第二章有限元法原理

第二章有限元法的基本原理,第一节弹性力学有关知识,第二节平面问题有限元法,平面问题有限元法,数值计算方法,近似解,差分法、变分法,微分方程边值问题,离散、分片插值,单元、节点,非均匀网格简化插值函数,Review,单元通过节点连接,第一节弹性力学有关知识,载荷(load)应力(Stress)应变(Strain)位移(Displacement),一、弹性力学中的物理量,Pv=pvxpvypvzT,Pc=pcxpcypczT,Ps=psxpsypszT,外界作用在弹性体上的力，又称为外力,载荷,应力,=xyzxyyzzxT,6个应力分量,应变,=xyzxyyzzxT,6个应变分量,Displacement,xaxis:uyaxis:vzaxis:w,d=uvwT,位移,变形(deform,deformation),Pv=pvxpvypvzT,Pc=pcxpcypczT,Ps=psxpsypszT,=xyzxyyzzxT,=xyzxyyzzxT,d=uvwT,平衡方程几何方程物理方程,二、弹性力学的基本方程,Relationshipamongload,stress,strainanddisplacement,1、平衡方程,应力载荷,2、几何方程,应变位移,3、物理方程,应变应力,平衡方程：3几何方程：6物理方程：6,15,15,=,Stress：6Strain：6Disp.：3,基本未知量,stresses力法Displacements位移法stress,displacements混合法,三、虚位移原理,Learnbyyourself,definitionofplaneproblem,3D,四、平面问题定义,planestress,一个方向的尺寸远小于其他两个方向的尺寸；载荷平行于平板平面内并沿厚度方向均匀分布,planestrain,一个方向的尺寸远大于其他两个方向的尺寸；载荷平行于截面并沿长度方向均匀分布,3Dmodel,Mucheasier,位移,载荷,几何方程,物理方程,基本未知量,解题思路,ProcedureofStaticAnalysisofPlaneStressProblem,第二节平面问题有限元法,平面应力问题的线性静力分析,staticloadlinearstress,deformation,一、结构离散,ProcedureofStaticAnalysis,单元编号（elementlabel）节点编号（nodelabel）,(ui,vi)(uj,vj)(um,vm),ElementlabelNodelabelNodelocation,Disp.Components:,已知,未知,(ui,vi)、(uj,vj)、(um,vm),二、单元分析(ElementAnalysis),目的：形成单元位移、应变、应力表达式形成每个单元的刚度矩阵,1、位移函数(displacementfunction),位移插值函数,单元内的位移插值表达式,分片插值,节点位移，单元内任一点的位移,Ni、Nj、Nm,形函数物理意义,性质,1.,2.,3.,Requirementsfordisplacementfunction,(1)常数项,(2)线性项,(3)位移连续性,(4)几何各向同性,1xyx2xyy2x3x2yxy2y3x4x3yx2y2xy3y4x5x4yx3y2x2y3xy4y5,收敛(convergence),位移函数应满足的条件,充分条件,位移,载荷,几何方程,物理方程,基本未知量,解题思路,2、单元应变和应力(elementstrainandstress),(l=i，j，m),应变矩阵,bi、bj、bmci、cj、cm,常数矩阵,与单元形状有关,应力矩阵,基本未知量,数量有限！,质点位移d(x,y),3、单元刚度矩阵(elementstiffnessmatrix),单元刚阵,单元材料板的厚度单元面积单元形状,常数矩阵,单元平衡方程,单元刚阵的性质,(2)奇异性(singularity),(1)对称性(symmetry),二、单元分析(ElementAnalysis),目的：形成单元位移、应变、应力表达式,形成每个单元的刚度矩阵,Question?,Canyouobtainqebysolvingtheequationabove?,Why?,线性方程组,三、总刚集成,globalstiffnessmatrixofthestructure,内力抵消,总刚矩阵,(s=i，j，m),1、总刚集成原理,K,结构平衡方程,总刚矩阵(GlobalStiffnessMatrix),2、总刚集成过程,（1）扩阶过程,（2）叠加过程,3、总刚矩阵的特点,对称性（Symmetry）KT=K稀疏性（Sparse）带状性（Band）奇异性（singularity）|K|=0,四、载荷移置,Kq=R,Nodalforce:Concentratedforceatnodes,1、集中力的移置,=,2、面力的移置,3、体力的移置,Question?,Canyouobtainqbysolvingtheequationabove?,Why?,Kq=R,线性方程组,Kq=R,五、约束处理,消除结构的刚体运动，从而消除K的奇异性,Timeconsuming!,六、求解线性方程组,七、计算其它物理量,位移法,节点位移,无穷数量的质点位移,八、计算结果处理,1=(+)/22=(+)/6,1=(+)/22=(+)/2,九、结果显示、打印、分析,procedureofstaticanalysis,Discretion,Globalstiffnessmatrix,LoadTranslation,ResultsProcess&Display,CalculateOtherQuantities,RestrainProcess,SolveEquations,Elementanalysis,Discretion,Patchinterpolation,Displacementfunctiondefinedoveraelement,points:Infinitenodes:fin