第二章各向异性弹性力学

.,第二章各向异性弹性力学,.,各向异性与各向同性弹性力学的基本方程的差别,差别在于:本构方程其它平衡方程,几何方程,协调方程,和边界条件等则完全相同.即用各向异性胡克定律代替各向同性胡克定律,这一代换将使力学计算及反映的现象十分复杂.,.,单元体应力及正负号规定,如果作用面的外法线指向坐标系中相应坐标轴的正向,而应力分量也指向对应坐标轴的正向,则应力分量为正。当两个下标中,只有一个指向坐标轴的正向时,该应力分量就为负.,y,x,作用在y面上的正应力,作用在y面内x方向的剪应力,z,.,静力平衡方程（3）,X，Y，Z作用于微元体的体积力,力要平衡！,.,几何关系(小变形)(6),变形要协调！,三个独立的位移场即可以完全确定变形，而应变亦可以描述变形，它们之间满足以下关系！,.,本构方程（6）,反映出材料的性质！,与,之间的关系,.,各向异性弹性力学问题需满足的基本方程,与各向同性弹性力学一样,各向异性弹性力学有15个未知量,15个场方程静力平衡方程（3）几何关系（6）本构方程（6）,可以求解了吗？,.,给定力的边界条件(3),定解还需边界条件！,.,给定位移的边界条件(3),.,各向异性弹性力学问题需满足的基本方程（另一组定解方程）,与各向同性弹性力学一样,各向异性弹性力学有12个未知量,.,变形协调方程(3/6),只有三个是独立的，为什么？,.,以上的力学,几何,物理,以及边界条件诸方面构成各向异性弹性力学的基本方程,与各向同性弹性力学的区别在于物理方程.其它均相同,.,弹性介质的本构关系均质弹性体的弹性性质坐标转换(应力应变及弹性系数转轴公式)弹性对称性本构关系的简化正交异性材料弹性常数的物理意义,.,2.1弹性介质的本构关系,2.1.1弹性介质的本构关系,规定下标i，j与一维指标对应如下次序：,(21),则（21）的两式可以写成矩阵乘法的形式，第一式可以写作,.,记作,可以理解为张量等式，理解为应力张量和应变张量，L理解为弹性刚度张量；也可以理解为矩阵等式，理解为应力列矢量和应变列矢量，L理解为弹性刚度矩阵。L与M具有Voigt对称性，因此矩阵L与M为9列9行的对称矩阵。,（22）,.,由于应力张量与应变张量都是对称张量。（22）式中的列矢量与的第4行与第5行相同，第6行与第7行相同，第8行与第9行相同。弹性刚度矩阵与柔度矩阵第4行、列与第5行、列相同，第6行、列与第7行、列相同，第8行、列与第9行、列相同。利用这种对称性，可以把应力张量与应变张量写成6个元素的“列矢量”,相应的，L与M可写成6行6列的对称矩阵,.,也就是说，各列除去重复的元素，但第1、2、3列的元素的数值不变，而第4、5、6列的元素则乘以2。此时，张量运算与矩阵运算仍然一样，但失去了矩阵地对称性。,.,有的文献中定义应力“列矢量”为,应变“列矢量”为,注意：，就是剪切角，。,.,于是可以把弹性本构关系写成：,或,（23）,（24）,.,容易导出矩阵C，s与L，M之间的关系为,.,2.1.2弹性应变能密度,固体变形时，加在它上面的外力要做功。完全弹性体在等温条件下，当缓慢卸载后可以完全恢复其初始状态。因此，可以认为，外力功全部以能量的形式储存在弹性体内。这种能量称为应变能。通过对体微元的研究，可以得到弹性应变能密度：,其中,(Voigt对称性)(Voigt对称性),.,由线弹性可以得,.,2.2均质弹性体的弹性性质,对于均质弹性体，材料的性质与位置坐标无关。其应变位能是应变分量，的函数，而且只取决于应变的最终值。