2020年湖南省名师联盟高考数学一模试卷文科.pdf

第1页（共26页） 2020 年湖南省名师联盟高考数学一模试卷（文科）年湖南省名师联盟高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分） （2020湖南一模）设全集 U 是实数集 R，Mx|x2 或 x2，Nx|x24x+3 0，则（UM）N（ ） Ax|2x1 Bx|2x2 Cx|1x2 Dx|x2 2 （5 分） （2020湖南一模）若复数 z4i，则 z（ ） A15 B16 C17 D18 3 （5 分） （2020湖南一模）下列说法正确的是（ ） AxR，x20”的否定是 B命题“设 a，bR，若 a+b4，则 a2 或 b2 是一个假命题 C “m1”是“函数 f（x）m2xm+2为幂函数”的充分不必要条件 D向量，则 在 方向上的投影为 5 4 （5 分） （2020湖南一模）在ABC 中，且，则 + （ ） A1 B C D 5 （5 分） （2020湖南一模）已知实数 x，y 满足，则该不等式组所表示的平面区 域的面积为（ ） A B C2 D3 6 （5 分） （2020湖南一模） 函数 f （x） 在 （） 上的图象大致为 （ ） ABCD 第2页（共26页） 7 （5 分） （2020湖南一模） 设 F1， F2是双曲线的两个焦点， P 是 C 上一点， 若|PF1|+|PF2|6a， 且PF1F2的最小内角为 30， 则 C 的离心率为 （ ） A B C D 8 （5 分） （2020湖南一模）函数，当 0x1 时，下列式子大小关系正确的是 （ ） Af2（x）f（x2）f（x） Bf（x2）f2（x）f（x） Cf（x）f（x2）f2（x） Df（x2）f（x）f2（x） 9 （5 分） （2020湖南一模）函数的部分图象 如图所示，则函数的最小正周期为（ ） A B2 C4 D 10 （5 分） （2020湖南一模）在区域内任取一点 P（x，y） ，满足 的概率为（ ） A B C D 11 （5 分） （2020湖南一模）设 f（x）是定义在1，1上的可导函数，f（0）0，且 f （x）2+x2，则不等式 f（a）+f（12a）0 的解集为（ ） A0，1 B1，1） C （1，1 D0，1） 12 （5 分） （2020湖南一模）若关于 x 的不等式1 在区间（1，2上恒成立，则 实数 a 的取值范围为（ ） A （0，ln2 B （，ln2 C （ln2，+） D （，1 第3页（共26页） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分） （2020湖南一模）二项式（+）5的展开式中常数项为 所有项的 系数和为 14 （5 分） （2020湖南一模）设向量 （1，1） ， （1，2） ，则向量 + 与向量 的 夹角为 15 （5 分） （2020湖南一模）已知函数，则函数 yf（f（x） ） 的所有零点所构成的集合为 16 （5 分） （2020湖南一模）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，C 是锐角，且 a2，cosA，则ABC 的面积为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 大题，共大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分） （2020湖南一模）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 an+12+Sn对一切正 整数 n 恒成立 （1）求 a1和数列an的通项公式； （2）求数列Sn的前 n 项和 Tn 第4页（共26页） 18（12 分）（2020湖南一模） 如图， 在多面体 BACDE 中， 已知 ABBCCD2， ，AEAC，平面 ABC平面 ACDE，F 为 BC 的中点，连接 DF （1）求证：DF平面 ABE； （2）求三棱锥 BDEF 的体积 第5页（共26页） 19 （12 分） （2020湖南一模）众所周知，大型网络游戏（下面简称网游）的运行必须依托 于网络的基础上，否则会出现频繁掉线的情况，进而影响游戏的销售和推广，某网游经 销在甲地区 5 个位置对两种类型的网络（包括“电信”和“网通” ）在相同条件下进行游 戏掉线的测试，得到数据如下： 位置 类型 A B C D E 电信 4 3 8 6 12 网通 5 7 9 4 3 （1）如果在测试中掉线次数超过 5 次，则网络状况为“糟糕” ，否则为“良好” ，那么在 犯错误的概率不超过 0.15 的前提下，能否说明网络状况与网络的类型有关？ （2）若该游戏经销商要在上述接受测试的电信的 5 个地区中任选 2 个作为游戏推广，求 A，B 两地区至少选到一个的概率 参考公式：K2 P（K2 k0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k0 0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 第6页（共26页） 20（12 分）（2020湖南一模） 已知椭圆 C 的两个焦点分别为， 且椭圆 C 过点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 若与直线 OP 平行的直线交椭圆 C 于 A， B 两点， 当 OAOB 时， 求AOB 的面积 第7页（共26页） 21 （12 分） （2020湖南一模）已知函数 f（x）2lnx+a（x24x+3） （1）若 a，求 f（x）的单调区间； （2）证明： （i）lnxx1； （ii）对任意 a（，0） ，f（x）0 对 x（，+）恒成立 第8页（共26页） 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22（10 分）（2020湖南一模） 在平面直角坐标系 xOy 中， 圆 