擦力的作用而歪斜了；单元体R移至R1时还有明显的角度偏转。,3,图c）表示理想化的剪切过程，这时单元体P被剪斜了；而单元体Q则仅仅平移至Q1，并未变形。,图d）是弯曲工序，单元体P移至P1时，被压短而且转动了角度；单元体Q移至Q1的同时转动了一个角度，但没有变形。,4,以上的例子说明：变形的大小与质点间的相对位移变化有关一点的不同方向，变形数值不同刚性位移，不产生变形。因此:在外力作用下,物体各点的位置要发生变化,即发生位移.如果物体各点发生位移后仍然保持各点间的初始状态的相对位置,则物体实际上只产生刚体移动和转动,称这种位移为刚性位移.如果物体各点发生位移变形改变各点间的初始状态的相对位置,则物体就同时也产生了形状的变化,称为该物体的变形.,5,（二）基本概念,（1）单元体的变形可分为两种形式：线应变和角应变。,线应变（或正应变）：单元体线尺寸的伸长或缩短角应变（或切应变）：单元体角度的变化（即单元体畸变）,物体受力内部质点产生相对位置的改变和形状的变化，即变形。,应变是表示变形大小的物理量。,6,（2）对于同一变形的质点，随着切取单元体的方向不同，则单元体表现出来的变形数值也不同，所以同样需要引入“点的应变状态”的概念。（3）物体变形时，单元体一般同时发生平移、转动、正应变、角应变。平移、转动统称刚体运动（并不引起变形），只表示刚体位移。物体的变形只与其内部质点的相对位置有关，而与物体的刚体运动无关。各质点的相对位置变化时，会产生应变。,7,总结：位移：质点从一点移至另一点,变形：只有质点间的位移不一致时，才产生变形刚性位移（旋转和平移）不产生变形正变形：线尺寸伸长或缩短剪变形：形状发生畸变（角度发生变化）,刚性位移（旋转和平移）相对位移（正变形、剪变形）,8,1、概念位移：变形体各点位置的移动。位移分量：设物体内任意点的位移矢量为MM1，则它在三个坐标轴方向的投影就称为该点的位移分量，分别用u、v、w表示，简记为ui。,一位移分量和应变,（一）位移及其分量,9,由于物体在变形之后仍应保持连续，故位移分量应是坐标的连续函数，而且一般都有连续的二阶偏导数，对于直角坐标系，位移分量函数即为：,u=u（x,y,z）v=v（x,y,z）w=w（x,y,z）,上式表示某物体内的位移场。,10,2相对位移1）单元体均匀变形时基本假设（1）变形前是直线，变形后仍为直线（2）变形前后均为平面（3）变形前后仍为平行平面（4）变形前后仍为平行直线,变形的大小与位移有关一点的不同方向，变形数值不同,11,3相对位移分量,现在来研究变形体内无限接近两点的位移分量之间的关系。设受力物体内任一点M，其坐标为（x,y,z），小变形后移至M1，其位移分量为ui（x,y,z）。,邻近的点,与M点无限接近的一点M点，其坐标为（x+dx，y+dy，z+dz），小变形后移至M1，其位移分量为ui（x+dx，y+dy，z+dz）如图所示。,12,（1）各点的坐标值M（x，y，z）M（x+dx，y+dy，z+dz）,（2）M1点的位置函数u=u（x，y，z）v=v（x，y，z）w=w（x，y，z）,邻近的点,13,（3）M1点的位置函数u+u=u（x+dx，y+dy，z+dz）=f1（x+dx，y+dy，z+dz）v+v=v（x+dx，y+dy，z+dz）=f2（x+dx，y+dy，z+dz）w+w=w（x+dx，y+dy，z+dz）=f3（x+dx，y+dy，z+dz）,邻近的点,14,（4）相对位移的表达式按泰勒级数展开,忽略高阶小量，得,简记为：ui（x+dx，y+dy，z+dz），将函数ui按泰勒级数展开，并略去二阶以上的高阶微量，并利用求和约定，则得,15,同理，得,若已知变形物体内的一点M的位移分量，则与其临近一点M点的位移分量可用M的位移分量及其增量来表示。