从数学上说，是应变状态的单值函数，而且与积分路径无关，必是对应变分量的全微分，即：,可得,（25）,.,为了便于以后的讨论，给出的展开式,（26）,.,2.3坐标转换(应力应变及弹性系数转轴公式),2.3.1斜面应力,为了讨论过点A任意斜面的应力，在点A附近取一个四面体微元ABCD(图21)。,图21,.,斜面BCD的外法线为N，令N的方向余弦为：,则有,式中，、依次为三角形BCD、ACD、ABD、ABC的面积。令四面体微元的体积为dV，斜面BCD上应力向量在坐标方向上的分量为、，则由四面体微元的的条件得到：,（27）,.,得到方程如下：,写成矩阵形式,也就是说，若应力张量为已知，则任一斜面上的应力均可求出。因此，应力张量完全决定了一点的应力状态。,（28）,.,2.3.2应力应变转轴公式,三维情况：,图22,坐标系如图22所示，新坐标与原坐标的方向余弦列于表1：其中,.,表1,即,（29）,.,将式（29）展开，并按一定次序排列应力张量，可得应力分量转轴公式：,（210）,称为应力转换矩阵,.,同理可得，应变分量转轴公式,（211）,称为应力转换矩阵,.,二维情况：,二维情况的坐标建立如下两图：,图23,图24,.,同理：,（212）,（213）,（214）,.,2.3.3弹性系数的转轴公式,各向异性体的弹性特性随方向不同而异，即各向异性体的弹性系数是方向的函数，它们与坐标的取向有关，只有在各向同性情况下，弹性系数在任意正交坐标系是不变的。,已知,求逆,又因为,所以可得,.,通过单位体积应变能函数U0可以证明：,从而可以得到：,所以,其中,为新坐标系中的柔度矩阵,为新坐标系中的刚度矩阵,以上即为弹性系数转轴公式的矩阵形式。,（215）,.,2.4弹性对称性本构关系的简化,大多数工程材料内部结构具有对称性，这决定了材料的弹性特性也具有对称性。均质弹性体中，若过每一点的不同方向的弹性特征不同，称为一般均质各向异性体，它具有36个非零的弹性系数，但其中21个独立的弹性系数。若物体中的每一点出现有对称的方向，这些方向上的弹性特征相同，它就具有弹性对称。具有弹性对称的物体，广义虎可定律的方程和能量函数的表达式都可以简化，在弹性系数之间出现依赖关系。,Voigt对称性:可证明张量L对双指标ij和kl具有对称性。,.,2.4.1一个弹性对称面,弹性对称面就是指经过物体内的每一点都有这样的平面，在这个平面的对称方向上弹性特性是相同的。取xy坐标面与弹性对称面平行，z轴与弹性对称面垂直（如图），现研究体微元ABCDE的弹性对称问题。,由弹性对称面的定义知，当倒置z轴时，在坐标系(x、y、z)和（x、y、）中，体微元具有相同的应力、应变关系。换言之，弹性系数、不因倒置z轴而发生变化。,图25,.,弹性体单位体积的应变能是应变状态的单位函数，而且能量是标量，不因坐标的选择不同而改变其量值。但是当z轴变成轴时，有些物理量将变号。用u，v，w和u，v，w分别表示两坐标中的位移分量，存在着下述关系：,与有关的剪应变分别为：,所以可得：,也就是说，z轴倒置时，与z方向有关的剪应变分量变号。,（216）,（217）,.,由的表达式不难看出，除非含和的一次项的刚度系数等于零，否则不能保证的量值不变。于是，有,刚度系数减少了8个，剩下13个。同样可以证明，柔度系数也剩下13个。于是，当z轴垂直弹性对称面时，应力、应变关系为：,（218）,垂直于弹性对称面的方向为弹性主方向，坐标轴在弹性主方向时称为弹性主轴。