C 的参数方程为 （ 为参数，t 为常数） 以原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中直线 l 的极坐标方程为 cos（） （1）求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与圆 C 有两个公共点，求实数 t 的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23 （2020湖南一模）设函数 f（x）|xa|+2x，其中 a0 （1）当 a3，求等式 f（x）2x+4 的解集； （2）若不等式 f（x）0 的解集为x|x2，求 a 的值 第9页（共26页） 2020 年湖南省名师联盟高考数学一模试卷（文科）年湖南省名师联盟高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分） （2020湖南一模）设全集 U 是实数集 R，Mx|x2 或 x2，Nx|x24x+3 0，则（UM）N（ ） Ax|2x1 Bx|2x2 Cx|1x2 Dx|x2 【考点】1H：交、并、补集的混合运算菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；4O：定义法；5J：集合 【分析】求出集合 N 的等价条件，结合补集和交集的定义进行求解即可 【解答】解：Nx|x24x+30x|1x3， 则UMx|2x2， 则（UM）Nx|1x2， 故选：C 【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，结合集合的补集和交集 定义是解决本题的关键 2 （5 分） （2020湖南一模）若复数 z4i，则 z（ ） A15 B16 C17 D18 【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数 【分析】由已知求得 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z4i， 故选：C 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题 3 （5 分） （2020湖南一模）下列说法正确的是（ ） AxR，x20”的否定是 B命题“设 a，bR，若 a+b4，则 a2 或 b2 是一个假命题 第10页（共26页） C “m1”是“函数 f（x）m2xm+2为幂函数”的充分不必要条件 D向量，则 在 方向上的投影为 5 【考点】2K：命题的真假判断与应用菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用；5A：平面向量及应用； 5L：简易逻辑 【分析】A，根据全称命题的否定是特称命题，判断正误即可； B，根据原命题与它的逆否命题的关系，判断正误即可； C，根据幂函数的定义求出 m 的值； D，利用向量投影的定义求出运算结果 【解答】解：对于 A， “xR，x20”的否定是“x0R，” ，A 错误； 对于 B，该命题的逆否命题为：若 a2，b2，则 a+b4 为真命题，B 错误； 对于 C，f（x）m2xm+2为幂函数时，m1，C 正确； 对于 D， 在 方向上的投影为，D 错误 故选：C 【点评】本题利用命题真假的判断，考查了简易逻辑与幂函数的定义和向量投影的应用 问题，是基础题 4 （5 分） （2020湖南一模）在ABC 中，且，则 + （ ） A1 B C D 【考点】9E：向量数乘和线性运算菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用 【分析】可根据条件画出图形，并由条件知 D 是 BC 的中点，P 是 AD 的中点，从而可求 出，这样由平面向量基本定理即可求出 + 的值 【解答】解：根据条件画出图形如下： 第11页（共26页） 由知，D 是边 BC 的中点； 由知，P 是线段 AD 的中点； ； 又； 根据平面向量基本定理得，； 故选：C 【点评】考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘和减法的几何意义，以及平面向量 基本定理 5 （5 分） （2020湖南一模）已知实数 x，y 满足，则该不等式组所表示的平面区 域的面积为（ ） A B C2 D3 【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5T：不等式；63：数学建模 【分析】利用约束条件画出可行域，通过可行域求解顶点坐标，然后求解可行域的面积 【解答】解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的区域如下图所示， 其为阴影部分的三角区， 解方程组可以求得三角形三个顶点的坐标分别为（1，0） ， （2，1） ， （4，0） ， 根据三角形的面积公式可以求得 S 故选：B 第12页（共26页） 【点评】本题主要考查线性规划的应用，通过数形结合是解决本题的关键，是中档题 6 （5 分） （2020湖南一模） 函数 f （x） 在 （） 上的图象大致为 （ ） A B C D 【考点】3A：函数的图象与图象的变换菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用 【分析】判断函数的奇偶性，函数零点个数以及函数值的符号是否对应进行排除即可 【解答】解：f（x）f（x） ， 则函数 f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除 D， 由 f （x） 0 得 sin3x0， 即 3xk， 即 x， 此时 x0， ， 即函数在 （） 有三个零点，排除 A， f（），排除 B， 故选：C 第13页（共26页） 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性，对称性以及零点个 