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文档简介

.,常系数非齐次线性微分方程,第八节,一、,二、,第七章,.,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,.,设非齐方程特解为,代入原方程,一、型,.,综上讨论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,.,特别地,.,例1.求方程的一个特解,解:本题,而特征方程为,不是特征方程的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,.,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程,得,原方程通解为,例,.,例,.,例.求解定解问题,解:本题,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,.,于是所求解为,解得,.,利用欧拉公式,.,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,.,解,对应齐次方程特征方程,代入方程得,.,解,对应齐次方程通解,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,例5,.,例6,.,解,对应齐方通解,用常数变易法求非齐方程通解,原方程通解为,例7,.,例8.,解:(1)特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2)特征方程,有根,利用叠加原理,可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,.,三、小结,(待定系数法),只含上式一项解法：作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解.,.,思考题,写出微分方程,的待定特解的形式.,.,思考题解答,设的特解为,设的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,.,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示:,1.(填空)设,.,2.求微分方程,的通解(其中,为实数).,解:特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,.,3.已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解.,解:将特解代入方程得恒等式,比较系数
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