上述的z轴即为弹性主轴。,.,只有13个(21-8)弹性常数,.,如果其他应力分量为0,当沿弹性主轴拉伸时,除纵向伸长,横向收缩外,还会引起与主轴垂直的面(弹性对称面)内的剪应变,且弹性主轴方向不变,.,2.4.2三个弹性对称面正交异性,若经过均质弹性体的每一点都有三个互相垂直的弹性对称面，则称之为正交异性弹性体。取坐标x，y，z方向为弹性主方向。沿用前面的方法，将y轴转1800成y轴，因为和变号，必须有：,新增加的等于零的刚度系数是后四个。再转动x轴不能增加新的等于零的刚度系数。将z轴转1800成z轴同样可以得出，新增加的等于零的柔度系数为四个。独立的弹性系数剩下9个。从而得到应力应变关系为：,.,设仅有作用,其余应力分量为0,这时应变能,对于上述两种坐标系计算时,变号，为了使W保持不变,必须使,同理,利用弹性主轴改变,弹性能不变的原理证明:,.,（219）,从上可以看出，对于正交异性体，若坐标方向为弹性主方向，则正应力不引起剪应变，剪应力不引起线应变，反之亦然。,.,没有拉压剪切耦合现象,没有不同平面内的剪切耦合现象,.,2.4.3一个各向同性面横观各向同性,在平面内一切方向的弹性特性均相同的平面称为各向同性面如果过材料的每一点都有一个相互平行的各向同性面，就称为横观各向同性材料。,取oxy面为各向同性面，z轴垂直于该面显然当涉及x或y方向时，刚度系数的下标可以不加区别，即，而且可以证明。因此，独立的弹性常数减少为5个，应力应变关系简化为：,.,（220）,.,2.4.4完全对称各向同性,若经过均质体内每一点的任意方向上弹性特性均相同，即任意方向都是弹性主方向，则称之为各向同性体。显然，弹性系数之间存在下述关系：,对于各向同性材料，弹性系数与方向无关。应力应变关系为（显然只有两个独立的弹性常数了）：,（221）,.,2.4.5小结,表2,.,2.5正交异性材料弹性常数的物理意义,在本构关系式中，刚度矩阵和柔度矩阵虽然是联系应力和应变的数学符号，但是也有其物理意义。通过简单的拉伸试验和剪切试验，可以导出各分量与材料机械性能之间的关系，称为用工程常数表示。首先：研究沿弹性主方向1简单拉伸情况（如图26）,（图26）,.,其应力和应变张量为：,根据正交异性材料的本构关系，可得到：,由此可得：,同理，根据2和3方向的简单拉伸，可得：,.,式中和即为人们所熟悉的工程弹性常数，是i方向的弹性模量，是i方向正应力引起j方向横向应变的泊松比。,其次：研究一个纯剪切试验，这时应力和应变张量为：,同样根据本构关系可写出：,于是得到：,.,类似的有：,由此得到用工程常数表达的正交异性材料柔度矩阵为（刚度系数的表示可由刚度系数与柔度系数的关系得到）：,.,2.5.1正交异性体的弹性系数(由物理意义可求）,1.刚度系数和柔度系数的关系,因为刚度矩阵和柔度矩阵是互逆的:，所以根据求逆法则，可得到相互关系：,其中,在用刚度系数表示柔度系数时，只要将式中的C与S互换即可。,（222）,.,2.刚度系数、柔度系数与工程常数的关系,柔度系数与工程常数的关系为：,刚度系数与工程常数的关系由上可以较易的推得，在此不详细列出。,（223）,作业：推导刚度系数与工程常数的关系,.,3.弹性模量与泊松比的关系,由柔度矩阵的Voigt对称性和式（223）可得,此即为马克斯韦尔定理。,.,4.工程常数的取值范围,由于应变能函数U0是非负的，所以只要、不为零，其二次型,总是取正值，所以、为正定矩阵，其行列式的主值必为正，当每次试件单向应力时