ui=ui+du,相对位移的意义：某一方向上的相对位移增量等于该方向上的位移分量在三个坐标方向变化量之和。,16,若无限接近两点的连线MM平行于某轴，如平行X轴，则：,M,17,（二）应变及其分量,1.名义应变及其分量名义应变又称相对应变或工程应变。,材力，弹塑性理论所讨论的变形一般都是小变形，一般在103102数量级。在此基础上，我们将进一步讨论大塑性变形的特点。,名义应变包括：线应变(正应变)切应变。,材料2003-3.24第五周：3，4节,18,xoy坐标平面内:变形前PABC，变形后P1A1B1C1分析变化情况：PA、PC长度发生变化PA与PC的夹角发生变化,19,（1）线应变（或正应变）：单元体线尺寸的伸长或缩短,如图线元PA的正应变,而棱边PA在x轴上的线应变,20,同样:平行y轴的棱边在y轴方向上的线应变和平行z轴的棱边在z轴方向上的线应变同样可求得。因此有：,材料06-2009-32.5第5周：3.4节,21,假设单元体在平面内发生了切应变，使线元PC和PA所夹的直角减小为(图b)。这相当与C点在垂直于PC方向偏移了rt。,（2）切应变：单元体角度的变化,22,实际上PA和PC偏转的角度不一定相同。假设它们的实际偏转角度分别为xy和yx，偏转结果仍然使CPA缩小xy,图3-24b所示工程切应变，可看成是线元PA和PC同时向内偏转相同的角度其结果如图3-24C，即,其中xy和yx一般称为切应变。xy的下标符号表示为x方向的线元，向y方向偏转的角度。,定义,工程切应变,切应变,23,实际变形,设,实际变形,切应变,刚性转动,8,2,5,5,z=3,24,则相当于PA，PC先同时偏转xy和yx（假设5）。然后整个单元体绕Z轴转一个角度z（假设3）。因此，xy和yx已包括了刚体的转动。,即,xy=z+xy,25,2、质点的应变状态及应变张量,将切应变及刚体转动推广至三维：切应变：ij,26,三个方向的刚体转动（顺时针方向）,27,变形体内某质点作为单元体，变形后的应变分量有九个，三个正应变，六个剪应变。它们构成应变张量。它也是一个对称的张量，具有应力张量的一切性质。,i线元方向j变形的方向,28,2、对数应变（1）相对线应变(也称工程应变或名义应变),相对应变不能真实地反映实际变形情况。因l0不变,29,（2）相对断面收缩率,式中A0试样原始断面积A1拉伸后试样断面积,30,（3）对数应变（也称真实应变）,当试样从l0增加到ln时，则总应变为,设在单向拉伸过程中某瞬时试样的长度为l，该瞬时后试样的长度又伸长了dl，则其应变增量为,l为试样的瞬时长度。dl为瞬时长度的改变量,称为对数应变，是用应变增量的积分来表示的全量应变，它反映了物体变形的实际情况，故又称为真实应变。,31,对数应变的定义为：塑性变形过程中，在应变主轴方向保持不变的情况下应变增量的总和。,32,均匀拉伸时,或,以上是对数应变和相对应变的关系。,三种应变的关系,将（a）式按台劳级数展开：得,（a）,材料2004-3.11第六周：22，24节,33,在小变形时，,又,均匀拉伸阶段，由于体积不变，即,以上公式将三种应变形式联系起来了。,34,即:三种应变的关系为:,35,对数应变的特点：,1）对数应变反映了瞬态变形，更能真实地表示实际变形过程。真实性,36,如,而,2）对数应变具有可加性可加性,37,例：将50cm长杆料拉伸至总长90cm，总应变为,若分两个阶段（1）50cm80cm（2）80cm90cm,则相对应变,38,拉伸前后试样尺寸,试样拉伸在不同阶段时的尺寸,而对数应变,表明对数应变具有可加性,39,3）对数应变能真实反映出拉、压变形的应变值，与实验结果较吻合可比性,压,拉,压,显然，拉、压的相对应变绝对值不等,拉,例：对数应变：,相对应变,压前2L,压后L,拉L-2L,理工材料2003-3.29第六周：1，2节,40,课堂练习：有一试棒均匀连续拉伸五次，每拉一次断面收缩20%，试用相对伸长、断面收缩率和对数应变分别求出各次的应变值和总应变值。