数，特殊值的符号进行排除是解决本题的关键 7 （5 分） （2020湖南一模） 设 F1， F2是双曲线的两个焦点， P 是 C 上一点， 若|PF1|+|PF2|6a， 且PF1F2的最小内角为 30， 则 C 的离心率为 （ ） A B C D 【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，进而确定最小内角，再利用余 弦定理和离心率计算公式即可得出 【解答】解：不妨设|PF1|PF2|，则|PF1|PF2|2a，又|PF1|+|PF2|6a，解得|PF1|4a， |PF2|2a 则PF1F2是PF1F2的最小内角为 30，2|PF1| |F1F2|cos30， （2a）2（4a）2+（2c）2， 化为0，解得 故选：C 【点评】熟练掌握双曲线的定义、离心率计算公式、余弦定理是解题的关键 8 （5 分） （2020湖南一模）函数，当 0x1 时，下列式子大小关系正确的是 （ ） Af2（x）f（x2）f（x） Bf（x2）f2（x）f（x） Cf（x）f（x2）f2（x） Df（x2）f（x）f2（x） 【考点】3E：函数单调性的性质与判断；6B：利用导数研究函数的单调性；72：不等式 比较大小菁优网版权所有 【分析】由 0x1 得到 x2x，要比较 f（x）与 f（x2）的大小，即要判断函数是增函 数还是减函数，可求出 f（x）利用导函数的正负决定函数的增减性即可比较出 f（x） 与 f（x2）大小 第14页（共26页） 【解答】解：根据 0x1 得到 x2x，而 f（x）， 因为（lnx）20，所以根据对数函数的单调性得到在 0x1 时，lnx10，所以 f （x）0，函数单调递减 所以 f（x2）f（x） ，根据排除法 A、B、D 错，C 正确 故选：C 【点评】考查学生利用导数研究函数的单调性，以及会利用函数的单调性判断函数值的 大小，在做选择题时，可采用排除法得到正确答案 9 （5 分） （2020湖南一模）函数的部分图象 如图所示，则函数的最小正周期为（ ） A B2 C4 D 【考点】H1：三角函数的周期性；HK：由 yAsin（x+）的部分图象确定其解析式菁 优网版权所有 【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值， 可得 g（x）的解析式，再利用用三角函数的周期性，得出结论 【解答】解：根据函数的部分图象，可得 A 1， 由图知 点是五点作图的第二个点，则， f（x）cos（2x） ， 易知 yg（x）与的最小正周期相同，均为， 故选：A 第15页（共26页） 【点评】本题主要考查由函数 yAsin（x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的 顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，三角函数的周期性，属于 基础题 10 （5 分） （2020湖南一模）在区域内任取一点 P（x，y） ，满足 的概率为（ ） A B C D 【考点】CF：几何概型菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5I：概率与统计 【分析】由题意可知，内任取一点 P（x，y） ，曲线的轨迹是以 （1，0）为圆心，1 为半径的上半圆，由几何概型的求解公式即可求解 【解答】解：曲线的轨迹是以（1，0）为圆心，1 为半径的上半圆，由几何 概型得， 故选：C 【点评】本题主要考查了与面积有关的概率的求解，属于基础试题 11 （5 分） （2020湖南一模）设 f（x）是定义在1，1上的可导函数，f（0）0，且 f （x）2+x2，则不等式 f（a）+f（12a）0 的解集为（ ） A0，1 B1，1） C （1，1 D0，1） 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用 【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性和奇偶性得到关于 a 的不等式组，解出即 可 【解答】解：f（x）2+x2是偶函数且大于 0，f（0）0， 则 f（x）为1，1上的奇函数和增函数， 第16页（共26页） f（a）+f（12a）0f（a）f（12a）f（2a1） ， 则， 故选：D 【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一 道常规题 12 （5 分） （2020湖南一模）若关于 x 的不等式1 在区间（1，2上恒成立，则 实数 a 的取值范围为（ ） A （0，ln2 B （，ln2 C （ln2，+） D （，1 【考点】3R：函数恒成立问题菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；32：分类讨论；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及 应用；65：数学运算 【分析】关于 x 的不等式不等式1 在区间（1，2上恒成立关于 x 的不等式 a （x1） 2lnx 在区间 （1， 2上恒成立 显然当 a时， 关于 x 的不等式不等式 1 在区间（1，2上恒成立对 a 分类讨论，作出图象，根据单调性即可得出 【解答】解：关于 x 的不等式不等式1 在区间（1，2上恒成立关于 x 的不 等式 a（x1）2lnx 在区间（1，2上恒成立 显然当 a时，关于 x 的不等式不等式1 在区间（1，2上恒成立 当 a0 时，在同一坐标系内分别作出 ya（x1）2，ylnx 的图象， 所以关于 x 的不等式 a（x1）2lnx 在区间（1，2上恒成立 A 点的位置不低于 B 点的位置ln2a（21）20aln2 综上，实数 a 的取值范围为（，ln2 故选：B 第17页（共26页） 【点评】本题考查了函数的图象与单调性、不等式的解法、方程的解法、转化法、二次 