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与三角形有关的角,内角,外角,1,2,3,三角形的内角和?,猜一猜:,1,2,3,猜一猜:,三角形的内角和?,1,2,3,猜一猜:,三角形的内角和?,1,2,3,猜一猜:,三角形的内角和?,三角形的内角和?,想一想:,如果不用剪、拼的方法,可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论成立?,想一想:,如果不用剪、拼的方法,可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论成立?,已知:ABC(图3-1)求证:A+B+C=1800,分析:图中的实验启发我们,要证明这个结论,可以延长一边BC,得到一个平角BCD,然后以CA为一边,在ABC的外部画ACE=A,这样只要证明ECD=B就可以了,证明:作BC的延长线CD,在ABC的外部,以CA为一边,CE为另一边画1=A,于是,CEBA(内错角相等,两直线平行)B=2(两直线平行,同位角相等),又1+2+ACB=1800(平角的定义)A+B+ACB=1800,B,C,D,E,1,A,2,想一想:,如果不用剪、拼的方法,可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论成立?,A,B,C,D,E,辅助线:在原来图形上添画的线叫辅助线.,尝试一下:,三角形的内角和等于180,三角形的内角和定理:,师生交流:,例1在ABC中,若A:B:C=2:3:4,求A、B和C的度数.,解:设A=2x,则B=3x,C=4x.2x+3x+4x=180(三角形内角和定理)解方程,得x=200A=2200=400B=3200=600C=4200=800,例2已知:在ABC中,C=ABC=2A,BD是AC边上的高,求DBC的度数.,分析:DBC在BDC中,BDC=900,为求DBC的度数,只要求出C的度数即可.,解:设A=x,则C=ABC=2x.,x+2x+2x=180(三角形内角和定理).,解方程,得x=360.C=2360=720.,在BDC中,BDC=900(已知),DBC=1800-900-720(三角形内角和定理).DBC=180.,A,B,C,D,启示?,例3.在ABC中,已知A-C=250,B-A=100,求:B的度数.,分析:根据三角形内角和定理可知:A+B+C=1800,然后结合已知条件便可以求出.,解:在ABC中,A+B+C=1800(三角形內角和定理)联立A-C=250,B-A=100可得,A=650,B=750,C=400答:B的度数是750.,一、选择题(1)在ABC中,A:B:C=1:2:3,则B=()A.300B.600C.900D.1200(2)在ABC中,A=500,B=800,则C=()A.400B.500C.100D.1100(3)在ABC中,A=800,B=C,则B=()A.500B.400C.100D.450二、填空(1)A:B:C=3:4:5,则B=(2)C=900,A=300,则B=(3)B=800,A=3C,则A=,B,600,750,B,600,A,如图:已知在ABC中,EF与AC交于点G,与BC的延长线交于点F,B=450,F=300,CGF=700,求A的度数.,A,E,G,F,C,B,如下图所示:C岛在A岛的北偏东50方向,B岛在A岛的北偏东80方向,C岛在B岛的北偏西40方向,从C岛看A、B两岛的视角ACB是多少度?,练习:,判断正误:1、三角形中最大的角是70,那么这个三角形是锐角三角形()2、一个三角形中最多只有一个钝角或直角()3、一个等腰三角形一定是锐角三角形()4、一个三角形最少有一个角不大于60(),三角形外角定义:三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫做三角形的外角.,特征:(1).顶点在三角形的一个顶点上.(2).一条边是三角形的一边.(3).另一条边是三角形某条边的延长线.实际上三角形的一个外角,就是三角形一个内角的邻补角,三角形的外角,如图.ABC中,A=70,B=60,ACD是ABC的一个外角,能由A,B求出ACD吗?如果能,ACD与A,B有什么关系?你能进一步说明ACD与图中的其它角有什么关系?,ACD=A+B.ACD+2=1800;ACDA;ACDB;,理由如下:A+B+2=1800(三角形内角和等于1800),1+2=1800(平角的意义),1=A+B.(等量代换).1A,1B(和大于部分).,能说出你的理由吗?,用文字表述为:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.,三角形的外角,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.,ABC中:1=A+B;1A,1B.,这个结论以后可以直接运用.,例1已知:如图,在ABC中,AD平分外角EAC,B=C.则ADBC请说明理由.,解EAC=B+C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),ADBC(内错角相等,两直线平行).,B=C(已知),DAC=C(等量代换).,AD平分EAC(已知).,C=EAC(等式性质).,DAC=EAC(角平分线的定义).,例题是运用了“内错角相等,两直线平行”得到了证实.,一题多解思维灵活,B=C(已知),B=EAC(等式性质).,AD平分EAC(已知).,DAE=EAC(角平分线的定义).,DAE=B(等量代换).,ADBC(同位角相等,两直线平行).,这里是运用了“同位角相等,两直线平行”得到了证实.,解EAC=B+C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),例1已知:如图,在ABC中,AD平分外角EAC,B=C.则ADBC,请说明理由,一题多解思维灵活,例1已知:如图6-13,在ABC中,AD平分外角EAC,B=C.则ADBC.请说明理由.,DAC=C(已证),BAC+B+C=1800(三角形内角和定理).,BAC+B+DAC=1800(等量代换).,ADBC(同旁内角互补,两直线平行).,这里是运用了“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.,解:由解法1可得:,例2已知:如图,在ABC中,1是它的一个外角,E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.则12,请说明理由.,解:1是ABC的一个外角(已知),把你所悟到的证明一个真命题的方法,步骤,书写格式以及注意事项内化为一种方法.,13(三角形的一个外角大于和与它不相邻的任何一个内角).,3是CDE的一个外角(外角定义).,32(三角形的一个外角大于和与它不相邻的任何一个内角).,12(不等式的性质).,我能行,已知:如图所示,在ABC中,外角DCA=100,A=45.求:B和ACB的大小.,解:DCA是ABC的一个外角(已知),DCA=100(已知),B=100-45=55.(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).,又DCA+BCA=180(平角意义).,ACB=80(等式的性质).,A=45(已知),你认识外角吗?,已知:国旗上的正五角星形如图所示.求:A+B+C+D+E的度数.,解:1是BDF的一个外角(外角的意义),分析:设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角和性质来求解.,1=B+D(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).,2=C+E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).,又A+1+2=180(三角形内角和等于180).,又2是EHC的一个外角(外角的意义),A+B+C+D+E=180(等式性质).,你认识外角吗?,已知:如图所示.求证:(1)BDCA;(2)BDC=A+B+C.,证明(1):BDC是DCE的一个外角(外角的定义),BDCCED(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角).,DECA(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角).,BDCA(不等式的性质).,DEC是ABE的一个外角(外角的定义),你认识外角吗?,已知:如图所示.求证:(1)BDCA;(2)BDC=A+B+C.,证明(2):BDC是DCE的一个外角(外角的定义),BDC=C+CED(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).,DEC=A+B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和).,BDC=A+
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