并分析哪种应变表达方式比较合理。,41,提示：,故,42,二、小应变几何方程（位移分量与应变分量之间的关系）教材P91,由于变形物体内的点产生了位移，因而引起了质点的应变。因此，质点的应变是由位移所确定的，一旦物体内的位移场确定以后，则物体内的应变场也就被确定了。,下面就来建立位移分量和应变分量之间的关系。,43,设在图中，abcd为单元体变形前在xoy坐标平面上的投影，而a1b1c1d1为位移及变形后的投影。图中b、c点为a点的邻近点，并设ac=dx，ac/ox轴；ab=dy，ab/oy轴；,a点的位移分量为u、v。c点的位移分量为u+uc、v+vc。b点的位移分量为u+ub、v+vb。,44,根据图3-31中的几何关系，可求出棱边时ac（即dx）在x方向的线应变x，即为,根据式（3-44），有,材料2003-3.29第六周：1，2节,45,棱边ab（即dy）在y方向的线应变为,由图3-31的几何关系，有,其值远小于,46,同理可得,因而工程切应变为,则切应变为:,47,按同样的方法，由单元体在yoz和zox坐标平面上投影的几何关系可得其余应变分量与位移分量之间关系的公式，综合上述可得,3-66,48,用角标符号表示为,式（3-66）表示小变形时位移分量和应变分量之间的关系，它是由变形几何关系导到，故称为小应变几何方程。如果物体中的位移场已知，则可由小应变几何方程求得应变场。,3-66a,材料05-2008-4.15第8周：29，30节,49,为了便于记忆可以将坐标原点取在六面体的一个顶点，而在图上画出三个棱边dx、dy、dz，这些棱边的伸长量是du、dv、dw。这时正应变可以作为总伸长与棱边原长之比写出如下：,伸长量,50,为了写出切应变可以假想平行六面体的棱边在对应的平面内有转动，因而棱边的端点有位移，这里把转角作为端点位移与原棱边原长之比，而将切应变作为对应平面内两转角之和的一半写出来。,应变分析图,例如：,转动,51,例题1,试求物体中坐标为x=1，y=1，z=1的p点的应变张量、应变偏量与最大剪应变。,解:根据应变位移关系式（小应变几何方程），得,设物体中的位移函数为,52,53,将p点坐标x=1，y=1，z=1代入上述各式，并注意,得p点的应变张量如下,所以与上述ij相对应的应变偏量为,54,三、点的应变状态和应变张量(任意方向上的应变),借助于一点的应力状态概念来描述一点的应变状态，即过一点任意方向上的正应力与切应力的有无情况。可以用一微线段在某方向上的变形来加以描述。,55,现设变形体内任一点a（x,y,z），过该点三个相互垂直线上的应变分量ij已知。即,邻近的点,由a引一任意方向线元ab，其长度为r，方向余弦为l、m、n。,56,(a),(b),小变形前，b点可视为a点无限接近的一点。a点坐标为（x，y，z），b点坐标为（x+dx，y+dy，z+dz）。,则ab在三个坐标轴上的投影为dx、dy、dz，方向余弦及r分别为,57,变形前ab,变形后a1b1,小变形后，线元ab移至a1b1，其长度为r1=r+dr，同时偏转角度为r，如图所示。,58,为求得r1，可将ab平移至a1N，构成三角形a1Nb1。由解析几何可知，三角形一边在三个坐标轴上的投影将分别等于另外两边在坐标轴上的投影之和。在这里，Na1的三个投影即为dx、dy、dz.,现求ab方向上的线应变r。