函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分） （2020湖南一模）二项式（+）5的展开式中常数项为 5 所有项的系 数和为 32 【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；4R：转化法；5P：二项式定理；65：数学运算 【分析】利用展开式的通项公式可得展开式中的常数项；令 x1，得到所有项的系数和 【解答】解：展开式的通项为：Tr+1， 令（1r）0，解得 r1， 所以展开式中的常数项为：T25 令 x1，得到所有项的系数和为 2532 故答案为：5，32 【点评】本题考查了二项式的展开式的通项公式及其性质、方程的解法、转化法，考查 了推理能力与计算能力，属于基础题 14 （5 分） （2020湖南一模）设向量 （1，1） ， （1，2） ，则向量 + 与向量 的 夹角为 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用 【分析】可求出，从而可求出，根据向量夹角的 范围即可求出夹角 【解答】解：； 第18页（共26页） ； ； 又； 故答案为： 【点评】考查向量坐标的加法和数量积的运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，以 及向量夹角的余弦公式 15 （5 分） （2020湖南一模）已知函数，则函数 yf（f（x） ） 的所有零点所构成的集合为 0，2，5 【考点】5B：分段函数的应用菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用 【分析】利用分段函数求解函数的零点，转化求解即可 【解答】解：令 tf（x） ，由 f（t）0，得 t0 或 t2，再由 f（x）0，解得 x0，x 2；由 f（x）2，解得 x5， 即函数 yf（f（x） ）的所有零点所构成的集合为0，2，5 故答案为：0，2，5 【点评】本题考查函数的零点的求法，分段函数的应用，考查计算能力 16 （5 分） （2020湖南一模）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，C 是锐角，且 a2，cosA，则ABC 的面积为 7 【考点】HP：正弦定理菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形 【分析】由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得 sin2Bsin2C，可得 B C，或 B+C，由 cosA，可得 BC，可得 bc，由余弦定理可得 bc， 利用三角形的面积公式即可计算得解 第19页（共26页） 【解答】 解： ， 可得：， 可得：， 可得：sin2Bsin2C， BC，或 B+C， 又cosA， BC，可得：bc， 由余弦定理 a2b2+c22bccosA，可得：2b228，可得：bc， SABCbcsinA7 故答案为：7 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形的面 积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 大题，共大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分） （2020湖南一模）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 an+12+Sn对一切正 整数 n 恒成立 （1）求 a1和数列an的通项公式； （2）求数列Sn的前 n 项和 Tn 【考点】8H：数列递推式菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列 【分析】 （1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式 （2）利用等比和等差数列的前 n 项和公式求出结果 【解答】解：等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 an+12+Sn对一切正整数 n 恒成立， 当 n1 时，a22a1，a22+S1， 解得：a12， 当 n2 时，an2+Sn1， 两式相减得：an+12an， 即：（常数） ， 故：数列an是以 a12，公比为 2 的等比数列 第20页（共26页） 所以： （2）由于：， 所以：， 则：， ， 2n+22n4 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前 n 项和的应用， 主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 18（12 分）（2020湖南一模） 如图， 在多面体 BACDE 中， 已知 ABBCCD2， ，AEAC，平面 ABC平面 ACDE，F 为 BC 的中点，连接 DF （1）求证：DF平面 ABE； （2）求三棱锥 BDEF 的体积 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系 与距离 【分析】 （1）过 D 作 DGAC 于 G取 AB 的中点为 H，连接 EH，HF证明 HFAG， 推出 DFEH，即可证明 DF平面 ABE （2） 通过三棱锥 BDEF 的体积等于三棱锥 BHEF 的体积， 等于三棱锥 FHEB 的体 积，转化求解即可 【解答】解： （1）证明：过 D 作 DGAC 于 G 因为 AEAC，所以 AEDG， 第21页（共26页） 因为 CD2，所以， 因为，所以 AEDG， 所以四边形 AGDE 为矩形，所以 EDAG，EDAG， 取 AB 的中点为 H，连接 EH，HF 因为 F 为 BC 的中点，所以 HFAG，HFAG， 所以 HFED，HFED，所以四边形 EDHF 为平行四边形， 