,而Nb1的投影（即为b点相对a点的位移增量）为du、dv、dw.,59,变形前ab2=r2=dx2+dy2+dz2变形后a1b12=（r+dr）2=(dx+du)2+(dy+dv)2+(dz+dw)2=(dx2+dy2+dz2)+du2+dv2+dw2)+2(dxdu+dydv+dzdw),（r+dr）2-r2=(du2+dv2+dw2)+2(dxdu+dydv+dzdw),(c),忽略微量du2，dv2，dw2，得,60,将式（C）两边除以r2，,令r的方向余弦为l，m，n,（d）,将式(3-43)中dui的值代入式（d），,(3-43),61,比较任意斜面上的法向应力,线应变,它与全应力与应力分量之间关系的表达形式是一样的，反映了全应变与应变分量之间的关系。,整理后得：,3-52,62,下面求线元变形后的偏转角，即图中的r,为了推导方便，可设r=1。,由N点引,按直角三角形NMb1,（e）,a1M=r=1,故,a1M=r=1,63,于是式（e）可写成,（f）,材料2004-3.11第7周：25，26节,64,如果没有刚体转动，则求得的r就是切应变r。为了除去刚体转动的影响，即只考虑纯剪切变形，可将式（3-43）改写为,刚体转动,65,显然，上式后面的第二项是由于刚性转动引起的位移增量分量，而第一项才是由纯剪切变形引起的相对位移增量分量，若以dui表示，则,如将式（g）代入式（f），即可求得切应变的表达式为,（g）,3-53,（3-52）、（3-53）与任意斜面上的应力表达式形式完全相似。因此应变的有关公式可以借鉴应力的相应表达式。,66,67,四体积不变条件1含义：塑性变形前后，材料体积保持不变。,变形后，单元体的体积为,设单元体初始边长为dx、dy、dz，则变形前体积为,体积变化率,2条件方程,68,3.作用（1）确定塑性加工毛坯尺寸（计算尺寸）（2）确定应变分量之间得关系（3）可以作为塑性变形是否协调的近似判据。例题P88,体积不变条件表明：塑性变形时三个正应变之和等于零；三个正应变不可能全部同号。,塑性变形时,对于弹性变形,69,特征方程,主应变，应变分量的不变量，主剪应变和最大剪应变1、主应变：剪应变等于零时所对应的正应变称主应变。用1、2、3表示。,五、点的应变状态与应力状态的比较,对主轴坐标：,70,2应变张量不变量,第三不变量,第二不变量,第一不变量,对于弹性变形,对于塑性变形,71,3主剪应变，最大剪应变,则,方向为与主应变方向成,若,72,应变莫尔圆,应变莫尔圆，类似应力莫尔圆,O3,O,O1,O2,1,2,3,12,13,23,应变莫尔圆,3,理工材料2003-3.31第六周：3，4节,73,用主应变的个数和符号来表示应变状态的简图称主应变状态图，简称为主应变简图或主应变图。,三个主应变中绝对值最大的主应变，反映了该工序变形的特征，称为特征应变。,4、主应变简图,74,如用主应变简图来表示应变状态，根据体积不变条件和特征应变，则塑性变形只能有三种变形类型。,比较主应力图,75,压缩类变形。特征应变为负应变。另两个应变为正应变。剪切类变形（平面变形）一个应变为零，其他两个应变大小相等，方向相反。伸长类变形。特征应变为正应变，另两个应变为负应变。,76,5、应变偏张量和球张量，八面体应变和等效应变,应变球张量,应变偏张量,塑性变形时，体积不变，这时应变偏张量就是应变张量,77,得：,与8的推导过程一样，即,等效应变：将八面体剪应变取绝对值，乘以系数，所得之参量叫做等效应变。（比较等效应力，乘）,八面体应变,78,单向应力状态时，主应变为1，2=3,塑性变形时，,故,这时,79,等效应变特点：1、是一个不变量。2、在塑性变形时，其数值等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的线应变1。即,材料2003-3.31第六周：3，4节,80,1讨论协调方程的目的,概念：六个应变分量之间的关系称为应变连续方程或协调方程。,1）校核应变场不满足协调方程，应变场是不可解的，不真实的，不连续的。