所以 DFEH，因为 DF平面 ABE，EH平面 ABE 所以 DF平面 ABE （2）因为平面 ABC平面 ACDE，AEAC，所以 AE平面 ABC 因为 AE平面 ABE，所以平面 ABE平面 ABC， 因为 ABBC2，所以 ABBC， 因为平面 ABE平面 ABCAB，BC平面 ABC，所以 BC平面 ABE， 因为四边形 EDFH 为平行四边形， 所以三棱锥 BDEF 的体积等于三棱锥 BHEF 的体积， 等于三棱锥 FHEB 的体积， 所以三棱锥BDEF的体积 【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体是体积的求法，考查转化 思想以及计算能力 19 （12 分） （2020湖南一模）众所周知，大型网络游戏（下面简称网游）的运行必须依托 于网络的基础上，否则会出现频繁掉线的情况，进而影响游戏的销售和推广，某网游经 销在甲地区 5 个位置对两种类型的网络（包括“电信”和“网通” ）在相同条件下进行游 第22页（共26页） 戏掉线的测试，得到数据如下： 位置 类型 A B C D E 电信 4 3 8 6 12 网通 5 7 9 4 3 （1）如果在测试中掉线次数超过 5 次，则网络状况为“糟糕” ，否则为“良好” ，那么在 犯错误的概率不超过 0.15 的前提下，能否说明网络状况与网络的类型有关？ （2）若该游戏经销商要在上述接受测试的电信的 5 个地区中任选 2 个作为游戏推广，求 A，B 两地区至少选到一个的概率 参考公式：K2 P（K2 k0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k0 0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【考点】BL：独立性检验菁优网版权所有 【专题】12：应用题；38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计；66：数据分 析 【分析】 （1）根据题意列出列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （2）用列举法写出基本事件数，计算所求的概率值 【解答】解： （1）根据题意列出 22 列联表如下， 糟糕 良好 合计 电信 3 2 5 网通 2 3 5 合计 5 5 10 由表中数据，计算 K20.42.07， 所以在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下，不能说明网络状况与网络的类型有关； （2）依题意，在上述接受测试的电信的 5 个地区中任选 2 个作为游戏推广， 其所有的可能有 AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE 共 10 种， 第23页（共26页） 其中满足条件的为 AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE 共 7 种， 故所求的概率为 P 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了列举法求古典概型的概率问 题，是基础题 20（12 分）（2020湖南一模） 已知椭圆 C 的两个焦点分别为， 且椭圆 C 过点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 若与直线 OP 平行的直线交椭圆 C 于 A， B 两点， 当 OAOB 时， 求AOB 的面积 【考点】KL：直线与椭圆的综合菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 （1）设出椭圆 C 的标准方程，代入点 P 的坐标，列式解方程可得； （2）联立直线与椭圆，结合韦达定理、向量垂直、弦长公式、点到直线距离、面积公式 可求得 【解答】解： （1）设椭圆 C 的方程为， 由题意可得解得 故椭圆 C 的方程为 （2）直线 OP 的方程为， 设直线 AB 方程为，A（x1，y1） ，B（x2，y2） 将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程并整理得， 由3m24（m21）0，得 m24， 由OAOB得， 第24页（共26页） ， 得 又， O到 直 线AB的 距 离 所以 【点评】本题考查了直线与椭圆的综合，属中档题 21 （12 分） （2020湖南一模）已知函数 f（x）2lnx+a（x24x+3） （1）若 a，求 f（x）的单调区间； （2）证明： （i）lnxx1； （ii）对任意 a（，0） ，f（x）0 对 x（，+）恒成立 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值菁优网版权所有 【专题】15：综合题；33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用 【分析】 （1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出， （2） （i）令 g（x）lnxx+1， （x0） ，g（1）0利用导数研究其单调性最值即可得 出 （ii）由（i）可知，lnxx1，则 f（x）2（x1）+a（x24x3） ，只要证明 a（x 1） （x）0 即可 【解答】 （1）解：当 a时，f（x）2lnx+（x24x+3） ， f（x）+（2x4），x0， 令 f（x）0，可得 x或 0x，令 f（x）0，可得x， f（x）的单调递增区间为（0，）和（，+） ，单调递减区间为（，） ； （2）证明： （i）设 g（x）lnx（x1） ， g（x）1， 第25页（共26页） g（x）0，得 x1， 令 g（x）0，0x1；令 g（x）0，x1， g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减