2）寻求补充方程,六应变连续方程（协调方程）,81,物体变形后必须仍然保持其整体性和连续性，即变形协调性。否则会出现下图（b）那样的“撕裂”现象，或图（c）那样的“套叠”现象，从而破坏了变形后必须仍然保持的整体性和连续性。,图变形状态分析,82,2协调方程,由,对y取两阶偏导,得,1)已知线应变求切应变,在xoy平面内，有x,y,xy,对x取两阶偏导,得,83,两式相加,得,同理,在YZ平面上,在XZ平面上,故,上式表明：在一个坐标平面内，两个线应变分量一经确定，则切应变分量也就确定。,即小应变几何方程,84,对X，Z求导，得,对X，Y求导，得,2)已知切应变求线应变,由,由,两式相加，得,85,故,同理,上式表明：在三维空间内，三个切应变分量一经确定，则线应变分量也就确定。,86,应变连续方程的物理意义：只有当应变分量之间满足上述方程时，物体变形后才是连续的，否则，变形后会出现“撕裂”现象，或“套叠”现象，从而破坏了变形后必须仍然保持的整体性和连续性。需要指出的是：如果已知位移分量ui，则由小应变几何方程求得的应变分量自然满足连续方程。但若先用其他方法求得应变分量，则要同时满足连续方程，才能由小应变几何方程求得正确的位移分量。,87,七、应变增量与应变速率张量,1、全量应变：反映变形体在某一变形过程阶段终了的变形大小，它只考虑过程的两个极端，而不考虑变形过程的某一瞬间。,一、全量应变与应变增量的概念,全量应变度量基准是变形以前的原始尺寸。而增量则是指变形过程中某一极短阶段的无限小应变，其度量基准不是原始尺寸，而是变形过程某一瞬间的尺寸。,88,2、增量应变：变形过程中一极短阶段的无限小应变，而某一瞬间的伸长量与这一瞬间长度的比值。,89,3、增量与全量的关系,当很小时，,90,二、速度分量（1）含义：单位时间的位移分量,讨论全量应变时，只是用了某变形过程终了时的位移场，所以没有引入时间参数。在描述整过变形过程时，则必须引入时间参数，这时的位移分量为,式中x、y、z是物体中一点在某时刻的坐标，它也是时间的函数。所以，位移分量ui对时间的全导数就是该点的移动速度分量，一般以表示，可记为,91,位移是坐标的连续函数，而位移速度既是坐标的连续函数，又是时间的函数。,92,小变形时，ui很小，全导数中的牵连部分可以忽略不计，则有,速度分量：,速度场位移场对时间的导数。,93,三、位移增量和应变增量,设在变形过程中的某一瞬时，物体各点的速度分量为，在随后的一个无限小时间间隔dt之内，质点产生的位移称为位移增量。,速度分量,x,y,z,du,u,0,PP1全量位移ui，而PP=PP-PP=dui,P,简记,94,产生位移增量之后，变形体内各质点就有相应的无限小应变增量。应变增量与位移增量之间的关系，也即几何方程，在形式上与小变形几何方程相同。将小变形几何方程中的ui改成dui，即可求得应变增量的各个分量，一般用符号dij表示，于是应变增量的几何方程为：,95,说明：1）应变增量与小应变张量在表达形式上一样。（具有三个主方向，三个主应变增量，偏张量，球张量，等效应变增量等）2）应变增量主轴与当时的全量应变主轴不一定重合。3)dij中的d表示增量，不是微分的符号。对一般的塑性变形过程，dij并不表示ij的微分；对dij积分也毫无意义，并不等于ij。,应变增量张量,96,同理，得,四、应变速率张量,定义：单位时间的应变称为应变速率，俗称变形速度。,用,表示，单位1/s,97,说明：1）应变速率反映了物体内各质点位移速度的差别2）应变速率取决于工具运动速度和物体形状尺寸,应变速率张量,98,在试验机上均匀压缩一柱体，下垫板不动，上压板以下移，取柱体下端为坐标圆点，压缩方向为x轴。柱体某瞬时高度为h，此时，柱体内各质点在x方向上的速度为,例题：,应变速率分量：,u,99,h=100mm,锤锻,若h=10mm，则上述的